三角関数の積分公式

三角関数の積分は、微分公式の逆をたどることで得られます。置換積分や部分積分と組み合わせて使うことも多いです。

基本の積分公式

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

$$\int \cos xdx=\sin x+C$$

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$$

$$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\frac{1}{\tan x}+C$$

${\sin }^{2}x$, ${\cos }^{2}x$ の積分

${\sin }^{2}x$ や ${\cos }^{2}x$ はそのままでは積分しにくいので、半角の公式で変形します。

$$\int {\sin }^{2}xdx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$$

$$\int {\cos }^{2}xdx=\int \frac{1+\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$$

$\tan x$, $\frac{1}{\tan x}$ の積分

$$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\log |\cos x|+C$$

$u=\cos x$ とおく置換積分で計算できます。同様に

$$\int \frac{1}{\tan x}dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\log |\sin x|+C$$

です。

三角関数と逆三角関数

次の積分は逆三角関数で表されます。

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$

$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$

これらは有理関数や無理関数の積分でよく登場します。

定積分の例

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx$ を計算してみます。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=-\cos \frac{\pi }{2}+\cos 0=0+1=1$$

この値は、正弦曲線の最初の「山」の部分の面積を表しています。