Imagina una caja sin tabique, con una simple línea trazada por la mitad. Si metemos dentro una partícula, no queda decidido si está en la mitad izquierda o en la derecha. Las dos cosas ocurren por igual.
Con dos partículas es lo mismo. Hay 2^2 = 4 formas de repartirse entre izquierda y derecha, y que las dos caigan a la izquierda es una de ellas. Es 1 vez de cada 4, así que no tiene nada de raro. Con tres partículas es una de 8, y todavía ocurre con toda normalidad.
Así no podemos decir qué ocurre dentro de la caja. Y sin embargo, al ir aumentando el número de partículas, el panorama cambia por completo. Lo único que cambiamos es el número: no añadimos ni una sola ley nueva.
Hay \binom{N}{n} formas de que n de las N partículas estén a la izquierda. Si contamos como un caso cada disposición en la que está decidido el lado de cada partícula, todas ocurren por igual, así que el n con más casos es el n más probable.
La figura pone esos recuentos en orden de n. Con N = 4 están casi al mismo nivel y cualquier n ocurre lo suyo. Al aumentar N, el centro sube y los extremos pierden toda altura visible.
Que estén todas a la izquierda, n = N, sigue siendo un único caso por grande que sea N. En cambio el centro, n = \dfrac{N}{2}, crece en órdenes de magnitud junto con N. Los extremos no crecen y el centro sí, de modo que dejan de ser comparables.
Lo que se ensancha el pico se mide por la desviación típica del apartamiento respecto del centro. La dispersión del número de partículas que hay a la izquierda es \dfrac{\sqrt{N}}{2}. No crece como N, sino solo como su raíz cuadrada.
Si multiplicamos N por 100, el centro del pico, \dfrac{N}{2}, se desplaza a 100 veces su posición. La anchura, en cambio, solo se hace 10 veces mayor. La anchura no puede seguir el ritmo del centro, así que el pico se adelgaza sobre un eje que se estira.
La figura dibuja el pico estirando el eje horizontal a la vez que N. La anchura crece de verdad y, aun así, frente al conjunto que se estira queda fina como una aguja.
Lo que importa no es la anchura en sí, sino la anchura como fracción del total. Al dividir la anchura \dfrac{\sqrt{N}}{2} entre el total N queda \dfrac{1}{2\sqrt{N}}. Esa es la medida de cuánto puede parecer que se aparta del reparto a mitades.
Con N = 100 es el 5\%, con N = 10^{6} el 0.05\%, y con N = 10^{23} es del orden de 10^{-12}. No hay aparato capaz de medir un desequilibrio de 10^{-12}.
La figura muestra cómo cae esa fracción. La caída de \dfrac{1}{2\sqrt{N}} no es rápida en sí. Que sin ser rápida acabe en algo imposible de medir se debe a que el N con el que tratamos es mayor en muchísimos órdenes de magnitud.
Con 10^{23} partículas, que los dos lados se aparten del reparto a mitades no ocurre en la práctica. No es que no pueda ocurrir: es que la fracción de veces que ocurre es demasiado pequeña para medirse. Y eso significa también que podemos usar una probabilidad como una afirmación tajante.
Sabiendo eso, no hace falta seguir las partículas de una en una. Basta con elegir el estado más probable y mirar solo la franja estrechísima que lo rodea. Por eso nos ahorramos resolver 10^{23} ecuaciones del movimiento.
Aquí empieza la mecánica estadística. Queda por ver cómo se cuenta esa probabilidad, y ahí es adonde vamos ahora.