三角関数の積分（次数を下げるか、和に開くか）

積分は微分の逆なので、公式も微分をひっくり返せば出ます。

$$\int \sin xdx=-\cos x+C,\int \cos xdx=\sin x+C$$

負号の位置が入れ替わりました。微分では $\cos$ に負が付き、積分では $\sin$ に付きます。

確かめは微分するだけ。$(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ なので、確かに戻ります。

問題になるのは公式にない形です。${\sin }^{2}x$ も ${\sin }^{3}x$ も $\sin 3x\cos x$ も、表には載っていません。

そのまま積める 3 本

3 本目は $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ の裏返しです^[3]。

中身が $ax$ になると、外に $\frac{1}{a}$ が出ます。微分で $a$ が出たぶんを打ち消す形。

$$\int \sin axdx=-\frac{1}{a}\cos ax+C,\int \cos axdx=\frac{1}{a}\sin ax+C$$

$\int \sin 3xdx=-\frac{1}{3}\cos 3x+C$ です。$3$ を掛けるのではなく割ります。

2 乗は半角で落とす

${\sin }^{2}x$ には原始関数の公式がありません。まず 1 次式へ落とします^[1]。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

こうなればそのまま積めます。

$$\begin{array}{rl}\int {\sin }^{2}xdx& =\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx\\ & =\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C\end{array}$$

${\cos }^{2}x$ なら符号が逆になり $\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$。

$\frac{x}{2}$ という項が出るところが要です。三角関数を積んだのに、三角関数でない項が残ります。

意味もあります。${\sin }^{2}x$ の平均は $\frac{1}{2}$ なので、長い区間で積むと $\frac{x}{2}$ のように増えていく。

積は和に開く

$\int \sin 3x\cos xdx$ は積のままでは積めません。積和で開きます^[2]。

$\sin 3x\cos x=\frac{1}{2}\left\{\sin 4x+\sin 2x\right\}$。

$$\int \sin 3x\cos xdx=-\frac{1}{8}\cos 4x-\frac{1}{4}\cos 2x+C$$

$\frac{1}{2}$ に、それぞれの中身の $\frac{1}{4}$ と $\frac{1}{2}$ が掛かった係数です。

$\int \sin x\cos xdx$ は 2 倍角のほうが速い。$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ なので $-\frac{1}{4}\cos 2x+C$。

$\frac{{\sin }^{2}x}{2}+C$ と書いても正解です。2 つの答えは定数だけ違います。

$-\frac{1}{4}\cos 2x=-\frac{1}{4}(1-2{\sin }^{2}x)=\frac{{\sin }^{2}x}{2}-\frac{1}{4}$。差は $\frac{1}{4}$ で、$C$ に吸収されます。

奇数乗は 1 つ外して置きかえる

$\int {\sin }^{3}xdx$ を求めます。半角では 3 乗が落ちません。

$\sin x$ を 1 つだけ外し、残りを $\cos$ で書きます。

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{3}x& =\sin x\cdot {\sin }^{2}x\\ & =\sin x(1-{\cos }^{2}x)\end{array}$$

$u=\cos x$ と置くと $du=-\sin xdx$。外した $\sin x$ が、ちょうど $du$ に化けます。

$$\begin{array}{rl}\int \sin x(1-{\cos }^{2}x)dx& =-\int (1-u^2)du\\ & =-u+\frac{u^3}{3}+C\end{array}$$

$u$ を戻して $-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$ です。

奇数乗なら必ずこの手が効きます。1 つ外せば偶数乗が残り、相互関係でもう一方に書き換えられるため。

偶数乗のときは外せません。半角で次数を下げる道を使います。

tan の積分

$\int \tan xdx$ は $\frac{\sin x}{\cos x}$ と書き直します。

分母の微分が $-\sin x$、つまり分子の $-1$ 倍になっています。

$u=\cos x$ と置くと $du=-\sin xdx$ なので $\int \frac{-du}{u}=-\log |u|+C$。

$$\int \tan xdx=-\log |\cos x|+C$$

絶対値が要ります。$\cos x$ は負にもなるためです。

定積分では対称性が効く

${\int }_{-a}^a\sin xdx$ は計算せずに $0$ と分かります。$\sin$ が奇関数だからです。

原点の左右で符号が反対の面積が出て、打ち消し合う。

$\cos$ は偶関数なので ${\int }_{-a}^a\cos xdx=2{\int }_0^a\cos xdx$ になります。片側を 2 倍すれば済む。

${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx$ はどうでしょう。$x$ が奇、$\sin x$ が奇なので、積は偶関数です。

だから $2{\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ と半分に減らせます。部分積分で計算すると $2\pi$。

積分する前に偶奇を見る。それだけで手数が半分になることがあります。

まちがえやすい点

$\int \sin xdx$ を $\cos x$ とする符号ミスが最も多い。負号が付きます。

微分と積分で負号の付く相手が入れ替わる、と押さえます。微分は $\cos$、積分は $\sin$。

$\int \sin 3xdx$ で $3$ を掛けてしまう誤りもよく起きます。割るほうです。

$\int {\sin }^{2}xdx$ を $\frac{{\sin }^{3}x}{3}$ とする誤りも根強い。微分して確かめれば、すぐ違うと分かります。

積分定数 $C$ の書き忘れも減点になります。不定積分では必ず付けます。

2 乗の形も確かめます。

そのまま積めるか確かめ、無理なら次数を下げるか和に開く。積分はこの判断から始まります。

参考文献