Supongamos que se conocen los niveles de un sistema y que se ha medido la energía media. ¿Cuál es entonces la probabilidad de estar en cada nivel?
Las tres de la figura son distribuciones con el mismo promedio. Todas concuerdan con lo medido y, sin embargo, sus formas no se parecen en nada.
Hay incontables distribuciones que concuerdan con una magnitud medida. Para escoger una de entre ellas hay que decidir algo sobre lo que no se ha medido. Qué decidir es la pregunta de este tema.
Hay una sola regla que guía: no decidir nada sobre lo que no se sabe. Dicho de otro modo, de entre las distribuciones que concuerdan con la medida, tomar la menos inclinada.
Lo que mide cuán poco inclinada está una distribución es S = -k\sum p\log p. La figura es el caso de dos niveles, donde es máxima en p = 1/2. Cae según el peso se inclina hacia un lado y llega a 0 donde un lado es seguro.
Sin nada medido en absoluto, esto devuelve que todos los estados son igual de probables. Es el principio de equiprobabilidad a priori mismo. Lo que en la colectividad microcanónica se metía como hipótesis sale aquí como consecuencia de cómo elegimos.
Se imponen dos condiciones. Las probabilidades tienen que sumar 1. Y la energía media tiene que dar el valor medido.
Bajo esas dos, hacemos S tan grande como pueda ser. Un máximo con condiciones se trata con multiplicadores de Lagrange, y al haber dos condiciones, entran dos multiplicadores.
La respuesta que sale es p_i \propto e^{-\beta E_i}. La figura sigue ese cálculo. \beta es el multiplicador atado a la condición de la energía, y el otro multiplicador es la división que hace que todo sume 1, es decir, la función de partición.
La forma resulta conocida. Es el mismo factor de Boltzmann que salió de contar los estados de un baño en el tema del peso que viene del lado caliente.
La figura es esa distribución. Al subir \beta, el peso se reúne en los niveles bajos; al bajarlo, la diferencia entre niveles se difumina.
Las dos deducciones no tienen nada en común. Aquella contaba los estados de un baño. Esta no ha contado nada y solo ha usado la regla de no decidir lo que no se sabe. Llegan a la misma respuesta.
\beta se metió para que la energía media saliera bien. Hasta aquí no tiene nada que ver con la temperatura. Es solo un multiplicador.
La figura es la energía media según se mueve \beta. Un \beta mayor baja el promedio; uno menor lo sube. Se corresponden uno a uno, así que fijar el promedio fija \beta.
Si se pone ese \beta frente al \dfrac{1}{kT} de la termodinámica, coinciden exactamente. La temperatura, resulta, era el multiplicador que entró para ajustar una energía media. La mecánica estadística se puede construir contando un baño, o construir desde aquí, y llega al mismo sitio.