Consideremos un sistema que solo tiene las energías 0 y \varepsilon. Es sencillo a la vista y, aun así, con él se explican unos cuantos sistemas reales. Los espines en un campo magnético, las impurezas dentro de un cristal, las moléculas que solo pueden tomar dos orientaciones. En todos hay dos sitios adonde ir.
Las dos barras horizontales de la figura son los niveles. La partícula está en uno o en otro, y no puede quedarse en medio. La distancia entre ellos, \varepsilon, es la única vara de medir que tiene este sistema.
Cuando entra la temperatura, aquello con lo que se compara es kT. Si kT es grande o pequeño frente a \varepsilon. Todo lo que ocurre en este sistema queda decidido por esa comparación.
La función de partición es Z = 1 + e^{-\beta\varepsilon}, y la probabilidad de estar en el nivel de arriba es \dfrac{e^{-\beta\varepsilon}}{Z}.
Las dos curvas de la figura son esas probabilidades. A baja temperatura la del nivel de abajo está cerca de 1 y la de arriba es casi 0. No hay bastante kT para levantar nada hasta arriba.
Al ir subiendo la temperatura, las dos se acercan y ambas se encaminan a \dfrac{1}{2}. Cuando kT supera con mucho a \varepsilon, la diferencia de \varepsilon es como si no existiera, y los dos niveles acaban usándose por igual.
La energía media es \langle E \rangle = \dfrac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon} + 1}. Al subir la temperatura se yergue, pero se detiene en \dfrac{\varepsilon}{2}.
La recta tenue de la figura es el gas ideal, puesto ahí para comparar. Aquel crece sin límite en proporción a la temperatura. Este no puede empujarlo todo hasta el nivel de arriba, y por mucho que se caliente no pasa de mitad y mitad.
La diferencia está en si hay o no sitio más arriba. El gas tiene arriba cuanto quiera, pero este sistema tiene techo en \varepsilon. Por mucho calor que se meta en un sistema con techo, a partir de cierto punto deja de absorberlo. Eso enlaza con la forma de la capacidad calorífica de la escena siguiente.
La capacidad calorífica es la pendiente de la energía frente a la temperatura. Mirando la curva de la escena anterior ya se lee la forma. Plana a baja temperatura, se yergue por el camino y vuelve a quedar plana a alta temperatura. Es decir, la pendiente levanta un pico por el camino.
La figura es ese pico. Se llama capacidad calorífica de Schottky, y su cima queda donde kT está en torno a la mitad de \varepsilon. Que caiga a 0 a baja temperatura es porque está congelada, y que caiga a 0 a alta temperatura es porque ya no queda dónde absorber.
Dos ceros de causas distintas se reparten un mismo pico. Si en un experimento aparece un pico así, ahí hay dos niveles separados por \varepsilon. Medir la capacidad calorífica se convierte en una herramienta para sondear niveles que no se ven.
El sistema de dos niveles más cercano que hay son los espines en un campo magnético. En el sentido del campo están en el nivel bajo, en sentido contrario en el alto, y la distancia entre ambos es proporcional a la intensidad del campo.
El desequilibrio entre orientaciones es, directamente, la imanación. Usando tal cual el cálculo de las escenas anteriores sale M = M_0 \tanh(\beta\mu B). La curva de la figura es esa: al reforzar el campo se yergue y, cuando todos acaban alineados, se detiene.
Donde el campo es débil, \tanh puede tomarse por una recta: la imanación es proporcional al campo, y ese coeficiente de proporción es inversamente proporcional a la temperatura. Es la ley de Curie. Una ley que se había encontrado desde los experimentos ha salido aquí también sin más que contar dos niveles.