三角関数の積分（次数を下げるか、和に開くか）

積分は微分の逆なので、公式も微分をひっくり返せば出ます。

$\int sin x d x = - cos x + C, \int cos x d x = sin x + C$

負号の位置が入れ替わりました。微分では $cos$ に負が付き、積分では $sin$ に付きます。

確かめは微分するだけ。 $(- cos x)^{'} = sin x$ なので、確かに戻ります。

問題になるのは公式にない形です。 $sin^{2} x$ も $sin^{3} x$ も $sin 3 x cos x$ も、表には載っていません。

そのまま積める 3 本

$\int sin x d x$	$- cos x + C$
$\int cos x d x$	$sin x + C$
$\int \frac{1}{cos ^{2} x} d x$	$tan x + C$

3 本目は $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ の裏返しです^[3]。

中身が $a x$ になると、外に $\frac{1}{a}$ が出ます。微分で $a$ が出たぶんを打ち消す形。

$\int sin a x d x = - \frac{1}{a} cos a x + C, \int cos a x d x = \frac{1}{a} sin a x + C$

$\int sin 3 x d x = - \frac{1}{3} cos 3 x + C$ です。 $3$ を掛けるのではなく割ります。

2 乗は半角で落とす

$sin^{2} x$ には原始関数の公式がありません。まず 1 次式へ落とします^[1]。

$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$

こうなればそのまま積めます。

$\int sin^{2} x d x = \int \frac{1 - cos 2 x}{2} d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C$

$cos^{2} x$ なら符号が逆になり $\frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$ 。

$\frac{x}{2}$ という項が出るところが要です。三角関数を積んだのに、三角関数でない項が残ります。

意味もあります。 $sin^{2} x$ の平均は $\frac{1}{2}$ なので、長い区間で積むと $\frac{x}{2}$ のように増えていく。

積は和に開く

$\int sin 3 x cos x d x$ は積のままでは積めません。積和で開きます^[2]。

$sin 3 x cos x = \frac{1}{2} {sin 4 x + sin 2 x}$ 。

$\int sin 3 x cos x d x = - \frac{1}{8} cos 4 x - \frac{1}{4} cos 2 x + C$

$\frac{1}{2}$ に、それぞれの中身の $\frac{1}{4}$ と $\frac{1}{2}$ が掛かった係数です。

$\int sin x cos x d x$ は 2 倍角のほうが速い。 $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x$ なので $- \frac{1}{4} cos 2 x + C$ 。

$\frac{sin ^{2} x}{2} + C$ と書いても正解です。2 つの答えは定数だけ違います。

$- \frac{1}{4} cos 2 x = - \frac{1}{4} (1 - 2 sin^{2} x) = \frac{sin ^{2} x}{2} - \frac{1}{4}$ 。差は $\frac{1}{4}$ で、 $C$ に吸収されます。

原始関数が見た目の違う 2 通りで出るのは、よくあることです。

差が定数なら、どちらも正しい。引き算して定数になるかどうかで確かめられます。

奇数乗は 1 つ外して置きかえる

$\int sin^{3} x d x$ を求めます。半角では 3 乗が落ちません。

$sin x$ を 1 つだけ外し、残りを $cos$ で書きます。

$sin^{3} x = sin x \cdot sin^{2} x = sin x (1 - cos^{2} x)$

$u = cos x$ と置くと $d u = - sin x d x$ 。外した $sin x$ が、ちょうど $d u$ に化けます。

$\int sin x (1 - cos^{2} x) d x = - \int (1 - u^{2}) d u = - u + \frac{u ^{3}}{3} + C$

$u$ を戻して $- cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C$ です。

奇数乗なら必ずこの手が効きます。1 つ外せば偶数乗が残り、相互関係でもう一方に書き換えられるため。

偶数乗のときは外せません。半角で次数を下げる道を使います。

tan の積分

$\int tan x d x$ は $\frac{sin x}{cos x}$ と書き直します。

分母の微分が $- sin x$ 、つまり分子の $- 1$ 倍になっています。

$u = cos x$ と置くと $d u = - sin x d x$ なので $\int \frac{- d u}{u} = - lo g ∣ u ∣ + C$ 。

$\int tan x d x = - lo g ∣ cos x ∣ + C$

絶対値が要ります。 $cos x$ は負にもなるためです。

定積分では対称性が効く

$\int_{- a}^{a} sin x d x$ は計算せずに $0$ と分かります。 $sin$ が奇関数だからです。

原点の左右で符号が反対の面積が出て、打ち消し合う。

$cos$ は偶関数なので $\int_{- a}^{a} cos x d x = 2 \int_{0}^{a} cos x d x$ になります。片側を 2 倍すれば済む。

$\int_{- π}^{π} x sin x d x$ はどうでしょう。 $x$ が奇、 $sin x$ が奇なので、積は偶関数です。

だから $2 \int_{0}^{π} x sin x d x$ と半分に減らせます。部分積分で計算すると $2 π$ 。

積分する前に偶奇を見る。それだけで手数が半分になることがあります。

まちがえやすい点

$\int sin x d x$ を $cos x$ とする符号ミスが最も多い。負号が付きます。

微分と積分で負号の付く相手が入れ替わる、と押さえます。微分は $cos$ 、積分は $sin$ 。

$\int sin 3 x d x$ で $3$ を掛けてしまう誤りもよく起きます。割るほうです。

$\int sin^{2} x d x$ を $\frac{sin ^{3} x}{3}$ とする誤りも根強い。微分して確かめれば、すぐ違うと分かります。

積分定数 $C$ の書き忘れも減点になります。不定積分では必ず付けます。

$\int cos 4 x d x$ はどれですか。

$\frac{1}{4} sin 4 x + C$
$4 sin 4 x + C$
$- \frac{1}{4} sin 4 x + C$

__RESULT__

$\int cos a x d x = \frac{1}{a} sin a x + C$ です。 $a = 4$ なので $\frac{1}{4} sin 4 x + C$ になります。微分して確かめると $\frac{1}{4} \times 4 cos 4 x = cos 4 x$ で、もとに戻ります。

2 乗の形も確かめます。

$\int_{0}^{π} sin^{2} x d x$ の値はどれですか。

$π$
$\frac{π}{2}$
$0$

__RESULT__

$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ に直すと $[\frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{π} = \frac{π}{2}$ です。 $sin^{2} x$ の平均が $\frac{1}{2}$ で、幅が $π$ なので $\frac{π}{2}$ 、と読むこともできます。

そのまま積めるか確かめ、無理なら次数を下げるか和に開く。積分はこの判断から始まります。

参考文献

Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（次数を下げる公式）.

Sum-to-Product and Product-to-Sum Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（積和で積を開く）.

Trigonometric functions. Encyclopedia of Mathematics（

(tan x)^{'} = \frac{1}{c o s ^{2} x}

）.

$\int \sin x\, dx = -\cos x + C$ で、微分のときとは負号の付く相手が入れ替わります。困るのは公式にない形のほう。$\sin^2 x$ は $\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ に落としてから積み、$\sin 3x\cos x$ は積和で和に開きます。$\sin^3 x$ のような奇数乗は $\sin x$ を 1 つ外して $u = \cos x$ と置けば片づく。$\int \sin x\cos x\, dx$ が $-\dfrac{1}{4}\cos 2x$ とも $\dfrac{\sin^2 x}{2}$ とも書ける理由、$\int \tan x\, dx$ に絶対値が要る理由、偶奇で手数を半分にする手まで。