Usamos la misma caja del artículo anterior. Cada una de las N partículas tiene decidido si está a la izquierda o a la derecha. Contamos como un estado cada una de esas maneras de quedar decidido. Como al contar distinguimos unas partículas de otras, hay en total 2^{N} estados.
Decir que hay n a la izquierda no señala un estado concreto. Lo que se dice es que hay W = \binom{N}{n} estados que responden a esa descripción. La figura muestra el caso N = 6 con n = 2: todos son «dos a la izquierda» y aun así son estados distintos.
Si admitimos que todos los estados ocurren por igual, cuanto mayor es W, más probable es lo que describe. A esa manera de admitirlo se la llama equiprobabilidad, y la trataremos de frente en el capítulo siguiente. Por ahora la damos por buena y miramos solo cómo se cuenta W.
W se nos escapa de las manos enseguida. Ya en el centro de N = 100 pasa de 10^{29}, y con N = 10^{23} resulta astronómico hasta en el número de cifras. De nada sirve cargar con un número que no se puede escribir.
Por eso miramos \log W. Como W crece exponencialmente con N, \log W resulta una cantidad llevadera que crece proporcionalmente a N. A la izquierda de la figura está W y a la derecha \log W: lo mismo dibujado de dos maneras.
Con los factoriales tal cual no se puede ni derivar, así que los sustituimos por \log N! \simeq N\log N - N. Es la aproximación de Stirling, y cuanto mayor es N mejor se ajusta. Con ella \log W pasa a ser una expresión que se escribe a mano y que luego se puede derivar respecto de n.
Sumando todos los estados queda \displaystyle\sum_{n} \binom{N}{n} = 2^{N}. El término mayor, en cambio, es la única barra en la que izquierda y derecha van a mitades, y su altura equivale a 2^{N} dividido por algo del orden de \sqrt{N}.
Es decir, entre la suma y el término mayor solo hay un factor \sqrt{N}. Al tomar \log la diferencia queda en \log\sqrt{N}, que frente a N desaparece. De las barras de la figura, la coloreada es el término mayor.
Por eso podemos sustituir la suma entera por su término mayor. Es el método del término máximo, y de aquí en adelante lo usaremos siempre en mecánica estadística. En lugar de sumar, basta con buscar dónde está lo más alto.
La posición y el momento de una partícula son cantidades continuas, así que no se cuentan como izquierda o derecha. Pensemos en un plano con la posición q en horizontal y el momento p en vertical. Se llama espacio de fases. Un estado es un punto de ese plano, y los puntos no se pueden contar.
Así que dividimos el plano en casillas y contamos cada casilla como un estado. Lo fino de la división lo da la constante de Planck h. El producto de q y p tiene dimensiones de acción, y h también, de modo que al dividir un área entre h queda un número. La cuadrícula de la figura son esas casillas.
Si hay f grados de libertad, el espacio de fases tiene 2f dimensiones y el número de estados es su volumen dividido por h^{f}. Que la división la marque h viene de la mecánica cuántica, pero aquí basta con quedarse en que para contar algo continuo hace falta una unidad.
Con N partículas de un gas ideal encerradas en una caja, contamos los estados de energía menor o igual que E. La condición de que la suma de las energías cinéticas no pase de E es el interior de una esfera de radio \sqrt{E} en un espacio de 3N dimensiones. Tomando su volumen sale que W es proporcional a E elevado a \dfrac{3N}{2}.
El exponente \dfrac{3N}{2} es del orden de 10^{23}. Basta con que E aumente un 1\% para que W quede multiplicado por 1.01 elevado a ese exponente. Si la curva de la figura parece un muro es porque toma esta forma incluso con un exponente mucho más pequeño.
Esa misma rapidez de crecimiento será la temperatura en el capítulo siguiente. La derivada de \log W respecto de E es lo que corresponde a \dfrac{1}{T}. Con las herramientas de contar, hasta aquí basta.