数をひとつ返す写像を集める〜双対空間と有界線形汎関数

ノルム空間 $X$ からスカラーへの線形写像 $\phi :X\to \mathbb{R}$ を線形汎関数といいます^[3]。有界であるとは、定数 $M$ がとれて次が成り立つこと。

$$|\phi (x)|\le M\Vert x\Vert (\forall x\in X),\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x\Vert }$$

有界な線形汎関数をすべて集めたものが双対空間 $X^{\ast }$ です^[1]。値域が $\mathbb{R}$ という特別な場合の作用素空間、という位置づけになります。

代数的双対と位相的双対

線形性だけを課した汎関数の全体を代数的双対、連続性まで課したものを位相的双対と呼び分けます^[4]。

有限次元なら両者が一致します。線形写像が無条件で有界になるから。

無限次元では大きく食い違う^[3]。連続でない線形汎関数が、いくらでも作れてしまいます。

関数解析で $X^{\ast }$ と書くときは、ふつう位相的双対のほう。連続なものだけを相手にします。

汎関数を幾何で見ると、値が等しい点の集まりが平行な超平面の族になります。核が原点を通る超平面で、そこからどれだけ離れているかが値。

双対空間はいつでもバナッハ空間

$X^{\ast }$ は、$X$ が完備でなくてもバナッハ空間になります^[4]。

理由は値域が $\mathbb{R}$ だから。作用素の空間 $B(X,Y)$ は $Y$ が完備なら完備で、ここでは $Y=\mathbb{R}$ が完備です^[3]。

だから双対をとる操作は、完備性を勝手に補ってくれる。もとの空間の欠点にかかわらず、双対側は扱いやすくなります。

有限次元では自分自身と同型

$X$ が $n$ 次元なら、$X^{\ast }$ も $n$ 次元です^[3]。基底 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ に対し、座標をとり出す汎関数を並べる。

$${\omega }_i\left(\sum _{j=1}^n{x}_j{e}_j\right)=x_i,{\omega }_i(e_j)={\delta }_{ij}$$

$\{{\omega }_1,\dots ,{\omega }_n\}$ が $X^{\ast }$ の基底で、双対基底と呼ばれます^[4]。どの汎関数も $\phi ={\sum }_i\phi (e_i){\omega }_i$ と書けます。

ただし同型の作り方は基底の選び方に依存します^[3]。$X$ と $X^{\ast }$ は同じ次元なのに、自然な対応がない。

ヒルベルト空間では事情が変わり、内積を使った自然な同一視ができます。これがリースの表現定理の内容です^[3]。

${\ell }^p$ の双対が ${\ell }^q$ になるのも、この絵の延長です^[4]。$1/p+1/q=1$ を満たす指数の組で、ヘルダーの不等式がノルムの一致を与えます。

$$({\ell }^p{)}^{\ast }\cong {\ell }^q(1\le p<\infty ),(L^p{)}^{\ast }\cong L^q$$

$p=2$ のときは $q=2$ なので、$L^2$ は自分自身と双対になる^[3]。自己双対と呼ばれる状態です。

例：連続関数の空間の双対

$C[a,b]$ の双対は、簡単な形には収まりません^[3]。

密度 $\rho \in L^1[a,b]$ を掛けて積分する汎関数は、確かに有界です。

$$\phi (f)={\int }_a^{b}f(x)\rho (x)dx$$

ところがこの形で尽きません。1 点での値を返す評価汎関数 ${\delta }_{x_0}(f)=f(x_0)$ も有界線形汎関数で、密度では書けない^[3]。

$C[a,b]$ の双対の正体は、区間上のラドン測度の空間です^[3]。関数では足りず、測度まで広げてはじめて全部が書ける。

例：連続でない線形汎関数

無限次元では、有界でない線形汎関数が作れます^[3]。

$C[0,1]$ で単項式の集まり $\{x^n\}$ をとり、ハメル基底へ延ばします。各 $f$ は有限個の基底の 1 次結合で一意に書ける。

$x^n$ の係数を返す汎関数 ${\phi }_n$ を作り、$\phi ={\sum }_{n}n{\phi }_n$ と定めます。各 $f$ では有限個の項しか残らないので、値は定まる。

ところが $\Vert x^n\Vert =1$ なのに $|\phi (x^n)|=n$ なので、有界ではありません^[3]。無限次元の線形空間には、必ずこの種の汎関数があります。

選択公理を使ってハメル基底をとるところが、この構成の要点。具体的に書き下すことはできません。

二重双対への自然な埋め込み

$X^{\ast }$ もバナッハ空間なので、その双対 $X^{\ast \ast }$ が作れます^[3]。二重双対と呼びます。

$X$ から $X^{\ast }$ への自然な対応はなかった。ところが $X$ から $X^{\ast \ast }$ へは、自然な対応があります。

$$F_x(\phi )=\phi (x)(\phi \in X^{\ast })$$

$x$ を「$\phi$ に $\phi (x)$ を返す機械」と読み替えただけ。基底を選ぶ必要がありません。

この $J:x\mapsto F_x$ は単射で、しかもノルムを保ちます^[2]。ハーン・バナッハの定理が、ノルムを実現する汎関数の存在を保証するからです。

反射性

$J$ が全射のとき、$X$ を反射的といいます^[2]。$X$ と $X^{\ast \ast }$ が等長同型になる状態です。

ヒルベルト空間はすべて反射的で、$1<p<\infty$ の $L^p$ も反射的^[2]。有限次元の空間はもちろん反射的です。

反射的でない例も基本的なものばかりです。$c_0$、${\ell }^1$、${\ell }^{\infty }$、$C[0,1]$、$L^1$ がそれにあたる^[2]。

バナッハ空間が反射的であることと、その双対が反射的であることは同値になります^[2]。反射性は双対をとる操作で保たれる性質です。

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よくある誤り

参考文献