En la canónica la energía del sistema no está fijada. ¿Qué valores toma entonces en la práctica? Hay dos cosas que lo deciden.
Una es el número de estados. Cuanto mayor es la energía, más brutalmente crecen los estados. Es la curva que sube en la figura. La otra es el factor de Boltzmann, que cuanto más alta es la energía más pequeño se hace, y de forma exponencial. Es la curva que baja.
La energía que se ve de verdad es proporcional al producto de esas dos. Al multiplicar lo que sube por lo que baja aparece un pico, como abajo en la figura. La energía del sistema no está fijada, pero de ese pico no sale prácticamente nunca.
¿Qué le ocurre a la anchura del pico al aumentar el número de partículas? Dicho desde el resultado, la anchura vista como fracción de la media se encoge como \dfrac{1}{\sqrt{N}}. Es exactamente la misma forma que en el primer artículo de esta serie.
En la figura el eje horizontal está dividido por la media. Al aumentar el número de partículas, el pico se va pegando al entorno de la media.
La razón es también la misma que en el primer artículo. La energía es la suma de lo que aporta cada una de las N partículas, y cuantos más sumandos hay, más se junta el total alrededor de la media. Con 10^{23} partículas, una energía que se suponía no fijada queda en la práctica en un único valor.
Para poner en números lo que se extiende el pico se usa la varianza. Es \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2, y su raíz cuadrada es la anchura dibujada en la figura.
Esto también sale de la función de partición. En el artículo anterior, derivando \log Z una vez respecto de \beta salía la media. Derivando otra vez sale ahora la varianza: \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = \dfrac{\partial^2 \log Z}{\partial \beta^2}.
La primera derivada da el centro; la segunda, la extensión. Sin más que ir derivando la función de partición va saliendo, por orden, la forma de la distribución.
Reescribamos la varianza que acaba de salir desde el lado de la temperatura. Pasando la derivada en \beta a una derivada en T queda \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = kT^2 C. C es la capacidad calorífica, es decir, el calor que hace falta para subir 1 la temperatura.
El primer miembro es la anchura con la que el sistema oscila por su cuenta si se le deja a su aire. El segundo es su respuesta al calor que se le da desde fuera. Dice que dos cosas de naturaleza completamente distinta son la misma cantidad.
La figura es la curva de \langle E \rangle frente a la temperatura y la banda de fluctuación que se extiende a su alrededor. Donde la curva se yergue de golpe, la banda también se ensancha. El sistema que más oscila es el que más calor absorbe. Este es el ejemplo más sencillo de la relación que une fluctuación y respuesta.
Hasta aquí han aparecido dos planteamientos. La microcanónica, que fija la energía, y la canónica, que fija la temperatura. ¿Cuál de los dos es el correcto?
La figura superpone la distribución de la energía en la canónica y el único valor fijado en la microcanónica. Al aumentar el número de partículas, la distribución se va pegando a esa única línea.
Es decir, la respuesta es que da lo mismo. Si N es grande, la diferencia es solo del orden de \dfrac{1}{\sqrt{N}}, y no se puede medir. Así que basta con elegir el que resulte más fácil de resolver. Casi siempre lo es la canónica, y es la que usaremos también en el capítulo siguiente.