双対空間と有界線形汎関数

双対空間はノルム空間の構造を理解するうえで不可欠な概念です。空間上の有界線形汎関数を集めたものとして定義されます。

有界線形汎関数

ノルム空間 $X$ 上の 有界線形汎関数 とは、$X$ からスカラー体 $\mathbb{K}$（$\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$）への有界線形作用素のことです。

つまり $f:X\to \mathbb{K}$ が線形かつ

$$|f(x)|\le M\Vert x\Vert (\forall x\in X)$$

を満たすものです。

双対空間の定義

$X$ 上のすべての有界線形汎関数からなる空間を $X$ の 双対空間 といい、$X^{\ast }$ と書きます。

$$X^{\ast }=\mathcal{B}(X,\mathbb{K})$$

$X^{\ast }$ は作用素ノルムによってノルム空間になります。$\mathbb{K}$ は完備なので、$X^{\ast }$ は常にバナッハ空間です（$X$ が完備でなくても）。

典型的な双対空間

${\ell }^p$ と ${\ell }^q$ の対応では、$y=(y_n)\in {\ell }^q$ に対して汎関数 $f_y(x)={\sum }_n{x}_n{y}_n$ が定まり、$\Vert f_y\Vert =\Vert y{\Vert }_q$ となります。

二重双対と反射性

$X^{\ast }$ の双対空間 $X^{\ast \ast }$ を 二重双対空間 といいます。各 $x\in X$ は $X^{\ast \ast }$ の元を定めます。

$$\hat{x}(f)=f(x)(f\in X^{\ast })$$

写像 $x\mapsto \hat{x}$ は等距離埋め込み $X\hookrightarrow X^{\ast \ast }$ を与えます。この写像が全射になるとき、$X$ は 反射的（reflexive）であるといいます。