En el artículo anterior vimos que un fermión no admite más de una partícula por nivel. Esa regla empieza a notarse allí donde las partículas están bien apretadas. Los electrones de un metal son ese caso, y a ese conjunto lo llamamos gas de Fermi.
Metamos los electrones de uno en uno. Como se ve en la figura, los niveles se llenan desde abajo. En un nivel ocupado no entra un segundo, así que al electrón siguiente no le queda más que subir. Si metemos N, quedan llenos los N niveles más bajos.
A la altura en la que se detiene el llenado se la llama energía de Fermi \varepsilon_{\mathrm{F}}. Donde los bosones caerían todos al nivel más bajo, los fermiones no pueden. Ni en el cero absoluto dejan de llevar energía cinética, hasta \varepsilon_{\mathrm{F}}.
Cuánto vale \varepsilon_{\mathrm{F}} sale de contar. Contando en el espacio de momentos, el llenado empieza cerca del origen y el límite de lo lleno es una esfera. Su radio es el momento de Fermi p_{\mathrm{F}}. La figura es una sección de esa esfera.
El número de estados va con el volumen de la esfera, así que N va con p_{\mathrm{F}} elevado a 3. Por tanto p_{\mathrm{F}} va con \dfrac{N}{V} elevado a \dfrac{1}{3}, y como la energía va con su cuadrado, \varepsilon_{\mathrm{F}} va con \dfrac{N}{V} elevado a \dfrac{2}{3}.
Lo único que entra es lo apretado que esté. La temperatura no aparece por ninguna parte. Un metal aprieta unos 10^{22} electrones en un centímetro cúbico, lo que sitúa \varepsilon_{\mathrm{F}} en unos pocos electronvoltios. En temperatura, eso es del orden de 10^{4} kelvin. Ni fundiendo el metal se llega cerca.
Dejemos entrar ahora la temperatura. El número de ocupación es la distribución de Fermi del artículo anterior, \dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} + 1}, que en el cero absoluto era un escalón con el borde en \varepsilon_{\mathrm{F}}.
La figura lo va calentando. Lo único que se mueve es la esquina del escalón, difuminada en una anchura de unos kT. Los electrones del fondo no pueden moverse: todos los niveles justo por encima están ocupados. Los únicos asientos libres están cerca de \varepsilon_{\mathrm{F}}.
Este es el rasgo que define a un gas de Fermi. Puede haber 10^{23} electrones y, aun así, solo una fracción de en torno a \dfrac{kT}{\varepsilon_{\mathrm{F}}} puede responder a la temperatura. En un metal a temperatura ambiente, eso no llega ni a 1 parte de cada 100.
Vamos con la capacidad calorífica. Solo pueden tomar calor los electrones del borde, y su fracción es \dfrac{T}{T_{\mathrm{F}}}, donde T_{\mathrm{F}} es la temperatura de Fermi, fijada por \varepsilon_{\mathrm{F}} = kT_{\mathrm{F}}.
Cada uno de ellos toma algo del orden de k, así que la capacidad calorífica es del orden de k\dfrac{T}{T_{\mathrm{F}}} por electrón. Haciendo la integral con cuidado aparece un coeficiente: \dfrac{\pi^2}{2}k\dfrac{T}{T_{\mathrm{F}}}. Lo que importa no es el coeficiente, sino la forma: que vaya con la temperatura.
La línea horizontal de la figura es la respuesta del teorema de equipartición, \dfrac{3}{2}k. Clásicamente, cada electrón llevaría energía cinética en 3 direcciones y daría una recta plana sin temperatura dentro. La realidad no se acerca ni de lejos, y además sale como una recta que pasa por el origen.
La ley de Dulong y Petit pone la capacidad calorífica de un sólido en 3R, una respuesta que no cuenta más que las vibraciones de los átomos. Un metal tiene casi tantos electrones moviéndose libremente como átomos y, aun así, esa parte no se suma. Contados clásicamente, los electrones por sí solos deberían añadir \dfrac{3}{2}R.
La razón es la respuesta de la escena anterior. La barra de la derecha en la figura es la capacidad calorífica electrónica a temperatura ambiente, que no se acerca a la respuesta de equipartición de la izquierda. Con \dfrac{T}{T_{\mathrm{F}}} del orden de 10^{-2}, los electrones toman solo en torno al 1\% de lo que promete el recuento clásico. En una medida apenas se nota, de modo que la ley que cuenta solo los átomos acaba acertando.
Eso sí, no desaparece del todo. Al enfriar el sólido, la parte de las vibraciones de la red cae como T^{3}, como vimos en el artículo de Debye, mientras que la de los electrones cae solo como T. A unos pocos kelvin lo que queda son los electrones, y al medir la capacidad calorífica aparece esta recta. A continuación volvemos al lado de los bosones y contamos la luz encerrada en una cavidad.