正規直交基底とフーリエ展開

正規直交基底はヒルベルト空間の構造を解析する基本的なツールです。フーリエ展開は正規直交基底を使った級数展開の典型例です。

正規直交系

ヒルベルト空間 $H$ の部分集合 $\{e_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ が 正規直交系 であるとは、次が成り立つことをいいます。

$$⟨e_{\alpha },e_{\beta }⟩={\delta }_{\alpha \beta }=\{\begin{array}{ll}1& (\alpha =\beta )\\ 0& (\alpha \ne \beta )\end{array}$$

つまり、各ベクトルはノルム $1$ で、異なるベクトルは互いに直交します。

正規直交基底

正規直交系 $\{e_{\alpha }\}$ が 正規直交基底（完全正規直交系）であるとは、次の同値な条件のいずれかを満たすことをいいます。

フーリエ展開

正規直交基底 $\{e_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ に対して、任意の $x\in H$ は

$$x=\sum _{n=1}^{\infty }⟨x,e_n⟩e_n$$

と展開できます。係数 $c_n=⟨x,e_n⟩$ を フーリエ係数 といいます。

典型例

$L^2[-\pi ,\pi ]$ において

$$e_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{inx}(n\in \mathbb{Z})$$

は正規直交基底をなします。関数 $f$ のフーリエ展開は

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{inx},c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx$$

です。

ベッセルの不等式

正規直交系（基底でなくてもよい）$\{e_n\}$ に対して、常に

$$\sum _n|⟨x,e_n⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$$

が成り立ちます（ベッセルの不等式）。等号が成り立つのは、正規直交系が正規直交基底のときです。

可分ヒルベルト空間

可算な正規直交基底をもつヒルベルト空間を 可分 といいます。可分なヒルベルト空間は ${\ell }^2$ と同型です。$L^2$ 空間は可分です。