El modelo de Ising se resuelve exactamente en una dimensión, y en dos sin campo. En tres, nadie lo ha resuelto. Si no se puede resolver, quizá baste con contar. No basta.
Hay 2^N disposiciones de N espines. La figura es cómo crece eso: una red de apenas 10 \times 10 ya da 2^{100}, más que los átomos del universo, y no hay ritmo de conteo que lo termine.
Pero lo que queremos es un promedio, y un promedio no exige contarlo todo. Basta con escoger algunas disposiciones, empezando por las que más ocurren. El problema es cómo escoger justamente esas.
Hacemos una regla para pasar de una disposición a otra. Al cabo de mucho rato queremos que la proporción de tiempo pasado en la disposición a sea proporcional a e^{-\beta E_a}. La regla se elige para que así sea.
Una condición suficiente para eso es P(a)W(a \to b) = P(b)W(b \to a): el flujo de a a b equilibra al flujo de vuelta de b a a, para toda pareja. A esto se le llama balance detallado.
Las dos flechas de la figura son esos flujos, dibujadas con el grosor por tamaño. De la disposición con mayor proporción sale una flecha fina; de la menor, una gruesa. En cuanto se equilibran, las proporciones dejan de moverse. Esa es la distribución que buscábamos.
Muchas reglas cumplen el balance detallado; la más sencilla es la aceptación de Metropolis. Se elige un espín, se le da la vuelta y se mira el cambio de energía \Delta E.
Si baja, se acepta siempre. Si sube, se acepta con probabilidad e^{-\beta\Delta E}. Escrito junto, \min(1, e^{-\beta\Delta E}). La figura es esa forma.
Cuando hace frío, los movimientos hacia arriba casi nunca se aceptan; cuando hace calor, casi siempre. La temperatura entra en este único sitio, y todo lo demás se sigue de ahí. Aceptar solo los movimientos que bajan la energía dejaría el sistema parado en su disposición más baja, que no es el promedio a ninguna temperatura finita. Aceptar los que suben es lo que lo convierte en uno.
La figura parte de una disposición dispersa y va cambiando espines con esa aceptación, uno tras otro, a una temperatura por debajo de la crítica.
Al principio arriba y abajo están finamente mezclados. Según avanza, crecen regiones de una misma dirección, sus fronteras se mueven y al final un lado se extiende. Lo que el campo medio nos daba como caer hacia un lado u otro ocurre aquí a la vista.
Movimiento a movimiento, también se aceptan los que suben la energía. Y aun así el conjunto baja. Es el peso e^{-\beta\Delta E} el que marca la diferencia entre las dos direcciones.
La figura es la energía a lo largo de esa marcha. Cae con fuerza al principio y a partir de cierto punto deja de caer. Donde deja de caer está el equilibrio.
Incluso en equilibrio la línea no se queda quieta. Sigue subiendo y bajando finamente. Eso es la fluctuación, y su tamaño se ata a la capacidad calorífica, exactamente como en el tema sobre cuánto fluctúa la energía. Aquí se ve porque este método hace correr un sistema de tamaño finito.
La parte anterior a que se asiente no es equilibrio, así que se descarta antes de promediar. Cuánto hay que descartar es algo que el método no dice por sí mismo. Aun así, las respuestas de modelos que nadie puede resolver están ahora disponibles como números. El \beta = 0.33 del modelo de Ising tridimensional se obtuvo justamente así.