作用素ノルムの定義と性質

作用素ノルムは有界線形作用素の「大きさ」を測る量です。作用素全体の空間にノルム構造を与えます。

定義

ノルム空間 $X$, $Y$ の間の有界線形作用素 $T:X\to Y$ に対して、作用素ノルム を次で定義します。

$$\Vert T\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tx{\Vert }_Y}{\Vert x{\Vert }_X}=\underset{\Vert x{\Vert }_X=1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_Y=\underset{\Vert x{\Vert }_X\le 1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_Y$$

これらの定義はすべて同じ値を与えます。直感的には、$T$ がベクトルの長さを最大で何倍に伸ばすかを表しています。

基本的な性質

作用素ノルムは次を満たします。

$$\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \cdot \Vert x\Vert (\forall x\in X)$$

これは有界性の定義式で $M=\Vert T\Vert$ ととったものです。

また、作用素の合成について

$$\Vert ST\Vert \le \Vert S\Vert \cdot \Vert T\Vert$$

が成り立ちます。これを 劣乗法性 といいます。

有界線形作用素の空間

$X$ から $Y$ への有界線形作用素全体を $\mathcal{B}(X,Y)$ または $\mathcal{L}(X,Y)$ と書きます。作用素ノルムによって $\mathcal{B}(X,Y)$ はノルム空間になります。

計算例

シフト作用素 $S:{\ell }^2\to {\ell }^2$（$S(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots )$）の作用素ノルムを求めます。

$$\Vert Sx{\Vert }_2^2=\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2=\Vert x{\Vert }_2^2$$

より $\Vert Sx\Vert =\Vert x\Vert$ なので $\Vert S\Vert =1$ です。$S$ は等距離作用素です。

積分作用素 $(Kf)(x)={\int }_0^{1}k(x,t)f(t)dt$（$k$ は連続）については、

$$\Vert K\Vert \le \underset{x\in [0,1]}{\sup }{\int }_0^1|k(x,t)|dt$$

という評価が得られます。