加法定理は三角関数の公式の中で最も重要なものの一つです。ここでは cos(α−β) の証明から始めて、他の公式を導く流れを詳しく説明します。
cos(α−β) の証明
単位円上に2点をとります。点 P は角度 α の位置、点 Q は角度 β の位置にあるとします。
P=(cosα,sinα),Q=(cosβ,sinβ)
2点間の距離 PQ を座標から計算すると
PQ2=(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)2
これを展開します。
PQ2=cos2α−2cosαcosβ+cos2β+sin2α−2sinαsinβ+sin2β
cos2α+sin2α=1 と cos2β+sin2β=1 を使って整理すると
PQ2=2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)
一方、同じ距離を余弦定理で求めます。三角形 OPQ（O は原点）において、OP=OQ=1、∠POQ=α−β なので
PQ2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos(α−β)=2−2cos(α−β)
2つの式を比較して
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
が得られます。
cos(α+β) の導出
cos(α−β) の式で β を −β に置き換えます。cos(−β)=cosβ、sin(−β)=−sinβ を使うと
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
となります。
sin(α+β) の導出
sinθ=cos(2π−θ) という関係を使います。
sin(α+β)=cos(2π−(α+β))=cos((2π−α)−β)
ここで cos(α−β) の公式を適用します。
=cos(2π−α)cosβ+sin(2π−α)sinβ
cos(2π−α)=sinα、sin(2π−α)=cosα なので
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
が得られます。
sin(α−β) の導出
sin(α+β) の式で β を −β に置き換えると
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
となります。
tan の加法定理の導出
tan(α+β)=cos(α+β)sin(α+β) に、すでに求めた公式を代入します。
tan(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsinαcosβ+cosαsinβ
分子と分母を cosαcosβ で割ると
tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ
β を −β に置き換えれば tan(α−β) の公式も得られます。
