内積がゼロになる相手を全部集めると閉部分空間になる

ヒルベルト空間 $H$ の 2 つのベクトル $x, y$ が直交するとは、内積が $0$ になることをいいます^[1]。記号は $x ⊥ y$ 。

$⟨ x, y ⟩ = 0$

ノルムだけの世界には「垂直」がありません。内積が入ってはじめて、角度という言葉が使えるようになります^[4]。

直交するとピタゴラスの定理がそのまま成り立ちます。

$∥ x + y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + 2 Re ⟨ x, y ⟩ + ∥ y ∥^{2} = ∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2}$

展開したときに真ん中の項が消える、というだけの話。有限個に増やしても同じで、互いに直交する $x_{1}, \dots, x_{n}$ について和のノルムの二乗が各項の二乗和になります。

直交補空間

部分集合 $M \subseteq H$ に対し、 $M$ のすべての元と直交するベクトルの全体を直交補空間といいます^[1]。

$M^{⊥} = {x \in H : ⟨ x, m ⟩ = 0 (\forall m \in M)}$

$M$ が部分空間でなくても定義できます。ところが $M^{⊥}$ のほうは、いつでも閉部分空間になる。

線形性は内積の線形性から出ます。閉じていることは、内積が連続だから。 $x_{n} \to x$ で $⟨ x_{n}, m ⟩ = 0$ なら、極限でも $⟨ x, m ⟩ = 0$ です。

$M^{⊥}$ を作る操作は、 $M$ の張る閉部分空間しか見ていません。 $M^{⊥} = (\overline{span M})^{⊥}$ が成り立ちます^[4]。

交わりは原点だけ

$M$ が部分空間なら、 $M \cap M^{⊥} = {0}$ です。

$x$ が両方に属すると $⟨ x, x ⟩ = 0$ となり、内積の正定値性から $x = 0$ 。ここが「垂直」という言葉の効くところ。

$M$ が閉部分空間なら、もっと強い分解が成り立ちます^[3]。

$H = M \oplus M^{⊥}$

どの $x$ も $x = y + z$ （ $y \in M$ 、 $z \in M^{⊥}$ ）と一意に書ける、という主張です。 $M$ が閉であることが要ります。

2 回とると閉包になる

$M^{⊥⊥}$ を作ると、もとに戻るとは限りません^[4]。戻るのは閉部分空間のときだけ。

$M^{⊥⊥} = \overline{span M}$

$M$ が閉部分空間なら $M^{⊥⊥} = M$ 。閉でなければ、閉包まで広がったところで止まります。

ここから稠密性の判定が出ます。部分空間 $M$ が稠密であることと、 $M^{⊥} = {0}$ であることが同値。

近似の議論でよく使う形です。「この関数系で全部を近似できるか」を、「この系すべてと直交するものが $0$ しかないか」に置き換えられます。

$M$ と直交するものを全部集める

それが閉部分空間 $M^{⊥}$ になる

もう一度とると $M$ の閉包に戻る

例：偶関数と奇関数

$L^{2} (R)$ を、偶関数の全体 $M$ と奇関数の全体 $N$ に分けます^[3]。

$f (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2} + \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}$

右辺の第 1 項が偶、第 2 項が奇。積分すると偶関数と奇関数の積が奇関数になるので、内積は $0$ です。

したがって $N = M^{⊥}$ で、 $L^{2} (R) = M \oplus N$ という直交分解になります。日常的に使う偶奇分解が、そのまま直交分解の例。

例：区間で切る

$A \subseteq R$ を可測集合とし、 $M = {f \in L^{2} : f = 0 a.e. on A^{c}}$ とします^[3]。

$M^{⊥}$ は $A$ の上で $0$ になる関数の全体です。台が交わらないので内積が $0$ になる。

分解は指示関数を掛けるだけ。 $f = χ_{A} f + χ_{A^{c}} f$ が、そのまま直交分解になります。

偶奇による分解

対称性で分ける。 $f (- x)$ を使う操作で射影が書ける

台による分解

場所で分ける。指示関数を掛ける操作が射影になる

直交系を作る：グラム・シュミット

1 次独立なベクトルの列から、正規直交系を組み立てられます^[4]。

$e_{1} = v_{1} /∥ v_{1} ∥$ とし、以下は前までの成分を引いてから正規化する。

$w_{k} = v_{k} - i < k \sum ⟨ v_{k}, e_{i} ⟩ e_{i}, e_{k} = \frac{w _{k}}{∥ w _{k} ∥}$

引いている量は、 $v_{k}$ をすでに作った空間へ射影したものです。残りが直交補空間へ落ちる、という仕組み。

無限個でも同じ手続きが使えます。可分なヒルベルト空間なら、可算な稠密集合から出発して正規直交系が作れる^[2]。

直交系は 1 次独立

正規直交系 ${e_{i}}$ は自動的に 1 次独立です。有限個の 1 次結合が $0$ になるとして、 $e_{j}$ と内積をとれば係数が $0$ になる。

逆は成り立ちません。1 次独立でも直交とは限らず、そこを直す手続きがグラム・シュミットです。

直交していると、係数を内積ひとつで読み出せます。

$x = \sum_{i} c_{i} e_{i}$ の両辺に $e_{j}$ を当てると、他の項が消えて $c_{j}$ だけが残る。

quiz で確かめる

$M$ が閉でない部分空間のとき、 $M^{⊥⊥}$ は何になりますか。

$M$ そのもの
$M$ の閉包
$H$ 全体

__RESULT__

$M^{⊥}$ はいつでも閉部分空間で、2 回とると $M$ の張る閉部分空間に戻ります。 $M$ が閉でなければ、閉包まで広がったところで止まります。

よくある誤り

M^{⊥}

が閉でない場合があると思う。内積の連続性から必ず閉になります。

M^{⊥⊥} = M

がいつでも成り立つと思う。成り立つのは閉部分空間のときだけです。

直和分解に

M

の閉性が要らないと思う。閉でないと分解が壊れます。

ピタゴラスの定理に直交性が要らないと思う。真ん中の項が消えるのは直交のときだけです。

1 次独立なら直交だと思う。逆向きは成り立ちません。

M

が部分空間でないと

M^{⊥}

を作れないと思う。任意の部分集合で定義できます。

稠密性の判定を直接の近似で確かめようとする。

M^{⊥} = {0}

を見るほうが早い場面が多いです。

参考文献

Hilbert space. Wikipedia（英語）.

Hilbertraum. Wikipedia（ドイツ語）.

J. K. Hunter, B. Nachtergaele. *Applied Analysis*, Chapter 8: Bounded Linear Operators on a Hilbert Space. University of California at Davis.

Hilbert projection theorem. Wikipedia（英語）.

内積が $0$ になることを直交と呼びます。ノルムだけの世界にはない「垂直」が、内積を入れると使えるようになる。直交補空間がもとの集合の形によらず閉部分空間になること、閉部分空間なら $H = M \oplus M^{\perp}$ と分かれること、2 回とると閉包に戻ることを見ます。偶奇分解と台による分解の例、稠密性を $M^{\perp}$ が $0$ だけかどうかで判定する使い方、グラム・シュミットで直交系を組む手続きまで。