Hasta aquí hemos contado como si las partículas llevaran etiqueta. Así fue en el primer artículo, al contar las formas de que hubiera n a la izquierda. Contábamos como estados distintos según qué partícula estuviera a la izquierda.
Pero las partículas de la misma clase no llevan etiqueta. Si intercambiamos un electrón por otro, no hay manera de saber siquiera que ha habido intercambio. La fila de arriba de la figura es el recuento con etiquetas y la de abajo, el recuento sin ellas. Los dos casos del centro quedan aplastados en uno solo abajo.
Si cambia la forma de contar, cambia la respuesta. De aquí en adelante contamos con la forma aplastada.
Las partículas indistinguibles se dividen en dos clases. Las que no admiten más de una en un mismo nivel y las que admiten cuantas sea. A las primeras se las llama fermiones. Los electrones y los protones son de estas.
Escribamos la gran función de partición de un solo nivel. Como el número que hay dentro es 0 o 1, queda \Xi_i = 1 + e^{-\beta(\varepsilon - \mu)}, y nada más. Ha salido exactamente la misma forma que en el sistema de dos niveles que ya tratamos.
El número medio de ocupación es \langle n \rangle = \dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}. La figura va calentando desde cerca del cero absoluto: a baja temperatura todo lo que queda por debajo de \mu está bien lleno y lo de arriba está vacío. Al subir la temperatura, solo ese límite se difumina en una anchura de kT.
A las otras se las llama bosones. Los fotones y los átomos de helio 4 son de estas. En un mismo nivel caben cuantas se quiera.
La gran función de partición de un solo nivel se obtiene sumando 0, 1, 2… Es una serie geométrica de razón e^{-\beta(\varepsilon - \mu)}, exactamente el mismo cálculo que en el oscilador. Queda \Xi_i = \dfrac{1}{1 - e^{-\beta(\varepsilon - \mu)}}.
El número medio de ocupación es \langle n \rangle = \dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} - 1}. Como se ve en la figura, cuanto más bajo es el nivel más se apilan. Si \varepsilon se acerca a \mu el número de ocupación crece sin límite, de modo que \mu no puede subir por encima del nivel más bajo. Esa atadura es la que más adelante da lugar a la condensación de Bose.
Pongamos las dos respuestas juntas. Si el denominador lleva +1, Fermi; si lleva -1, Bose. La diferencia es solo esa. La diferencia en la forma de contar, entre admitir solo 0 y 1 o admitir cuantas sea, queda plegada en ese único signo.
Las tres curvas de la figura están puestas con \varepsilon - \mu en el eje horizontal. La curva tenue del centro es e^{-\beta(\varepsilon - \mu)}, sin ningún signo añadido, es decir, la distribución de Boltzmann de cuando contábamos con etiquetas.
A la izquierda, donde \varepsilon está cerca de \mu, las tres se separan mucho. Fermi se detiene en 1, Bose no tiene techo, y Boltzmann queda entre las dos.
Miremos a la derecha, donde \varepsilon - \mu es mucho mayor que kT. Como e^{\beta(\varepsilon - \mu)} es muchísimo mayor que 1, da lo mismo que el denominador lleve o no el \pm 1. Las tres se superponen exactamente.
Esto quiere decir también que el número de ocupación es mucho menor que 1. Si casi todos los niveles están vacíos, no llega a notarse el acuerdo sobre cuántas caben en uno. Lo mismo que en una sala con asientos de sobra: fijar una regla para compartir mesa no sirve de nada.
Las dos láminas de la figura son las mismas tres curvas a baja y a alta temperatura. A la derecha ya no se distinguen. Si el aire a temperatura y presión normales se dejaba tratar bien con la teoría clásica es porque estaba en este lado poco poblado. En cambio, los electrones dentro de un metal y los gases enfriados a fondo están en el lado poblado, y de eso tratan los artículos que vienen.