倍角公式の計算

倍角公式は、角度を2倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理で $α = β$ とおくことで導けます。

倍角公式（確認）

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$

$cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$

$tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ}$

$cos θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ なので

$sin 2 θ = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

$cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ を使います。

$cos 2 θ = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}$

$tan 2 θ = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2 ^{2}} = \frac{4}{1 - 4} = \frac{4}{- 3} = - \frac{4}{3}$

倍角公式を代入します。

$2 sin θ cos θ + 1 - 2 sin^{2} θ = 1$

$2 sin θ cos θ - 2 sin^{2} θ = 0$

$2 sin θ (cos θ - sin θ) = 0$

$sin θ = 0$ または $cos θ = sin θ$ です。

$sin θ = 0$ より $θ = 0, π$

$cos θ = sin θ$ より $tan θ = 1$ 、つまり $θ = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

したがって $θ = 0, \frac{π}{4}, π, \frac{5 π}{4}$ です。

因数分解します。

$cos^{4} θ - sin^{4} θ = (cos^{2} θ + sin^{2} θ) (cos^{2} θ - sin^{2} θ)$

$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ 、 $cos^{2} θ - sin^{2} θ = cos 2 θ$ なので

$cos^{4} θ - sin^{4} θ = cos 2 θ$

cos 2 θ

の3つの形

問題に応じて使いやすい形を選びます。 $sin$ だけで表したいなら $1 - 2 sin^{2} θ$ 、 $cos$ だけなら $2 cos^{2} θ - 1$ を使います。

次数を下げる

$sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ 、 $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s 2 θ}{2}$ は積分でよく使います。