弧度法の意味と使う理由

弧度法（ラジアン）は、角度を円弧の長さで表す方法です。度数法（ $60°$ , $90°$ など）に比べて、数学的な計算がすっきりします。

弧度法の定義

半径 $r$ の円で、弧の長さが $r$ になるような中心角を $1$ ラジアンと定めます。円周の長さは $2 π r$ なので、一周は $2 π$ ラジアンです。

$360° = 2 π rad$

つまり $180° = π$ rad です。これが度数法と弧度法の変換の基本になります。

度数法から弧度法へ変換するには $\frac{π}{180}$ をかけます。

$θ （度） = θ \times \frac{π}{180} （ rad ）$

弧度法から度数法へ変換するには $\frac{180}{π}$ をかけます。

$θ （ rad ） = θ \times \frac{180}{π} （度）$

弧度法を使うと、弧の長さと扇形の面積が簡単な式で表せます。半径 $r$ 、中心角 $θ$ （rad）のとき

$弧の長さ = r θ$

$扇形の面積 = \frac{1}{2} r^{2} θ$

度数法だと係数に $\frac{π}{180}$ が入って煩雑になりますが、弧度法なら係数なしで計算できます。

微分積分での利点

$sin x$ の微分が $cos x$ になるのは、 $x$ がラジアンのときだけです。度数法だと余計な係数 $\frac{π}{180}$ がついてしまいます。

極限公式

$lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ も、 $x$ がラジアンのときに成り立つ公式です。

大学以降の数学では、角度は常にラジアンで扱います。高校でも三角関数のグラフや微分積分ではラジアンを使うことが多いです。