正規直交基底とフーリエ展開

正規直交基底はヒルベルト空間の構造を解析する基本的なツールです。フーリエ展開は正規直交基底を使った級数展開の典型例です。

正規直交系

ヒルベルト空間 $H$ の部分集合 ${e_{α}}_{α \in A}$ が 正規直交系 であるとは、次が成り立つことをいいます。

$⟨ e_{α}, e_{β} ⟩ = δ_{α β} = {10 (α = β) (α \neq = β)$

つまり、各ベクトルはノルム $1$ で、異なるベクトルは互いに直交します。

正規直交系 ${e_{α}}$ が 正規直交基底（完全正規直交系）であるとは、次の同値な条件のいずれかを満たすことをいいます。

稠密性

$\overline{span {e_{α}}} = H$

完全性

$⟨ x, e_{α} ⟩ = 0$ （すべての $α$ ） $\Rightarrow x = 0$

パーセバルの等式

$∥ x ∥^{2} = \sum_{α} ∣ ⟨ x, e_{α} ⟩ ∣^{2}$ （すべての $x \in H$ ）

正規直交基底 ${e_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ に対して、任意の $x \in H$ は

$x = n = 1 \sum \infty ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$

と展開できます。係数 $c_{n} = ⟨ x, e_{n} ⟩$ を フーリエ係数 といいます。

$L^{2} [- π, π]$ において

$e_{n} (x) = \frac{1}{2 π} e^{in x} (n \in Z)$

は正規直交基底をなします。関数 $f$ のフーリエ展開は

$f (x) = n = - \infty \sum \infty c_{n} e^{in x}, c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- in x} d x$

です。

正規直交系（基底でなくてもよい） ${e_{n}}$ に対して、常に

$n \sum ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$

が成り立ちます（ベッセルの不等式）。等号が成り立つのは、正規直交系が正規直交基底のときです。

可算な正規直交基底をもつヒルベルト空間を可分といいます。可分なヒルベルト空間は $ℓ^{2}$ と同型です。 $L^{2}$ 空間は可分です。