Un grano pequeño flotando en agua no se está quieto. Esto es lo que vio Brown por el microscopio en 1827. El grano no intenta moverse: las moléculas de agua lo golpean sin descanso.
El círculo grande de la figura es el grano que miramos; los puntos pequeños, las moléculas. Golpean por todos lados. Cada empujón es pequeño y sus direcciones están dispersas.
Si se cancelaran exactamente, el grano no se movería. Pero el número de las que golpean por la derecha y por la izquierda difiere un poco a cada instante, y esa diferencia empuja al grano. Lo que actúa aquí son las mismas muchas diferencias pequeñas del tema anterior.
En vez de seguir los golpes uno a uno, partimos en dos la fuerza que recibe el grano: la parte que actúa en contra del movimiento siempre que el grano va deprisa, y la parte que no tiene dirección fijada.
La primera es el rozamiento -\gamma v; la segunda, la fuerza fluctuante F(t). Escrito, m\dfrac{dv}{dt} = -\gamma v + F(t). Es la ecuación de Langevin.
La hemos partido en dos, pero ambas vienen de los mismos golpes de las mismas moléculas. El rozamiento y la fluctuación tienen una sola procedencia entre los dos. Esa única línea ya ha decidido la respuesta de la última escena.
Supongamos que la dirección de la fuerza fluctuante en cada instante no tiene nada que ver con la anterior. Entonces la memoria de la velocidad se apaga como \langle v(0)v(t) \rangle = \dfrac{kT}{m}e^{-\gamma t/m}.
La curva de la figura es esa. La altura kT/m en t = 0 es la equipartición misma: por grande que sea el grano, su energía cinética media es kT/2 por cada dirección. Un grano mayor simplemente va más lento; la energía que lleva es la misma.
El tiempo que tarda en apagarse la memoria es m/\gamma. Visto en algo más corto, el grano parece volar recto. Visto en algo más largo, ya ha olvidado su dirección muchas veces y parece caminar al azar.
En tiempos cortos el grano todavía recuerda su dirección. Va recto, así que la extensión crece con el cuadrado del tiempo: \langle x^2 \rangle = (kT/m)t^2.
En tiempos largos, la dirección se ha olvidado una y otra vez. Es la misma situación que los pasos del tema anterior, y queda \langle x^2 \rangle = 2Dt.
La curva gruesa de la figura une las dos, y las dos tenues son las formas de cada extremo. La frontera está en m/\gamma, unos 10^{-7} segundos para un grano pequeño en agua. Lo que un microscopio alcanza a ver es siempre solo el lado largo. El paso único del tema anterior era, resulta, todo este tiempo corto reunido en uno.
Al calcular D del lado largo sale D = \dfrac{kT}{\gamma}, la relación de Einstein. La recta de la figura es esa, y va como la temperatura.
El lado izquierdo dice cuánto se extiende el grano; la \gamma de la derecha, con cuánta fuerza se le frena. Parecen magnitudes separadas y, sin embargo, ambas venían de los mismos golpes de las mismas moléculas. Como lo que empuja y lo que frena son una sola cosa, su cociente queda fijado solo por la temperatura. Es el teorema de fluctuación y disipación, uno de los resultados de más largo alcance de la materia.
Para un grano esférico se sabe que \gamma = 6\pi\eta a, así que medir D al microscopio da k. Con k en la mano, dividiendo por ella la constante de los gases sale el número de Avogadro. Perrin hizo exactamente esto. Medir una fluctuación a ojo pasó a ser una forma de contar moléculas.