En la canónica, en lugar de intercambiar energía lo que quedaba fijado era la temperatura. Aquí damos un paso más y dejamos que entren y salgan también las partículas mismas.
La pared de la figura tiene un agujero, y las partículas pueden ir y venir con el exterior. El número de partículas N que hay dentro del sistema ya no está fijado. Lo que está fijado, en su lugar, es lo lleno que está el exterior.
Y si planteamos las cosas así es porque hay situaciones en las que resulta más fácil de resolver. La estadística cuántica es justamente una de ellas: manteniendo fijo el número de partículas queda pendiente el engorroso trabajo de contar sin distinguir unas partículas de otras. Con este planteamiento, ese engorro desaparece limpiamente.
Igual que la temperatura gobernaba el intercambio de energía, hace falta una cantidad que gobierne el intercambio de partículas. Es el potencial químico \mu.
Su sentido es directo: la energía que hace falta para añadir una partícula. Más exactamente, lo que hace falta para añadir una sin cambiar la entropía. La escalera de la figura es la energía del conjunto según se van añadiendo partículas de una en una, y la altura de un escalón corresponde a \mu.
Igual que el calor fluía del que estaba más caliente al que estaba más frío, las partículas fluyen de donde el potencial químico es alto a donde es bajo. Donde los dos se igualan está el equilibrio en cuanto al intercambio de partículas.
El peso en la canónica era e^{-\beta E}. Siguiendo el mismo camino para la entrada y salida de partículas, el peso queda e^{-\beta(E - \mu N)}. Se llama colectividad gran canónica.
Lo esencial es que en el exponente se ha añadido un -\mu N. Al aumentar en una el número de partículas, el peso de ese estado queda multiplicado por e^{\beta\mu}. Es decir, cuanto mayor es \mu, más probables son los estados con muchas partículas.
La cuadrícula de la figura ordena los estados por energía y por número de partículas a la vez. La intensidad del color es su peso, y se va oscureciendo o aclarando conforme se va hacia la derecha o hacia abajo. Al mover \mu, la zona oscura se desplaza a un lado o a otro.
La suma de los pesos sobre todos los estados es la función de partición de este planteamiento. Se escribe \Xi = \displaystyle\sum_{i} e^{-\beta(E_i - \mu N_i)} y se llama gran función de partición.
Se usa igual que en la canónica. Derivando \log \Xi respecto de \beta sale la energía, y derivando respecto de \mu sale el número medio de partículas. La figura pone ese camino en fila, línea a línea.
Es decir, lo que hay que hacer no cambia. Solo hay una cosa más que sumar, y de ahí en adelante las herramientas son las mismas.
Aquí está la razón por la que hemos elegido este planteamiento. Si las partículas no tienen que ver unas con otras, el estado del sistema entero queda determinado por cuántas hay en cada nivel.
Y como no fijamos el número de partículas, podemos decidir por separado lo que se llena cada nivel. Si lo hubiéramos fijado quedaría la atadura de que el total sume N, y los niveles no podrían separarse.
Por eso la gran función de partición se separa en un producto de sumas pequeñas, una por nivel. La figura es esa separación, y a partir de ahí basta con resolver un solo nivel. Ese nivel suelto es la distribución de Fermi y la de Bose del artículo siguiente.