En el tema anterior, la transición era donde el número de respuestas pasaba de una a tres. Ese razonamiento parece propio del modelo de Ising, pero lo único que usaba era que en la expresión no hay nada que distinga arriba de abajo, y un número m.
Lo que cambia en una transición de fase suele ser una sola magnitud. En un imán, la imanación; en un líquido y su vapor, la diferencia de densidad; en un cristal, el desplazamiento de la red. Todas valen 0 del lado caliente y no valen 0 del lado frío. A esa magnitud se la llama parámetro de orden.
A la izquierda de la figura está el estado simétrico; a la derecha, el roto. Lo que hizo Landau fue dejar de resolver modelos y escribir la energía libre como función únicamente del parámetro de orden.
Cerca de la transición m es pequeño, así que F se puede desarrollar en potencias de m. Lo que cabe escribir es F = F_0 + am^2 + bm^4.
No hay potencias impares porque dar la vuelta a todos los espines tiene que dejar F igual. Si m y -m han de dar el mismo valor, m y m^3 no pueden sobrevivir. Es la simetría la que decide qué se puede escribir siquiera.
Y b tiene que ser positivo. Si se hace negativo, F cae sin fin donde m es grande y el sistema se queda sin sitio donde asentarse. El único coeficiente libre es a. La curva de la figura es lo que ocurre al mover ese a.
Mientras a es positivo, F es mínimo en un único sitio, m = 0. En cuanto a se vuelve negativo, m = 0 deja de ser el mínimo y este se parte en dos, a izquierda y derecha.
La figura es F(m) mientras se mueve a. Poniendo a = T - T_c, la partición cae exactamente en T_c. Esa única hipótesis, que a cambia de signo con la temperatura, es todo lo que se ha metido.
No se ha resuelto ni un modelo. Hemos escrito lo que cabía escribir y dejado que un coeficiente cambie de signo. Y aun así ha salido la misma forma que al resolver el \tanh del tema anterior. El aspecto de una transición no se apoya en el detalle fino del modelo.
Derivando F respecto de m e igualando a 0 sale 2am + 4bm^3 = 0, es decir m^2 = -a/2b. Metiendo a = T - T_c queda m \propto (T_c - T)^{1/2}.
A ese 1/2 se le llama exponente crítico y se escribe \beta. La curva de la figura es esa, y cae exactamente sobre la forma que dio el modelo de Ising.
En ningún momento hemos usado qué son a y b. Solo hemos usado la simetría y que a cambia de signo. Si es así, \beta = 1/2 debería ser un valor que ningún modelo pueda cambiar.
Pero el experimento devuelve alrededor de \beta = 0.33. Las dos curvas de la figura son esa diferencia. Cuanto menor es el exponente, más empinada es la subida, así que justo por debajo de T_c la medida pasa por encima de la del campo medio.
Falla porque hemos hecho de m un número que no depende del lugar. Cerca de la transición, las regiones que coinciden y las que no fluctúan enormemente, y esa fluctuación no es una pequeña perturbación en torno al promedio, sino tan grande como el promedio mismo.
Que la fluctuación cuente o no lo decide la dimensión. Cuanto más alta es, más vecinos hay y basta con el promedio. Por encima de cuatro dimensiones el campo medio acierta; en tres, no. Cómo contar lo que se deja fuera es lo que hace después la renormalización.