En el artículo anterior tratamos un sólido como 3N osciladores. Es el modelo de Einstein. Daba el 3R de Dulong y Petit a alta temperatura y una capacidad calorífica que cae a baja temperatura. Hasta ahí acertaba. La caída, eso sí, era más abrupta que la medida.
La razón de que sea demasiado abrupta está en la suposición: que los 3N osciladores tengan todos la misma frecuencia. Esa es la fila de arriba de la figura, donde cada átomo se mueve por su cuenta.
Pero los átomos reales están unidos a sus vecinos por muelles. Si movemos uno, arrastra al de al lado. Esa es la fila de abajo, donde el movimiento no es de un átomo cada vez, sino una onda que recorre la fila entera. A distinta longitud de onda, distinta frecuencia, así que nunca pudo bastar con una sola.
En cuanto las tratamos como ondas, el recuento es el mismo que para la luz en una cavidad. Una fila con los dos extremos sujetos solo admite ciertas ondas, aquellas en las que cabe un número entero de semilongitudes de onda. Cada una de ellas es un modo.
La figura va subiendo de uno en uno el número de la onda. Cuanto más alto es el número, más corta la longitud de onda y más alta la frecuencia. Las barras verticales de los extremos son donde la fila está sujeta, y es esa sujeción la que decide qué puede sostenerse.
Donde el recuento es el mismo, también lo es el número. El número de modos con frecuencia entre \omega y \omega + d\omega es proporcional a \omega^2, exactamente la misma cuenta que hicimos en el artículo de la radiación del cuerpo negro.
Hay una diferencia con la luz. Los modos de la luz suben sin fin; los de un sólido, no.
La razón es un recuento. Hay N átomos y cada uno puede moverse en 3 direcciones, de modo que solo hay 3N maneras independientes de moverse. Los modos, por tanto, se detienen en 3N. La longitud de onda más corta es la onda en la que los átomos vecinos van en sentidos opuestos, y nada más fino que eso cabe en una fila de átomos.
La zona coloreada de la figura son esos 3N modos. La frecuencia en la que se detiene es la frecuencia de Debye \omega_{\mathrm{D}}. La curva tenue es lo que sería si siguiera sin detenerse, que es el caso de la luz. En un sólido no hay catástrofe ultravioleta sencillamente porque los modos altos no existen.
Vamos con la zona de baja temperatura. La separación entre escalones cambia de un modo a otro, y cuanto más alta es la frecuencia más ancha es. Como en el artículo anterior, el modo cuyos escalones kT no alcanza se congela.
Así que los únicos modos que pueden moverse son los que tienen \omega por debajo de \dfrac{kT}{\hbar}. La zona coloreada de la figura es ese rango, y al subir la temperatura se ensancha.
El número de modos crece como \omega^2, así que el número que cae dentro de ese rango crece como la 3ª potencia de su anchura, es decir, la 3ª potencia de T. Cada uno de ellos lleva algo del orden de kT, de modo que la energía va como la 4ª potencia de T, y la capacidad calorífica, su derivada, como la 3ª. Es la ley T^{3} de Debye.
La figura pone a Debye junto a Einstein. A alta temperatura las dos quedan sobre el 3R de Dulong y Petit, porque en cuanto kT supera la separación entre escalones de todos los modos, la diferencia en el recuento deja de notarse.
La diferencia aparece a baja temperatura. Einstein tiene una sola clase de oscilador, de modo que en cuanto sus escalones se congelan la curva cae exponencialmente. A Debye le quedan modos de frecuencia baja sin fin, así que la caída es suave y va como T^{3}. La que coincide con la medida es la de Debye.
Lo único que ha contado aquí es una cosa: si los átomos se miran por separado o como algo unido. Ni el uso de la función de partición ni el motivo por el que un grado de libertad se congela han cambiado respecto del artículo anterior. Es un ejemplo de llegar a la medida sin corregir más que la forma de contar. En el capítulo siguiente dejamos que se mueva también el número de partículas y pasamos a la estadística cuántica.