三倍角公式は、角度を3倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理と倍角公式を組み合わせて導きます。
三倍角公式（確認）
sin3θ=3sinθ−4sin3θ
cos3θ=4cos3θ−3cosθ
例題1：sin3θ の公式を導出する
sin3θ=sin(2θ+θ) と考えて加法定理を使います。
sin3θ=sin2θcosθ+cos2θsinθ
倍角公式 sin2θ=2sinθcosθ、cos2θ=1−2sin2θ を代入します。
=2sinθcos2θ+(1−2sin2θ)sinθ
=2sinθ(1−sin2θ)+sinθ−2sin3θ
=2sinθ−2sin3θ+sinθ−2sin3θ=3sinθ−4sin3θ
例題2：sinθ=21 のとき sin3θ を求める
sin3θ=3⋅21−4⋅81=23−21=1
実際、θ=30° のとき 3θ=90° なので sin90°=1 と一致します。
例題3：sin3θ=0 を解く（0≤θ<2π）
3sinθ−4sin3θ=0 より
sinθ(3−4sin2θ)=0
sinθ=0 または sin2θ=43 です。
sinθ=0 より θ=0,π
sinθ=±23 より θ=3π,32π,34π,35π
したがって θ=0,3π,32π,π,34π,35π です。
sin3θ=0 は 3θ=nπ（n は整数）と解くこともできます。0≤θ<2π より 0≤3θ<6π なので、3θ=0,π,2π,3π,4π,5π が該当します。
sin3θ や cos3θ を sinθ、cosθ の多項式で表したいときに使います。逆に3次式を因数分解するときにも役立ちます。
