¿Qué ocurre cuando la masa unida a un muelle se trata con mecánica cuántica? Tomamos prestada solo la respuesta: la energía pasa a ser discreta, y además la separación entre escalones es la misma en todas partes.
La escalera de la figura es eso. Desde abajo, 0, \varepsilon, 2\varepsilon, 3\varepsilon, y así sin fin con la misma anchura. Es \varepsilon = \hbar\omega, y cuanto más rígido es el muelle mayor es la separación.
Al decir congelarse en el artículo anterior nos referíamos a esta escalera. Si kT es menor que \varepsilon, no se puede subir desde el escalón de abajo. Veamos aquí, calculándolo hasta el final, qué ocurre en realidad.
Escribamos la función de partición. Es Z = 1 + e^{-\beta\varepsilon} + e^{-2\beta\varepsilon} + \cdots. El término n-ésimo es e^{-\beta\varepsilon} multiplicado n veces, así que esto es una serie geométrica.
Las barras de la figura son esos términos, y cuanto más a la derecha, más cortas en la misma proporción. La razón es e^{-\beta\varepsilon} y, al ser menor que 1, la suma es finita aunque se sumen infinitos términos.
La suma es Z = \dfrac{1}{1 - e^{-\beta\varepsilon}}. Aunque los niveles sean infinitos, la función de partición se escribe con una expresión así de corta. Lo que queda es, siguiendo la regla del capítulo anterior, tomar el logaritmo y derivar respecto de \beta.
Al calcularlo sale \langle E \rangle = \dfrac{\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon} - 1}. Que Planck escribiera esta forma fue el comienzo de la teoría cuántica, y aquí la hemos sacado de la función de partición.
La curva clara de la figura es esta. La recta tenue es la respuesta clásica, puesta ahí para comparar, el kT que dice el teorema de equipartición. En un oscilador entran al cuadrado tanto la posición como la velocidad, así que eran dos veces \dfrac{1}{2}kT, es decir, kT.
A alta temperatura las dos se superponen exactamente. Es porque kT supera con mucho la separación entre escalones y deja de verse que sea discreta. En cambio, a baja temperatura solo la clara cae hacia 0.
Mirando la capacidad calorífica, esa caída se ve con claridad. Como la capacidad calorífica es la pendiente de la energía frente a la temperatura, a alta temperatura queda plana en el mismo k que en la teoría clásica, y a baja temperatura cae a 0.
Lo importante es que la caída sea exponencial. En cuanto kT se hace menor que \varepsilon, la propia probabilidad de subir al escalón de arriba queda aplastada por e^{-\beta\varepsilon}. No se va apagando poco a poco: se desploma a partir de cierta temperatura.
La línea vertical de la figura marca kT = \varepsilon. A la derecha de ella, lo que dice la teoría clásica; a la izquierda, la congelación. Con esto queda explicado uno de los escalones del artículo anterior.
Para rematar, tomemos un sólido como un conjunto de osciladores. N átomos alineados en una red, cada uno vibrando en tres direcciones. Contamos, pues, 3N osciladores. Es el modelo de Einstein.
A alta temperatura cada uno da k, de modo que el conjunto da 3Nk, y 3R por cada 1 mol. Esto se había encontrado antes desde los experimentos, como la ley de Dulong y Petit. La línea horizontal de arriba en la figura es esa altura.
A baja temperatura también se sabía por los experimentos que la capacidad calorífica caía. La teoría clásica no podía explicarlo, y ahí fue donde Einstein aplicó este cálculo. La curva de la figura es su respuesta, y en lo de caer acierta. Eso sí, cae más abruptamente que lo medido, y quien corrigió ese punto fue el modelo de Debye, pero esa es otra historia.