Tratamos con el gas que hay dentro de una caja. Suponemos que las moléculas solo chocan entre sí, sin atraerse ni repelerse. Entonces la energía que lleva una molécula es solo cinética, \dfrac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2).
Escribimos la energía cinética de cada componente como \varepsilon_x = \dfrac{1}{2}mv_x^2. Metida en el factor de Boltzmann, la probabilidad queda como el producto de e^{-\beta\varepsilon_x} y sus compañeras. Como en el exponente hay una suma, las tres componentes se separan en un producto. Es decir, cada componente es independiente y todas tienen una distribución de la misma forma.
La figura es la de una componente. Tiene forma de campana centrada en 0 y se extiende igual hacia la derecha que hacia la izquierda. Que lo más probable sea estar parado suena extraño, pero esto es una componente de la velocidad. La rapidez cambia de forma en la escena siguiente.
Las moléculas con la misma rapidez v son muchas, y solo se diferencian en la dirección. Dicho en el espacio de velocidades, pueden estar en cualquier punto de la esfera de radio v. La extensión de esa esfera es proporcional a v^2.
Por eso la distribución de la rapidez es la campana multiplicada por v^2. La curva tenue de la figura es la campana, la curva casi recta que sube es v^2, y la curva clara es su producto. Se llama distribución de Maxwell.
Gracias al v^2, la zona de v = 0 queda aplastada. La rapidez más probable ya no es 0, sino que se traslada a la cima del pico. Esto es lo que quiere decir que apenas hay moléculas paradas.
Al subir la temperatura se alarga la cola del factor de Boltzmann y aparecen moléculas rápidas. La cima del pico se desplaza a la derecha.
A la vez, el pico baja. Como el número total de moléculas no cambia, el área bajo la curva tiene que ser siempre la misma. Lo que gana a lo ancho lo pierde a lo alto.
Las tres curvas tenues de la figura son los dos extremos de temperatura y el centro, y la curva clara es la temperatura actual. A baja temperatura el pico es estrecho y alto y queda a la izquierda; a alta temperatura es bajo y ancho y arrastra cola hasta la derecha.
Conocida la distribución, tomamos el promedio. Sale \dfrac{1}{2}kT por componente, y con las tres componentes \langle E \rangle = \dfrac{3}{2}kT.
Lo importante es que ahí no aparece la masa. A la misma temperatura, las moléculas pesadas y las ligeras tienen la misma energía cinética. Las ligeras se mueven más deprisa, y así cuadran las cuentas.
La figura es la energía media frente a la temperatura: una recta que pasa por el origen. Es una relación de la que se puede decir sin más que la temperatura es la energía misma, y k aquí también se limita a ajustar las unidades. Hasta dónde vale esta forma en general lo tratamos en el artículo siguiente.
Por último, la presión. Cada vez que una molécula choca contra la pared y rebota, la pared recibe un momento igual a 2mv_x. Lo que eso se acumula por unidad de tiempo es directamente la fuerza.
La flecha de la figura es una de esas veces. El número de moléculas que llegan a la pared por unidad de tiempo es proporcional al producto de la densidad por v_x. Por eso la fuerza resulta proporcional al promedio de v_x^2, y ahí metemos el \langle v_x^2 \rangle = \dfrac{kT}{m} de la escena anterior.
Lo que sale es pV = NkT. La ley de los gases, encontrada a partir de experimentos, ha salido sin más que contar cuántas veces golpean las moléculas la pared. Es también la comprobación de que todo lo montado hasta aquí enlaza de verdad con la realidad.