Preparamos una cavidad completamente negra por dentro y mantenemos sus paredes a una temperatura fijada. El interior se llena de ondas electromagnéticas que intercambian calor con la pared hasta llegar al equilibrio. La pregunta aquí es de qué color es la luz que hay dentro.
Como en la pared la amplitud tiene que ser 0, las ondas que pueden sostenerse dentro son solo unas cuantas. Como se ve en la figura, quedan limitadas a aquellas en las que cabe un número entero de semilongitudes de onda. A cada una de ellas se la llama modo.
Los modos no tienen que ver unos con otros. Por eso el contenido de la cavidad se puede tratar como un conjunto de modos independientes. En el capítulo anterior vimos que, si son independientes, la función de partición se separa en un producto. Vale aquella forma.
Contemos ahora cuántos modos hay. Con una cavidad de 3 dimensiones, el número de modos con frecuencia entre \nu y \nu + d\nu es proporcional a \nu^2.
La razón es la misma que cuando contamos el espacio de fases. En el espacio donde se ordenan las parejas de dirección y longitud de onda, los modos por debajo de \nu ocupan el interior de una esfera de radio \nu. Como el área de esa esfera es proporcional a \nu^2, también lo es el número que cabe en una capa delgada.
La curva de la figura es ese número. Cuanto más alta es la frecuencia, más modos se pueden apretar, y sin límite. Aquí está la trampa.
Apliquemos la teoría clásica. Según el teorema de equipartición, un modo es un oscilador y lleva por tanto kT. Como el número de modos crece con \nu^2, la energía por unidad de frecuencia queda \nu^2 kT.
La curva tenue de la figura es esa. Cuanto más a la derecha, mayor es, y no se detiene. Al sumarlo todo sale infinito. Asomarse a la cavidad daría una energía infinita, y eso no puede ser. Es el callejón sin salida que se llamó catástrofe ultravioleta.
La curva clara es la forma que se mide en realidad. A frecuencias bajas coincide con la teoría clásica, pero por el camino levanta un pico y cae. En la escena siguiente veremos en qué se equivoca la teoría clásica.
Lo que estaba equivocado era que un modo lleve kT. Esa es la respuesta del teorema de equipartición y, como vimos en el capítulo anterior, solo vale cuando kT supera con mucho la separación entre escalones.
Un modo suelto es un oscilador armónico. Así que vale tal cual la respuesta del artículo del oscilador, y la energía media queda \dfrac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}. La separación entre escalones es h\nu, y se ensancha cuanto más alta es la frecuencia.
Aquí está la clave. Los modos de frecuencia alta tienen los escalones anchos y kT no llega a ellos. Es decir, están congelados y no pueden llevar energía. Por mucho que crezca el número de modos, esa zona no se usa, y por eso no diverge.
Multiplicando el número de modos por la energía de un modo suelto tenemos la respuesta. Es el producto de \nu^2 por \dfrac{h\nu}{e^{\beta h\nu} - 1}, y esta es la distribución de Planck. A frecuencias bajas se superpone a la teoría clásica y en lo alto cae exponencialmente.
La figura muestra la forma al cambiar la temperatura. Al subirla, el pico se desplaza a la derecha y a la vez sube. Que la posición del pico sea proporcional a la temperatura se llama ley de desplazamiento de Wien, y con ella se explica que el hierro al calentarse pase del rojo al blanco.
Planck escribió esta fórmula en 1900. La teoría cuántica empezó ahí, en que la forma no cuadraba si no se suponía que la energía era discreta. Aquí hemos hecho el camino inverso: tomar prestado el resultado de la mecánica cuántica, pasarlo por la mecánica estadística y sacar la misma fórmula.