En todos los sistemas vistos hasta aquí las partículas no ejercían fuerza unas sobre otras. Aquí metemos por primera vez una interacción. En cada punto de una red ponemos una flecha que apunta arriba o abajo, y damos una sola regla: si los vecinos coinciden, la energía baja. La expresión es E = -J \sum s_i s_j, con la suma sobre las parejas vecinas.
La red de la figura es eso. Va alternando entre una disposición ordenada y otra desordenada. La ordenada tiene la energía más baja; la desordenada, el número de estados más grande. Cuál de las dos gana lo decide, como siempre, la temperatura.
Es decir, es la pugna entre E y TS dentro de F = E - TS. Cuando hace frío gana E y las flechas coinciden; cuando hace calor gana TS y se desordenan. El relevo ocurre de golpe, a una temperatura. Eso es una transición de fase.
Mientras los vecinos están atados entre sí, fijar un espín exige conocer todos los de alrededor, y esos a su vez están atados a los suyos. Así, no hay nada que resolver. Por eso dejamos de mirar los espines de alrededor uno a uno y los sustituimos por su promedio m.
A la izquierda de la figura está el entorno real; a la derecha, lo que queda tras la sustitución. El espín central ya solo siente un único campo h = Jzm, donde z es el número de vecinos, que en una red cuadrada es 4.
Un problema de muchos cuerpos se ha vuelto de un solo cuerpo, con la misma forma exacta del sistema de dos niveles que ya resolvimos. Solo hay una diferencia: el campo h lleva m dentro. Para obtener la respuesta hace falta la respuesta.
Tomando tal cual el resultado de dos niveles sale m = \tanh(\beta J z m). Si medimos la temperatura en una escala donde kT_c = Jz vale 1, queda m = \tanh(m/T). La m de la izquierda y la de la derecha son la misma m.
La figura superpone la recta del lado izquierdo y la curva del derecho. Los cortes son las respuestas, y mover la temperatura solo cambia lo empinada que sale la curva.
Cuando hace calor la curva va tendida y el único corte es el origen. Al bajar la temperatura la subida en el origen se empina, hasta que aparecen dos cortes fuera de él. El número de respuestas pasa de una a tres, y esa frontera es la transición.
La curva adelanta a la recta en el origen cuando su pendiente allí llega a 1. La pendiente de \tanh(m/T) en el origen es 1/T, así que la frontera está en T = 1, esto es, kT_c = Jz. La temperatura de la transición ha salido solo de la intensidad de la interacción y del número de vecinos.
La figura es la imanación espontánea que se deriva de ahí. Por encima de T_c se queda en 0; por debajo se yergue y se acerca a 1 según baja la temperatura.
Justo por debajo de T_c crece como m \propto (T_c - T)^{1/2}. Al ser una raíz cuadrada, su pendiente en T_c es infinita: basta bajar la temperatura lo mínimo para que ya haya imanación.
Fuera del origen aparecen dos cortes, en +m y en -m, con exactamente la misma energía y exactamente la misma entropía. Las dos ramas de la figura son esas.
En E = -J \sum s_i s_j no hay nada que distinga arriba de abajo. Si damos la vuelta a todos los espines, la expresión no cambia. Y aun así, por debajo de T_c el sistema elige uno de los dos. Cuál elige no queda decidido; que elige uno, sí.
La respuesta no conserva una simetría que la expresión sí conserva. A esto se le llama ruptura de simetría. Solo con contar y con la pugna de F = E - TS tenemos la temperatura a la que un imán pasa a ser un imán. El resto de este capítulo usa esta misma forma una y otra vez.