直交性と直交補空間

直交性はヒルベルト空間の幾何学的構造を特徴づける概念です。直交補空間を使うと、空間を直和分解できます。

直交の定義

ヒルベルト空間 $H$ の元 $x$ , $y$ が 直交する とは、 $⟨ x, y ⟩ = 0$ が成り立つことをいいます。 $x ⊥ y$ と書きます。

集合 $A \subset H$ のすべての元と直交するとき、 $x ⊥ A$ と書きます。

部分集合 $A \subset H$ に対して、直交補空間 を次で定義します。

$A^{⊥} = {x \in H : x ⊥ A} = {x \in H : ⟨ x, a ⟩ = 0 for all a \in A}$

$A^{⊥}$ は常に閉部分空間になります（ $A$ が部分空間でなくても）。

A \subset B \Rightarrow B^{⊥} \subset A^{⊥}

直交補空間をとる操作は包含を逆転させます。

A \subset A^{⊥⊥}

$A$ は二重直交補空間に含まれます。

A^{⊥} = (\overline{span A})^{⊥}

$A$ の閉線形包と同じ直交補空間をもちます。

ヒルベルト空間の閉部分空間 $M$ に対して、次の直和分解が成り立ちます。

$H = M \oplus M^{⊥}$

つまり、任意の $x \in H$ は $x = m + n$ （ $m \in M$ , $n \in M^{⊥}$ ）と一意的に書けます。

この分解を与える射影 $P_{M} : H \to M$ を $M$ への 直交射影 といいます。

$L^{2} [- π, π]$ において、 $M = {f : f は偶関数}$ とすると、 $M^{⊥} = {f : f は奇関数}$ です。

任意の関数 $f$ は偶関数部分と奇関数部分に分解できます。

$f (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2} + \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}$

閉部分空間 $M$ に対して $M^{⊥⊥} = M$ が成り立ちます。一般の部分集合 $A$ に対しては

$A^{⊥⊥} = \overline{span A}$

です。つまり二重直交補空間は $A$ の閉線形包になります。