En los temas anteriores, el campo medio devolvía una transición. Pero el campo medio es una aproximación, hecha sustituyendo los vecinos por un promedio. Si acierta o no, solo puede comprobarse frente a un caso que se resuelva sin aproximar nada.
El caso más fácil de esos es una dimensión. Ponemos los espines en una sola fila y atamos únicamente las parejas vecinas. Con esa forma, todo el cálculo se lleva hasta el final sin una sola aproximación.
La figura es esa cadena. Mientras la temperatura no sea 0, en algún sitio hay un espín dado la vuelta. Ese único hecho, que algo se dé la vuelta en algún sitio, decide la respuesta de este tema.
La suma recorre 2^N disposiciones, que no es un número que se pueda desplegar honradamente. Pero en una dimensión cada espín está atado solo a su izquierda y su derecha, así que se pueden ir despejando de uno en uno desde un extremo.
Escribimos el peso e^{\beta J s s'} entre una pareja vecina como un arreglo de 2 \times 2. A eso se le llama matriz de transferencia, y la función de partición es la traza de su potencia N: Z = \mathrm{Tr}\, T^N.
Los autovalores de esa matriz son \lambda_+ = 2\cosh\beta J y \lambda_- = 2\sinh\beta J, con lo que Z = \lambda_+^N + \lambda_-^N. Para N grande solo sobrevive el mayor de los dos.
Sacando la energía libre de lo que queda, Z = (2\cosh\beta J)^N, no hay ningún quiebro en ninguna temperatura. \cosh es suave y derivable en cualquier \beta. Donde no hay quiebro no hay transición.
Al calcular la imanación sale 0 a cualquier temperatura, salvo que se aplique un campo desde fuera. La recta plana de la figura es eso, con la curva del campo medio superpuesta para comparar.
El campo medio devolvía una transición y el cálculo exacto no. La que se equivocaba era la aproximación. Entonces, ¿qué dejó de contar el campo medio?
Si damos la vuelta a un solo sitio en mitad de una cadena ordenada, aparece una frontera. La energía sube en 2J, porque ahí se rompe un enlace. Hasta aquí el campo medio diría lo mismo.
Pero esa frontera puede ponerse en cualquier punto de la cadena. Hay N sitios donde ponerla, así que la entropía sube en k\log N. Es ese recuento de sitios lo que el campo medio nunca tomó.
El cambio de energía libre es 2J - kT\log N. Si N se hace grande, el segundo término gana a cualquier temperatura, por baja que sea. Siempre entra una frontera, y el estado ordenado no se sostiene. El corte de las dos curvas de la figura es el tamaño a partir del cual empiezan a entrar fronteras. Con N infinito, esa temperatura cae hasta 0.
En dos dimensiones una frontera no es un punto, sino una línea. Hacer una frontera de longitud L cuesta 2JL, que crece en proporción a la longitud.
El número de formas también crece. La frontera se bifurca en unas pocas maneras a cada paso, de modo que la entropía es del orden de kL\log 3. Energía y entropía son entonces las dos proporcionales a L: cuál de las dos gana no lo decide el tamaño del sistema, sino solo la temperatura.
Por eso en dos dimensiones, por debajo de cierta temperatura las fronteras dejan de entrar y hay transición. Lo que separó una dimensión de dos fue si el coste de una frontera crece con el tamaño del sistema. El campo medio falló en una dimensión porque no contó ni una vez esas fronteras. Eso es lo que quería decir el tema anterior al afirmar que la dimensión decide si la fluctuación cuenta.