加法定理は 6 つ、単位円の弦から証明するのは 1 つだけ

加法定理は 6 つあります。証明がいるのは $cos (α - β)$ の 1 つだけです。

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

残りの 5 つは、 $β$ を $- β$ に替え、 $sin θ = cos (\frac{π}{2} - θ)$ を挟み、最後に割り算をすれば導ける。

この 1 つを単位円上の 2 点の距離から示します。

単位円の弦を 2 通りに測る

単位円上に $P (cos α, sin α)$ と $Q (cos β, sin β)$ をとる。

2 点の距離は、この 2 つの座標から計算できる。

$PQ^{2} = (cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2}$

展開して、 $α$ どうし、 $β$ どうしをまとめる。

$PQ^{2} = cos^{2} α - 2 cos α cos β + cos^{2} β + sin^{2} α - 2 sin α sin β + sin^{2} β = (cos^{2} α + sin^{2} α) + (cos^{2} β + sin^{2} β) - 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 - 2 (cos α cos β + sin α sin β)$

$α$ と $β$ の 2 か所で $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を使いました。

図を $- β$ だけ回す

$P$ と $Q$ をまとめて $- β$ だけ回します。

$Q$ の角は $β - β = 0$ になり、 $Q$ が $(1, 0)$ へ動く。 $P$ の角は $α - β$ になる。

移った先を $A (cos (α - β), sin (α - β))$ 、 $B (1, 0)$ と呼びます。

回しても 2 点の距離は変わらないため、 $AB$ も座標から同じように計算できます。

$AB^{2} = (cos (α - β) - 1)^{2} + sin^{2} (α - β) = cos^{2} (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 + sin^{2} (α - β) = 2 - 2 cos (α - β)$

同じ長さの 2 乗を 2 通りに書いたので、等号で結べる。

$2 - 2 (cos α cos β + sin α sin β) = 2 - 2 cos (α - β)$

両辺から $2$ を引き、 $- 2$ で割ると $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$ 。

$α$ と $β$ の大きさに条件をつけていません。座標と距離しか使っていないため、どんな角でも通る。

残りの 5 つを導く

$β$ を $- β$ に替えます。 $cos (- β) = cos β$ で符号は変わらず、 $sin (- β) = - sin β$ で符号が変わる。

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

$sin$ のほうは $sin θ = cos (\frac{π}{2} - θ)$ を挟む。

$sin (α + β) = cos (\frac{π}{2} - α - β) = cos ((\frac{π}{2} - α) - β) = cos (\frac{π}{2} - α) cos β + sin (\frac{π}{2} - α) sin β$

$cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$ 、 $sin (\frac{π}{2} - α) = cos α$ を入れると $sin α cos β + cos α sin β$ になる。

$tan$ の 2 つは $\frac{sin ( α \pm β )}{cos ( α \pm β )}$ を計算し、分子と分母を $cos α cos β$ で割れば求められる。

cos(α - β) を証明する

β を -β に替えて cos(α + β)

π/2 - θ の関係を挟んで sin の 2 つ

割り算で tan の 2 つ

証明 2：内積を使う

$OA = (cos α, sin α)$ 、 $OB = (cos β, sin β)$ とします。大きさはどちらも $1$ 。

成分で計算すると $cos α cos β + sin α sin β$ 。定義で計算すると $∣ OA ∣∣ OB ∣ cos (α - β)$ で、 $cos (α - β)$ だけが残ります。

2 つの計算は同じ内積を指しています。等号で結べば加法定理そのもの。

証明 3：面積を使う

鋭角に限れば、面積でも示せる。

頂点の角が $α + β$ の三角形をとり、その頂点から底辺へ垂線を下ろす。垂線の長さを $h$ とし、角が $α$ と $β$ に分かれるようにとる。

2 辺と挟む角から面積を書きます。2 辺は $\frac{h}{cos α}$ と $\frac{h}{cos β}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{h}{cos α} \cdot \frac{h}{cos β} \cdot sin (α + β)$

底辺と高さから書くと $\frac{1}{2} (h tan α + h tan β) \cdot h$ になる。どちらも同じ三角形の面積です。両辺を $\frac{h ^{2}}{2}$ で割ります。

$\frac{sin ( α + β )}{cos α cos β} = tan α + tan β$

右辺を通分すると $\frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β}$ 。両辺に $cos α cos β$ をかければ $sin$ の加法定理です。

この図は、 $α$ も $β$ も鋭角で和も $9 0^{\circ}$ 未満のときしか描けない。

弦と内積による証明

座標だけを使うので、角の大きさに条件がつかない。一般の角でそのまま通る

面積による証明

図がそのまま式になるが、鋭角のときしか描けない。ほかの角へ広げるには別の議論が必要

示したい式を途中で使わない

証明のなかで、示したい式そのものを使ってしまうことがあります。たとえば $sin$ の 2 倍角を途中で使う形。

2 倍角は加法定理から導いた式だから、それを使って加法定理を示すと堂々巡りになる。

弦による証明で使う道具は、座標と $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ だけです。もとをたどれば三平方の定理で、加法定理を経由しない。

内積による証明も同じように確かめます。 $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ の根拠は余弦定理で、余弦定理は三平方の定理までさかのぼれる。

弦による証明で、 $PQ^{2}$ を展開したあとに使う関係はどれですか。

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
$sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$
$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$

__RESULT__

展開すると $cos^{2} α + sin^{2} α$ と $cos^{2} β + sin^{2} β$ が並びます。どちらも $1$ にまとまるので、使うのは相互関係のほうです。2 倍角は加法定理から導いた式です。ここで当てはめると、示したい式を先に使ったことになります。

$P (cos α, sin α)$ と $Q (cos β, sin β)$ を $- β$ だけ回すと、 $(1, 0)$ へ動くのはどちらですか。

$P$
$Q$
どちらも動かない

__RESULT__

角から $β$ を引くので、 $Q$ の角が $β - β = 0$ になります。 $P$ の角は $α - β$ に変わり、こちらが $A$ です。 $P$ と $B$ を対応させると、そのあとの計算が合いません。

1 つの量を 2 通りに計算して、等号で結ぶ。弦でも内積でも面積でも、組み立ては変わりません。

$\cos(\alpha - \beta)$ さえ示せば、残りの 5 つは置きかえと割り算で作れます。$\beta$ を $-\beta$ に替え、$\sin\theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$ を挟み、最後に割る。その 1 つは、単位円上の 2 点の距離を座標から計算し、図を $-\beta$ 回してもう一度計算すれば示せます。同じ長さを 2 通りに書いて等号で結ぶ、という組み立ては内積でも面積でも変わらない。面積による証明が鋭角にしか使えない理由と、2 倍角を途中で使うと堂々巡りになる話まで。