作用素ノルムは有界線形作用素の「大きさ」を測る量です。作用素全体の空間にノルム構造を与えます。
定義
ノルム空間 , の間の有界線形作用素 に対して、作用素ノルム を次で定義します。
これらの定義はすべて同じ値を与えます。直感的には、 がベクトルの長さを最大で何倍に伸ばすかを表しています。
基本的な性質
作用素ノルムは次を満たします。
これは有界性の定義式で ととったものです。
また、作用素の合成について
が成り立ちます。これを 劣乗法性 といいます。
有界線形作用素の空間
から への有界線形作用素全体を または と書きます。作用素ノルムによって はノルム空間になります。
の完備性
がバナッハ空間ならば、 もバナッハ空間になります。 の完備性は不要です。
特別な場合
は積（合成）に関して環をなし、バナッハ環（バナッハ代数）と呼ばれます。
計算例
シフト作用素 （）の作用素ノルムを求めます。
より なので です。 は等距離作用素です。
積分作用素 （ は連続）については、
という評価が得られます。
