Ninguno de los temas anteriores tenía tiempo dentro. Contar los estados, elegir la disposición que más ocurre, y salían la temperatura y la presión. A partir de aquí miramos el movimiento que lleva al sistema hasta ahí.
Empezamos por el movimiento más sencillo que hay. En cada paso, ir a la izquierda o a la derecha, con la misma probabilidad. Esa es toda la regla. La línea quebrada de la figura es uno de esos paseos: los pasos en horizontal y la posición en vertical.
Mirando un solo paseo, no hay nada decidido. Con la misma regla, cada vez acaba en otro sitio. Y aun así, en cuanto hay muchos, algo queda decidido. Ese razonamiento es exactamente el que nos permitió hablar de un gas en términos estadísticos sin seguir a cada partícula.
La figura lanza muchos paseos con la misma regla. Todos salen del origen y se dispersan.
La dispersión tiene forma. Es más densa en el centro y más rala hacia fuera, y el conjunto se ensancha según crece el número de pasos.
De ahí salen dos preguntas. ¿Con qué rapidez crece la anchura? ¿Y en qué forma se acaba quedando la dispersión? Las dos salen de contar.
La posición media se queda en 0. Si izquierda y derecha son igual de probables, no hay ninguna dirección hacia la que tienda. Se mueve y su promedio no, así que para ver la anchura tomamos el cuadrado.
La dirección de cada paso es independiente de las demás, de modo que los términos cruzados se promedian a cero. Lo que queda es un paso al cuadrado, sumado N veces: \langle x^2 \rangle = Na^2.
Así que la anchura va como \sqrt{N}. Las dos curvas de la figura son cómo envuelve a los paseos, que casi siempre se quedan dentro. Con 4 veces más pasos, la anchura solo se duplica.
Cuántos paseos van a la derecha n veces de N pasos es un coeficiente binomial. Es exactamente el recuento hecho en el tema sobre cómo muchas partículas fijan el resultado.
La figura es esa forma. Al subir N, el pico se suaviza y tiende a una distribución normal. Su anchura crece como \sqrt{N}, así que el pico se vuelve más bajo y más ancho.
Repartir partículas entre las mitades de una caja y repartir pasos entre izquierda y derecha daban el mismo recuento. El asunto puede cambiar; si la forma de contar es la misma, la forma de la respuesta también. Esto es lo más fuerte que tiene la mecánica estadística.
Si un paso tarda \tau, en t segundos el número de pasos es N = t/\tau. Metiendo eso en \langle x^2 \rangle = Na^2 sale \langle x^2 \rangle = 2Dt, con D = a^2/2\tau el coeficiente de difusión.
La figura es cómo se extiende una concentración. Se vuelve más baja y más ancha con el tiempo, mientras que el área bajo la curva no cambia, porque no se crea ni se pierde ninguna partícula.
Se extiende como la raíz del tiempo, no como el tiempo. Ese es el punto de la difusión. Llevar algo al doble de distancia tarda 4 veces más, y por eso la difusión no sirve para llevar nada lejos. En el tema siguiente miramos de dónde salen estos pasos.