係数を内積ひとつで読み出す（正規直交基底とフーリエ展開）

ヒルベルト空間 $H$ のベクトルの族 $\{e_i\}$ が $⟨e_i,e_j⟩={\delta }_{ij}$ を満たすとき、正規直交系といいます^[1]。

長さが $1$ で、互いに直交している。それだけの条件です。

この条件があると、係数が内積ひとつで読み出せます。$x={\sum }_i{c}_i{e}_i$ の両辺に $e_j$ を当てると、他の項が消えて $c_j$ だけが残る。

$$c_j=⟨x,e_j⟩$$

連立方程式を解く必要がありません。基底が直交していることの、いちばん分かりやすい御利益です。

ベッセルの不等式

有限個の $e_1,\dots ,e_n$ が張る空間へ $x$ を射影すると、長さは増えません^[3]。

$$\sum _{i=1}^n|⟨x,e_i⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$$

$n$ を増やしても右辺は変わらないので、無限個でも同じ不等式が立ちます。係数の二乗和が収束することが、ここから分かる。

証明は $\Vert x-{\sum }_i⟨x,e_i⟩e_i{\Vert }^2\ge 0$ を展開するだけ。引いた残りが直交補空間に落ちるので、ピタゴラスの定理が使えます。

完全であることの同値な言い方

系が「基底」と呼べるかどうかは、次のどれかで判定します^[1]。どれも同値。

3 番目がいちばん確かめやすい場面が多い。「この系と直交するものは $0$ だけか」を見るだけで済みます。

完全な正規直交系を正規直交基底と呼びます^[1]。ただしハメル基底とは別物で、有限和では書けません。無限和が要ります^[1]。

パーセバルの等式と展開

完全な系のもとでは、ベッセルの不等式が等式になります^[3]。

$$\Vert x{\Vert }^2=\sum _i|⟨x,e_i⟩{|}^2,x=\sum _i⟨x,e_i⟩e_i$$

右の展開は $H$ のノルムで収束します。各点収束ではないところが、関数空間では効いてくる。

内積そのものも係数だけで書けます。極化して並べれば出る形。

$$⟨x,y⟩=\sum _i⟨x,e_i⟩\overline{⟨y,e_i⟩}$$

情報が係数に全部移った、と読めます。ベクトルの側で計算するか、係数の側で計算するかを選べる。

例：三角関数系

$L^2([0,1])$ で $f_n(x)=e^{2\pi inx}$（$n\in \mathbb{Z}$）は正規直交基底になります^[1]。

直交性は積分で確かめられます。$n\ne m$ なら ${\int }_0^1{e}^{2\pi i(n-m)x}dx=0$。

完全性のほうは、三角多項式が $L^2$ で稠密であることから出ます。フーリエ級数の理論そのもの^[4]。

係数 $\hat{f}(n)=⟨f,f_n⟩$ がフーリエ係数で、パーセバルの等式が次の形になります。

$${\int }_0^1|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|\hat{f}(n){|}^2$$

エネルギーが時間の側でも周波数の側でも同じ、という言い方をされる関係です。

例：ルジャンドル多項式

$L^2([-1,1])$ で、単項式 $1,x,x^2,\dots$ にグラム・シュミットを当てます^[1]。

出てくる多項式がルジャンドル多項式です。正規化を除くと次のように並ぶ。

$$P_0=1,P_1=x,P_2=\frac{3x^2-1}{2},P_3=\frac{5x^3-3x}{2}$$

多項式が $C[-1,1]$ で稠密なので、この系は完全になります。フーリエ級数の多項式版として使える。

可分性と ${\ell }^2$ との同型

可算な正規直交基底を持つことと、$H$ が可分であることは同値です^[1]。

可算な基底があれば、有理係数の有限和が可算な稠密集合になる。逆に可分なら、稠密列にグラム・シュミットを当てて基底が作れます。

基底があると、係数の列をとる写像で ${\ell }^2$ と同一視できます^[2]。

$$x⟼(⟨x,e_1⟩,⟨x,e_2⟩,\dots )$$

パーセバルの等式から、この対応はノルムを保ちます。内積まで保つので、等長同型というより内積を保つ同型。

可分な無限次元ヒルベルト空間は、どれも ${\ell }^2$ と同じもの、ということになります。関数空間も数列空間も、この見方では区別がありません。

係数の落ち方が滑らかさを表す

展開係数の減り方には意味があります。滑らかな関数ほど、高い番号の係数が速く落ちる。

区分的に滑らかで跳びのある関数だと、フーリエ係数は $1/n$ 程度でしか落ちません。跳びがなく連続に微分できるなら、もっと速く落ちる。

パーセバルの等式は、二乗和が有限であることまでしか言いません。落ち方の速さは、関数の滑らかさを別に調べて分かること。

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よくある誤り

参考文献