3 倍角の公式は導くほうが速い……sin3θ と cos3θ の計算

$sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ, cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

係数の $3$ と $4$ が入れ替わり、符号も逆になっています。覚えようとすると、まず混ざります。

導くほうが速い。 $3 θ = 2 θ + θ$ と割れば、2 倍角と加法定理だけで出ます^[1]。

30 秒あれば復元できるので、覚える対象から外してかまいません。

導き方

$sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ$ から始めます。

$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ を入れ、 $cos 2 θ$ は $sin$ だけの形 $1 - 2 sin^{2} θ$ を選びます。

$2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ$

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ で $cos$ を消します。

$2 sin θ - 2 sin^{3} θ + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ 。

$cos 3 θ$ も同じ手順です。 $cos 2 θ$ は $cos$ だけの形 $2 cos^{2} θ - 1$ を選ぶ。

$(2 cos^{2} θ - 1) cos θ - 2 sin θ cos θ \cdot sin θ = 2 cos^{3} θ - cos θ - 2 cos θ (1 - cos^{2} θ) = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ 。

選ぶ形を間違えなければ、途中で $sin$ と $cos$ が混ざりません。

検算のしかた

出した式が正しいかは、 $θ$ に値を入れれば分かります。

$θ = \frac{π}{2}$ とします。左辺は $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ 。

右辺は $3 \times 1 - 4 \times 1 = - 1$ 。合いました。

$cos$ のほうも $θ = 0$ で確かめます。左辺は $cos 0 = 1$ 、右辺は $4 - 3 = 1$ 。

係数を入れ替えて $4 sin θ - 3 sin^{3} θ$ としていたら、 $4 - 3 = 1 \neq = - 1$ でずれます。1 か所入れれば見つかる。

値を出す型

$sin θ = \frac{1}{2}$ のとき $sin 3 θ$ を出します。 $θ$ が何度かは要りません。

$sin 3 θ = 3 \times \frac{1}{2} - 4 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

$sin θ = \frac{1}{2}$ を満たす鋭角は $3 0^{\circ}$ で、 $sin 9 0^{\circ} = 1$ 。一致しました。

$cos θ = \frac{1}{3}$ なら $cos 3 θ = 4 \times \frac{1}{27} - 3 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27} - 1 = - \frac{23}{27}$ 。

この型では象限を調べる必要がありません。 $sin$ だけ、 $cos$ だけで書けているためです。

2 倍角では $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ に両方が要りましたが、3 倍角は片方で済みます。

2 倍角

$sin 2 θ$ には $sin θ$ と $cos θ$ の両方が要る。象限から符号を決める手順が入る

3 倍角

$sin 3 θ$ は $sin θ$ だけで書ける。値を入れるだけで終わる

3 次方程式に化ける型

$cos 3 θ = \frac{1}{2}$ を $0 \leq θ < 2 π$ で解きます。

$3 θ$ の範囲を先に伸ばします。 $0 \leq 3 θ < 6 π$ で、3 周ぶん。

$cos$ が $\frac{1}{2}$ になるのは 1 周につき 2 回なので、3 周で 6 回です。

$3 θ = \frac{π}{3}, \frac{5}{3} π, \frac{7}{3} π, \frac{11}{3} π, \frac{13}{3} π, \frac{17}{3} π$ 。

3 で割って $θ = \frac{π}{9}, \frac{5}{9} π, \frac{7}{9} π, \frac{11}{9} π, \frac{13}{9} π, \frac{17}{9} π$ の 6 つ。

公式を使わず、範囲を伸ばして解いたほうが速い場合です。公式に頼ると 3 次方程式になります。

$4 cos^{3} θ - 3 cos θ = \frac{1}{2}$ を解くのは大変ですが、答えは同じ 6 つになります。

cos 20° が満たす式

$θ = 2 0^{\circ}$ を入れます。 $3 θ = 6 0^{\circ}$ なので $cos 3 θ = \frac{1}{2}$ 。

$4 cos^{3} 2 0^{\circ} - 3 cos 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$

両辺を 2 倍して整理すると $8 x^{3} - 6 x - 1 = 0$ 。ここで $x = cos 2 0^{\circ}$ です。

$x = \frac{1}{2}$ や $x = \frac{1}{4}$ を入れても $0$ になりません。分数の解を持たない 3 次方程式です。

$cos 2 0^{\circ} ≒ 0.9397$ は、根号を有限個組み合わせても書けないことが知られています。

$3 0^{\circ}$ や $4 5^{\circ}$ の値がきれいなのに $2 0^{\circ}$ が書けない。3 倍角の式が、その境目を作っています。

次数を下げる向き

$sin^{3} θ$ を積分したいとき、3 倍角の式を逆に解きます。

$sin^{3} θ = \frac{3 sin θ - sin 3 θ}{4}, cos^{3} θ = \frac{cos 3 θ + 3 cos θ}{4}$

3 次が 1 次式の和になりました。これならそのまま積めます。

$\int sin^{3} θ d θ = - \frac{3}{4} cos θ + \frac{1}{12} cos 3 θ + C$

$cos^{3}$ のほうは符号がそろっていて、 $cos 3 θ$ に $+$ が付きます。

2 乗なら半角、3 乗なら 3 倍角。落とす次数で使う公式が変わります^[2]。

$sin^{3} θ$ の積分にはもう 1 つの道があります。

$sin θ$ を 1 つ外して $sin θ (1 - cos^{2} θ)$ とし、 $u = cos θ$ と置く方法です。答えの見た目は違いますが、差は定数になります。

まちがえやすい点

係数の $3$ と $4$ を入れ替える誤りが最も多い。 $sin$ が $3, - 4$ 、 $cos$ が $4, - 3$ です。

先頭の項も入れ替わります。 $sin$ は 1 次が先、 $cos$ は 3 次が先。

$sin 3 θ = 3 sin θ$ とする誤りも根強い。 $θ = 3 0^{\circ}$ で試すと $1$ と $1.5$ で違います。

方程式では、公式に直さず範囲を伸ばして解くほうが速い場合があります。両方を見比べてから選びます。

次数を下げる向きで分母の $4$ を落とす誤りもよく出ます。 $4 sin^{3} θ = 3 sin θ - sin 3 θ$ から割ります。

$cos θ = \frac{3}{2}$ のとき、 $cos 3 θ$ はどれですか。

$\frac{3 3}{2}$
$0$
$- \frac{3}{2}$

__RESULT__

$4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ に入れます。 $cos^{3} θ = \frac{3 3}{8}$ なので $4 \times \frac{3 3}{8} - 3 \times \frac{3}{2} = \frac{3 3}{2} - \frac{3 3}{2} = 0$ です。 $cos θ = \frac{3}{2}$ の鋭角は $3 0^{\circ}$ で、 $cos 9 0^{\circ} = 0$ とも合います。

次数を下げる向きも確かめます。

$sin^{3} θ$ を 1 次式の和に直すとどれですか。

$\frac{3 sin θ - sin 3 θ}{4}$
$\frac{sin 3 θ - 3 sin θ}{4}$
$\frac{3 sin θ + sin 3 θ}{4}$

__RESULT__

$sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ を $sin^{3} θ$ について解きます。 $4 sin^{3} θ = 3 sin θ - sin 3 θ$ なので、 $4$ で割って $\frac{3 sin θ - sin 3 θ}{4}$ です。 $θ = \frac{π}{2}$ を入れると左辺 $1$ 、右辺 $\frac{3 + 1}{4} = 1$ で合います。

$2 θ + θ$ に割る。それだけで 3 倍角は毎回作れます。覚える式ではありません。

出典

Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas. Algebra and Trigonometry 2e, OpenStax（2 倍角と、そこから重ねる形）.

É. Bouchet. Trigonométrie, Cours de PCSI, Proposition 1.10（次数を下げる形と、その積分での使い道）.

$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ と $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ は、$3$ と $4$ が入れ替わるうえ先頭の項も入れ替わります。覚えようとすると混ざる。$3\theta = 2\theta + \theta$ に割れば 30 秒で復元できます。$\theta = \dfrac{\pi}{2}$ を入れて $-1$ になるかを見る検算つき。$\cos 3\theta = \dfrac{1}{2}$ は公式より範囲を伸ばしたほうが速い理由、$8x^3 - 6x - 1 = 0$ が $\cos 20^\circ$ の満たす式になる話、$\sin^3\theta$ を 1 次式に落として積む手順まで。