正規直交基底はヒルベルト空間の構造を解析する基本的なツールです。フーリエ展開は正規直交基底を使った級数展開の典型例です。
正規直交系
ヒルベルト空間 の部分集合 が 正規直交系 であるとは、次が成り立つことをいいます。
つまり、各ベクトルはノルム で、異なるベクトルは互いに直交します。
正規直交基底
正規直交系 が 正規直交基底（完全正規直交系）であるとは、次の同値な条件のいずれかを満たすことをいいます。
稠密性
完全性
（すべての ）
パーセバルの等式
（すべての ）
フーリエ展開
正規直交基底 に対して、任意の は
と展開できます。係数 を フーリエ係数 といいます。
典型例
において
は正規直交基底をなします。関数 のフーリエ展開は
です。
ベッセルの不等式
正規直交系（基底でなくてもよい） に対して、常に
が成り立ちます（ベッセルの不等式）。等号が成り立つのは、正規直交系が正規直交基底のときです。
可分ヒルベルト空間
可算な正規直交基底をもつヒルベルト空間を 可分 といいます。可分なヒルベルト空間は と同型です。 空間は可分です。
