バナッハの不動点定理（縮小写像の原理）

バナッハの不動点定理（縮小写像の原理）は、完備距離空間上の縮小写像が一意の不動点をもつことを保証します。微分方程式の解の存在証明などに広く応用されます。

縮小写像の定義

距離空間 $(X, d)$ 上の写像 $T : X \to X$ が 縮小写像 であるとは、ある定数 $0 \leq k < 1$ が存在して

$d (T x, T y) \leq k \cdot d (x, y) (\forall x, y \in X)$

が成り立つことをいいます。この $k$ を縮小定数といいます。

縮小写像は一様連続ですが、リプシッツ連続より強い条件です。

定理の主張

$(X, d)$ を空でない完備距離空間、 $T : X \to X$ を縮小写像とします。このとき

存在

$T$ は一意の不動点 $x^{*} \in X$ （すなわち $T x^{*} = x^{*}$ ）をもちます。

収束

任意の初期点 $x_{0} \in X$ に対して、反復列 $x_{n + 1} = T x_{n}$ は $x^{*}$ に収束します。

収束速度

$d (x_{n}, x^{*}) \leq \frac{k ^{n}}{1 - k} d (x_{0}, x_{1})$ が成り立ちます。

証明の概略

任意の $x_{0}$ から始めて $x_{n + 1} = T x_{n}$ で点列を構成します。縮小性から

$d (x_{n + 1}, x_{n}) \leq k^{n} d (x_{1}, x_{0})$

これより $(x_{n})$ はコーシー列です。 $X$ の完備性から極限 $x^{*} = lim_{n} x_{n}$ が存在し、 $T$ の連続性から $T x^{*} = x^{*}$ が従います。

一意性は、 $T x^{*} = x^{*}$ , $T y^{*} = y^{*}$ とすると $d (x^{*}, y^{*}) = d (T x^{*}, T y^{*}) \leq k \cdot d (x^{*}, y^{*})$ より $d (x^{*}, y^{*}) = 0$ となることからわかります。

応用例

常微分方程式の解の存在

初期値問題 $y^{'} = f (t, y)$ , $y (t_{0}) = y_{0}$ を積分方程式 $y (t) = y_{0} + \int_{t_{0}}^{t} f (s, y (s)) d s$ に変換します。 $f$ がリプシッツ条件を満たせば、右辺を作用素とみなして縮小写像の原理が適用できます（ピカールの定理）。

非線形方程式の解法

方程式 $x = g (x)$ を $T (x) = g (x)$ として反復 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ で解く方法は、 $T$ が縮小写像なら収束が保証されます。

バナッハ空間に限らず完備距離空間で成り立つため、応用範囲が非常に広い定理です。