倍角公式は、角度を2倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理で α=β とおくことで導けます。
倍角公式（確認）
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1=1−2sin2θ
tan2θ=1−tan2θ2tanθ
例題1：sinθ=53（0<θ<2π）のとき sin2θ を求める
cosθ=1−259=54 なので
sin2θ=2⋅53⋅54=2524
例題2：cosθ=−31（2π<θ<π）のとき cos2θ を求める
cos2θ=2cos2θ−1 を使います。
cos2θ=2⋅91−1=92−1=−97
例題3：tanθ=2 のとき tan2θ を求める
tan2θ=1−222⋅2=1−44=−34=−34
例題4：sin2θ+cos2θ=1 を満たす θ（0≤θ<2π）を求める
倍角公式を代入します。
2sinθcosθ+1−2sin2θ=1
2sinθcosθ−2sin2θ=0
2sinθ(cosθ−sinθ)=0
sinθ=0 または cosθ=sinθ です。
sinθ=0 より θ=0,π
cosθ=sinθ より tanθ=1、つまり θ=4π,45π
したがって θ=0,4π,π,45π です。
例題5：cos4θ−sin4θ を簡単にする
因数分解します。
cos4θ−sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ−sin2θ)
cos2θ+sin2θ=1、cos2θ−sin2θ=cos2θ なので
cos4θ−sin4θ=cos2θ
問題に応じて使いやすい形を選びます。sin だけで表したいなら 1−2sin2θ、cos だけなら 2cos2θ−1 を使います。
sin2θ=21−cos2θ、cos2θ=21+cos2θ は積分でよく使います。
