三倍角公式の計算

三倍角公式は、角度を3倍にしたときの三角関数を求める公式です。加法定理と倍角公式を組み合わせて導きます。

三倍角公式（確認）

$sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

$cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

$sin 3 θ = sin (2 θ + θ)$ と考えて加法定理を使います。

$sin 3 θ = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ$

倍角公式 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ 、 $cos 2 θ = 1 - 2 sin^{2} θ$ を代入します。

$= 2 sin θ cos^{2} θ + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ$

$= 2 sin θ (1 - sin^{2} θ) + sin θ - 2 sin^{3} θ$

$= 2 sin θ - 2 sin^{3} θ + sin θ - 2 sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

$sin 3 θ = 3 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

実際、 $θ = 30°$ のとき $3 θ = 90°$ なので $sin 90° = 1$ と一致します。

$3 sin θ - 4 sin^{3} θ = 0$ より

$sin θ (3 - 4 sin^{2} θ) = 0$

$sin θ = 0$ または $sin^{2} θ = \frac{3}{4}$ です。

$sin θ = 0$ より $θ = 0, π$

$sin θ = \pm \frac{3}{2}$ より $θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$

したがって $θ = 0, \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, π, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$ です。

3 θ

で直接考える方法

$sin 3 θ = 0$ は $3 θ = nπ$ （ $n$ は整数）と解くこともできます。 $0 \leq θ < 2 π$ より $0 \leq 3 θ < 6 π$ なので、 $3 θ = 0, π, 2 π, 3 π, 4 π, 5 π$ が該当します。

三倍角公式の用途

$sin 3 θ$ や $cos 3 θ$ を $sin θ$ 、 $cos θ$ の多項式で表したいときに使います。逆に3次式を因数分解するときにも役立ちます。