三角関数の積分は、微分公式の逆をたどることで得られます。置換積分や部分積分と組み合わせて使うことも多いです。
基本の積分公式
∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+C
∫cos2x1dx=tanx+C
∫sin2x1dx=−tanx1+C
sin2x, cos2x の積分
sin2x や cos2x はそのままでは積分しにくいので、半角の公式で変形します。
∫sin2xdx=∫21−cos2xdx=2x−4sin2x+C
∫cos2xdx=∫21+cos2xdx=2x+4sin2x+C
tanx, tanx1 の積分
∫tanxdx=∫cosxsinxdx=−log∣cosx∣+C
u=cosx とおく置換積分で計算できます。同様に
∫tanx1dx=∫sinxcosxdx=log∣sinx∣+C
です。
sin3xcos2x のような積の形は、積和公式で和に直してから積分します。
∫sin3xdx のように奇数乗のときは、sin2x=1−cos2x を使って cosx の多項式に変形し、u=cosx で置換します。
三角関数と逆三角関数
次の積分は逆三角関数で表されます。
∫1−x21dx=arcsinx+C
∫1+x21dx=arctanx+C
これらは有理関数や無理関数の積分でよく登場します。
定積分の例
∫02πsinxdx を計算してみます。
∫02πsinxdx=[−cosx]02π=−cos2π+cos0=0+1=1
この値は、正弦曲線の最初の「山」の部分の面積を表しています。
