倍角公式の計算｜2θ を θ だけの式に直す

$2 θ$ が混ざった式は、そのままでは扱えません。 $θ$ だけの式に直すのが最初の一手です。

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ, cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 1 - 2 sin^{2} θ$

方程式でも最大最小でも、まずこの置きかえで $θ$ にそろえます。そろえば 2 次式の問題に化ける。

逆に、 $θ$ の 2 乗を $2 θ$ の 1 次式へ落とす向きも使います。積分で要る形です。

どちらへ動かすかは、何を消したいかで決まります。

値を出す型

$θ$ が第 2 象限で $sin θ = \frac{3}{5}$ とします。 $sin 2 θ$ と $cos 2 θ$ を出します。

まず $cos θ$ を補います。第 2 象限なので負で、 $cos θ = - \frac{4}{5}$ 。

$sin 2 θ = 2 \times \frac{3}{5} \times (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}$

$cos 2 θ$ は $sin θ$ が分かっているので $1 - 2 sin^{2} θ$ を選びます。

$cos 2 θ = 1 - 2 \times \frac{9}{25} = \frac{25 - 18}{25} = \frac{7}{25}$

検算します。 $2 4^{2} + 7^{2} = 576 + 49 = 625 = 2 5^{2}$ 。単位円に乗りました。

$sin 2 θ$ が負で $cos 2 θ$ が正なので、 $2 θ$ は第 4 象限。 $θ$ が第 2 象限なら $2 θ$ は $18 0^{\circ}$ から $36 0^{\circ}$ の範囲にあり、矛盾しません。

3 つの形をどう選ぶか

$cos 2 θ$ には 3 つの書き方があります^[1]。手元にある値で選びます。

分かっている値	選ぶ形	理由
$sin θ$ だけ	$1 - 2 sin^{2} θ$	そのまま代入できる
$cos θ$ だけ	$2 cos^{2} θ - 1$	そのまま代入できる
両方	どれでもよい	$cos^{2} - sin^{2}$ が最短

$sin θ = \frac{3}{5}$ しかない場面で $cos^{2} θ - sin^{2} θ$ を選ぶと、 $cos θ$ を先に出す手間が増えます。

方程式では選び方がもっと重要になります。残したい文字のほうへそろえる。

tan が与えられる場合

$tan θ = \frac{1}{3}$ のとき $tan 2 θ$ を出します。

$tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$

$tan θ$ が $\frac{1}{3}$ で $tan 2 θ$ が $\frac{3}{4}$ 。角が 2 倍になっても、値は 2 倍になりません。

$tan θ = 1$ のときは分母が $0$ になります。 $2 θ = 9 0^{\circ}$ で $tan$ が定義できない場合です。

$sin 2 θ$ と $cos 2 θ$ も $tan θ$ だけで書けます。 $sin 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 + tan ^{2} θ}$ 、 $cos 2 θ = \frac{1 - tan ^{2} θ}{1 + tan ^{2} θ}$ 。

$tan θ = \frac{1}{3}$ なら $sin 2 θ = \frac{2/3}{10/9} = \frac{3}{5}$ 、 $cos 2 θ = \frac{8/9}{10/9} = \frac{4}{5}$ 。 $3$ 、 $4$ 、 $5$ の直角三角形が現れました^[2]。

方程式に使う型

$sin 2 θ = sin θ$ を $0 \leq θ < 2 π$ で解きます。

$2 θ$ を開いて $θ$ にそろえます。 $2 sin θ cos θ = sin θ$ 。

移項して $sin θ (2 cos θ - 1) = 0$ 。両辺を $sin θ$ で割ってはいけません。 $sin θ = 0$ の場合が消えます。

$sin θ = 0$ から $θ = 0, π$ 。 $cos θ = \frac{1}{2}$ から $θ = \frac{π}{3}, \frac{5}{3} π$ 。

答えは 4 つです。割り算をしていたら、 $0$ と $π$ を落としていました。

$cos$ が混ざる形も見ます。 $cos 2 θ + 3 cos θ + 2 = 0$ 。

$cos θ$ を残したいので $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1$ を選びます。 $2 cos^{2} θ + 3 cos θ + 1 = 0$ 。

因数分解して $(2 cos θ + 1) (cos θ + 1) = 0$ 。 $cos θ = - \frac{1}{2}$ か $cos θ = - 1$ です。

$θ = \frac{2}{3} π, \frac{4}{3} π, π$ の 3 つ。 $1 - 2 sin^{2} θ$ を選んでいたら、 $sin$ と $cos$ が混ざって進めませんでした。

最大最小に使う型

$y = cos 2 θ + 4 sin θ$ の最大値と最小値を、 $0 \leq θ < 2 π$ で求めます。

$sin$ にそろえたいので $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ を選びます。

$y = 1 - 2 sin^{2} θ + 4 sin θ$ 。 $t = sin θ$ と置くと 2 次関数になります。

$y = - 2 t^{2} + 4 t + 1 = - 2 (t - 1)^{2} + 3$

$t$ の範囲は $- 1 \leq t \leq 1$ です。ここを書き落とすと答えが変わります。

頂点 $t = 1$ が範囲の右端に入っているので、最大値は $3$ 。 $sin θ = 1$ なので $θ = \frac{π}{2}$ 。

最小は左端の $t = - 1$ で $- 2 - 4 + 1 = - 5$ 。 $sin θ = - 1$ なので $θ = \frac{3}{2} π$ 。

2 倍角で文字をそろえ、置きかえて 2 次関数にする。この流れが最大最小の定石です。

置きかえたら、新しい文字の範囲を必ず書きます。

$t = sin θ$ なら $- 1 \leq t \leq 1$ 。範囲を書かないと、頂点が範囲の外にある場合を見落とします。

式を示す型

$\frac{sin 2 θ}{1 + cos 2 θ} = tan θ$ を示します。

分子は $2 sin θ cos θ$ 。分母は $1 + (2 cos^{2} θ - 1) = 2 cos^{2} θ$ です。

$\frac{2 sin θ cos θ}{2 cos ^{2} θ} = \frac{sin θ}{cos θ} = tan θ$

分母で $2 cos^{2} θ - 1$ を選ぶのが要です。 $1$ が打ち消えて、きれいに約分できます。

$1 - 2 sin^{2} θ$ を選ぶと $2 - 2 sin^{2} θ = 2 cos^{2} θ$ となり、遠回りになりますが同じ答えに着きます。

まちがえやすい点

$sin 2 θ$ を $2 sin θ$ とする誤りが最も多い。 $θ = 3 0^{\circ}$ で試せば、 $0.866$ と $1$ で違うと分かります。

$cos 2 θ$ の 3 つの形で、 $1$ の位置を入れ替える誤りもよく出ます。 $cos$ が後ろ、 $sin$ が前です。

方程式で両辺を $sin θ$ や $cos θ$ で割る操作は禁物。 $0$ になる場合を落とします。

置きかえた文字の範囲を書き忘れる誤りも減点になります。 $t = sin θ$ なら $- 1 \leq t \leq 1$ 。

$tan 2 θ$ の分母の符号も逆にしやすい。 $1 - tan^{2} θ$ で、引き算です。

$cos θ = \frac{2}{3}$ のとき、 $cos 2 θ$ はどれですか。

$\frac{4}{3}$
$- \frac{1}{9}$
$\frac{1}{9}$

__RESULT__

$cos θ$ が分かっているので $2 cos^{2} θ - 1$ を選びます。 $2 \times \frac{4}{9} - 1 = \frac{8}{9} - 1 = - \frac{1}{9}$ です。 $\frac{4}{3}$ は $2 cos θ$ の値で、公式ではありません。

方程式の型も確かめます。

$0 \leq θ < 2 π$ で $cos 2 θ = cos θ$ の解はいくつありますか。

$2$ 個
$3$ 個
$4$ 個

__RESULT__

$2 cos^{2} θ - 1 = cos θ$ を整理すると $2 cos^{2} θ - cos θ - 1 = 0$ 、因数分解して $(2 cos θ + 1) (cos θ - 1) = 0$ です。 $cos θ = - \frac{1}{2}$ から $\frac{2}{3} π$ と $\frac{4}{3} π$ 、 $cos θ = 1$ から $0$ の合わせて 3 個になります。

$2 θ$ を $θ$ にそろえ、残したい文字で形を選び、置きかえたら範囲を書く。倍角の計算はこれで通せます。

出典

Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（2 倍角の 3 つの形と次数下げ）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.9（formules de duplication）.

$2\theta$ が混ざった式はそのままでは扱えません。$\theta$ にそろえた瞬間、2 次式の問題に化けます。$\cos 2\theta$ に 3 つの形がある意味は、残したい文字のほうを選べる点。$\cos 2\theta + 3\cos\theta + 2 = 0$ で $1 - 2\sin^2\theta$ を選ぶと $\sin$ と $\cos$ が混ざって進めなくなります。$\sin 2\theta = \sin\theta$ を両辺 $\sin\theta$ で割ると解が 2 つ消える話、$y = \cos 2\theta + 4\sin\theta$ を $t = \sin\theta$ で 2 次関数に落とすときに $-1 \le t \le 1$ を書く理由まで。