リースの表現定理

リースの表現定理は、ヒルベルト空間上の有界線形汎関数がすべて内積で表されることを主張します。ヒルベルト空間の双対空間を完全に特徴づけます。

定理の主張

$H$ をヒルベルト空間とします。任意の有界線形汎関数 $f\in H^{\ast }$ に対して、一意の $y\in H$ が存在して

$$f(x)=⟨x,y⟩(\forall x\in H)$$

が成り立ちます。さらに $\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$ です。

証明の概略

$f=0$ のときは $y=0$ でよいので、$f\ne 0$ とします。

$\ker f=\{x\in H:f(x)=0\}$ は閉部分空間で、$f\ne 0$ なので $\ker f\ne H$ です。直交分解により

$$H=\ker f\oplus (\ker f{)}^{\perp }$$

$(\ker f{)}^{\perp }$ は1次元なので、$0\ne z\in (\ker f{)}^{\perp }$ をとります。

$y=\frac{\overline{f(z)}}{\Vert z{\Vert }^2}z$ とおくと、任意の $x$ に対して $x-\frac{f(x)}{f(z)}z\in \ker f$ なので

$$⟨x,y⟩=\frac{f(z)}{\Vert z{\Vert }^2}⟨x,z⟩=f(x)$$

が確認できます。

系：ヒルベルト空間の自己双対性

リースの表現定理により、写像 $\Phi :H\to H^{\ast }$, $\Phi (y)(x)=⟨x,y⟩$ は等距離な全単射です。

バナッハ空間との違い

一般のバナッハ空間では、$X^{\ast }$ が $X$ と同型になるとは限りません。リースの表現定理はヒルベルト空間に特有の性質です。

例えば ${\ell }^1$ の双対は ${\ell }^{\infty }$ であり、${\ell }^1$ とは同型ではありません。

応用：内積による汎関数の特定

有界線形汎関数を具体的に求める問題では、リースの表現定理を使って対応する $y$ を見つけます。$L^2[0,1]$ 上の汎関数

$$f(g)={\int }_0^{1}g(t)t^{2}dt$$

は $y(t)=t^2$ を使って $f(g)=⟨g,y⟩$ と書けます。