いちばん伸ばす倍率を測る（作用素ノルムの定義と計算）

有界線形作用素 $T:X\to Y$ に対し、作用素ノルムは「いちばん伸ばす倍率」として定まります^[1]。

$$\Vert T\Vert =\inf \{M\ge 0:\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert (\forall x\in X)\}$$

上限を与える定数のうち、いちばん小さいものをとった形です。使うときは次の 3 つの表示のほうが便利^[1]。

$$\Vert T\Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tx\Vert }{\Vert x\Vert }=\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }\Vert Tx\Vert =\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Tx\Vert$$

どれも同じ値です。線形性から、大きさ $1$ に正規化してから測っても情報が落ちないため。

定義そのものから、いちばんよく使う不等式が出ます^[2]。

$$\Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert$$

ノルムとしての性質

$\Vert \cdot \Vert$ という記号のとおり、これはノルムの条件を満たします^[1]。

作用素の空間 $B(X,Y)$ がノルム空間になります。しかも $Y$ がバナッハ空間なら、$B(X,Y)$ もバナッハ空間^[3]。

定義域の $X$ には完備性が要りません。値域の完備性だけで、作用素の列の収束先が確保されます。

合成では掛け算より小さくなる

作用素を続けて施すと、ノルムに劣乗法性が現れます^[1]。

$$\Vert ST\Vert \le \Vert S\Vert \Vert T\Vert$$

$\Vert STx\Vert \le \Vert S\Vert \Vert Tx\Vert \le \Vert S\Vert \Vert T\Vert \Vert x\Vert$ と 2 段で押さえるだけ。

等号になるとは限りません。$T$ がいちばん伸ばす向きと、$S$ がいちばん伸ばす向きが食い違えば、積の倍率は落ちます。

${\mathbb{R}}^2$ で $S$ を $x$ 軸への射影、$T$ を $90$ 度回転にとると分かりやすい。$\Vert S\Vert =\Vert T\Vert =1$ ですが、$ST$ は $y$ 軸方向を $x$ 軸へ送るだけで、向きによっては $0$ になります。

例：行列のノルムはノルムの選び方で変わる

$m\times n$ 行列を線形写像と見たとき、作用素ノルムは定義域と値域に入れたノルムに依存します^[1]。

$p=1$ なら列ごとの絶対値の和の最大値、$p=\infty$ なら行ごとの和の最大値、$p=2$ なら最大特異値^[1]。

$$\Vert A{\Vert }_1=\underset{j}{\max }\sum _i|a_{ij}|,\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _j|a_{ij}|,\Vert A{\Vert }_2={\sigma }_{\max }(A)$$

同じ行列でも 3 つの値は一致しません。「行列のノルム」と言うだけでは値が決まらない、というところが要注意です。

無限次元でも同じ形の公式が出ます。${\ell }^{\infty }$ 上の無限行列 $(a_{ij})$ では、ノルムが行ごとの和の上限になる^[3]。

$$\Vert A{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\sup }\sum _{j=1}^{\infty }|a_{ij}|$$

例：シフト作用素

${\ell }^{\infty }$ の上で、右シフトと左シフトを考えます^[3]。

$$S(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots ),T(x_1,x_2,x_3,\dots )=(x_2,x_3,x_4,\dots )$$

どちらもノルムは $1$ です。成分を並べ替えるだけで大きさを変えないから。

ところが性質は対称ではありません。$S$ は単射ですが全射でなく、$T$ は全射ですが単射でない^[3]。

有限次元では起きないことです。${\mathbb{R}}^n$ 上の線形写像なら、核が $\{0\}$ であることと像が全体であることが同値になります。

例：積分作用素

$C[0,1]$ に最大値ノルムを入れ、連続な核 $k(x,y)$ でフレドホルム型の積分作用素を作ります^[3]。

$$Kf(x)={\int }_0^{1}k(x,y)f(y)dy,\Vert K\Vert =\underset{0\le x\le 1}{\max }{\int }_0^1|k(x,y)|dy$$

行列の最大行和の連続版です。$x$ を固定した行に沿って絶対値を積分し、その最大値をとる。

積分の上端を動かすボルテラ型なら、核が $x>y$ で $1$、そうでなければ $0$ の場合にあたります^[3]。

$$Kf(x)={\int }_0^{x}f(y)dy,\Vert K\Vert =1$$

$\Vert K\Vert \le 1$ は ${\int }_0^x|f|\le \Vert f\Vert$ から出ます。等号になるのは $f\equiv 1$ のときで、$K1=x$ のノルムが $1$ だから。

上限が達成されるとは限らない

$\Vert T\Vert ={\sup }_{\Vert x\Vert =1}\Vert Tx\Vert$ と書きましたが、この上限が実際に達成される保証はありません^[1]。

ボルテラ作用素で見ます^[3]。$f_n(x)=\cos (n\pi x)$ は $\Vert f_n\Vert =1$ ですが、像のノルムは $0$ へ落ちる。

$$K[\cos n\pi x]=\frac{\sin n\pi x}{n\pi },\Vert K{f}_n\Vert =\frac{1}{n\pi }\to 0$$

この列では倍率が $0$ に向かいます。逆に $\Vert Kf\Vert$ の側から $\Vert f\Vert$ を押さえることができない、という事情がここに出ている。

反射的なバナッハ空間なら、有界線形汎関数についてはノルムが必ず達成されます^[1]。ジェームズの定理と呼ばれる結果です。

よくある誤り

参考文献