加法定理のくわしい証明

加法定理は三角関数の公式の中で最も重要なものの一つです。ここでは $cos (α - β)$ の証明から始めて、他の公式を導く流れを詳しく説明します。

$cos (α - β)$ の証明

単位円上に2点をとります。点 $P$ は角度 $α$ の位置、点 $Q$ は角度 $β$ の位置にあるとします。

$P = (cos α, sin α), Q = (cos β, sin β)$

2点間の距離 $PQ$ を座標から計算すると

$P Q^{2} = (cos α - cos β)^{2} + (sin α - sin β)^{2}$

これを展開します。

$P Q^{2} = cos^{2} α - 2 cos α cos β + cos^{2} β + sin^{2} α - 2 sin α sin β + sin^{2} β$

$cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ と $cos^{2} β + sin^{2} β = 1$ を使って整理すると

$P Q^{2} = 2 - 2 (cos α cos β + sin α sin β)$

一方、同じ距離を余弦定理で求めます。三角形 $OPQ$ （ $O$ は原点）において、 $OP = OQ = 1$ 、 $∠ POQ = α - β$ なので

$P Q^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot cos (α - β) = 2 - 2 cos (α - β)$

2つの式を比較して

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

が得られます。

$cos (α - β)$ の式で $β$ を $- β$ に置き換えます。 $cos (- β) = cos β$ 、 $sin (- β) = - sin β$ を使うと

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

となります。

$sin θ = cos (\frac{π}{2} - θ)$ という関係を使います。

$sin (α + β) = cos (\frac{π}{2} - (α + β)) = cos ((\frac{π}{2} - α) - β)$

ここで $cos (α - β)$ の公式を適用します。

$= cos (\frac{π}{2} - α) cos β + sin (\frac{π}{2} - α) sin β$

$cos (\frac{π}{2} - α) = sin α$ 、 $sin (\frac{π}{2} - α) = cos α$ なので

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$

が得られます。

$sin (α + β)$ の式で $β$ を $- β$ に置き換えると

$sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$

となります。

$tan (α + β) = \frac{s i n ( α + β )}{c o s ( α + β )}$ に、すでに求めた公式を代入します。

$tan (α + β) = \frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β - sin α sin β}$

分子と分母を $cos α cos β$ で割ると

$tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$

$β$ を $- β$ に置き換えれば $tan (α - β)$ の公式も得られます。