Vamos enfriando un gas de bosones sin cambiar el número de partículas. La figura es cómo se llenan los niveles: al bajar la temperatura, las partículas se van juntando abajo.
Hasta aquí es lo esperable. Pero a partir de cierta temperatura ocurre algo extraño. Ya no basta con que se junten en los niveles bajos: en el nivel más bajo, y solo en él, empieza a acumularse una fracción visible de las partículas.
A esto se le llama condensación de Bose. Parece cosa de misterio, pero el camino por el que sale es solo el recuento. Vamos a seguirlo por orden.
Como vimos en el artículo anterior, el número de ocupación de los bosones es \dfrac{1}{e^{\beta(\varepsilon - \mu)} - 1}. Si \mu subiera por encima del nivel más bajo, el número de ocupación de ese nivel sería negativo. Por eso \mu tiene un techo.
Si tomamos como 0 la energía del nivel más bajo, el techo está justo en 0. La línea horizontal de la figura es ese techo, y \mu no puede salir por encima de ella.
Al ir bajando la temperatura, \mu va subiendo. No hay otra manera de mantener el número de partículas. Pero como hay techo, en algún momento choca con él.
A todos los niveles que no son el más bajo los llamamos, en conjunto, estados excitados. Contemos cuántas partículas caben ahí con \mu subido hasta el techo. Ese es el número máximo que los estados excitados pueden alojar a esa temperatura.
Al calcularlo, ese número máximo resulta proporcional a T elevado a \dfrac{3}{2}. La curva que sube en la figura es esa, y al bajar la temperatura va disminuyendo.
La línea horizontal es el número de partículas que hay en realidad. A temperaturas más altas que el punto donde se cruzan las dos, los estados excitados pueden alojarlas todas. Pero por debajo de ese cruce ya no dan abasto. A la temperatura de ese cruce se la llama temperatura de transición.
¿Adónde va lo que no cabe? Solo hay un sitio adonde ir. El nivel más bajo.
Solo el nivel más bajo admite cuantas partículas sea. Porque cuando la diferencia entre \varepsilon y \mu se acerca a 0, el número de ocupación crece sin límite. Por eso, al contar, hay que tratar ese único nivel aparte.
La banda de la figura es dónde están las partículas. Por encima de la temperatura de transición casi todas están en estados excitados. En cuanto se baja de ahí, la parte del nivel más bajo se dispara. Aquello en lo que se van acumulando es un solo nivel: es decir, 10^{23} partículas en un mismo estado.
La figura dibuja frente a la temperatura la fracción que está en el nivel más bajo. Arranca de 0 en la temperatura de transición y crece con la forma de 1 menos \dfrac{T}{T_{\mathrm{c}}} elevado a \dfrac{3}{2}. En el cero absoluto vale 1: es decir, todas entran en el nivel más bajo.
Esta transición tiene algo distinto de las transiciones de fase corrientes. No es que las partículas se atraigan entre sí. En todo el cálculo hecho hasta aquí no ha aparecido ni una sola vez una fuerza entre partículas. Ocurre solo por la forma de contar: la de que en un mismo nivel caben cuantas sea.
Se predijo en 1925 y se consiguió de verdad en 1995. Llegados aquí, un relato que empezó por contar enlaza con un conjunto de átomos enfriados hasta 10^{-7} kelvin. Con esto queda reunido todo el instrumental de la mecánica estadística.