Ponemos dos cajas aisladas una junto a otra, separadas por una pared. Las partículas no pasan de un lado a otro, pero a través de la pared sí puede pasar energía. Como el conjunto está aislado, E_1 + E_2 = E no se mueve.
Entonces el reparto queda determinado en cuanto se fija E_1. En la figura E_1 va y viene, y E_2 se mueve otro tanto en sentido contrario.
Ahora bien, ¿en qué reparto acaba asentándose? La manera de responder quedó fijada en el artículo anterior: el reparto con más microestados.
El número de microestados que corresponde al reparto E_1 es W_1(E_1) \, W_2(E - E_1). Tomando el logaritmo queda \log W_1 + \log W_2, es decir, S_1 + S_2. En lugar de buscar el pico de un producto, basta con buscar el pico de una suma.
La curva que sube en la figura es S_1 y la que baja es S_2. El sistema de la izquierda gana estados cuanta más energía recibe, y el de la derecha pierde cuanta más entrega. La suma de esas dos es la curva del centro, la que tiene un pico.
La suma tiene un pico porque hay un punto en el que se compensan la rapidez con la que una sube y la otra baja. Pasado ese punto, lo que se pierde al entregar es mayor que lo que se gana al recibir.
En la cima del pico, mover un poco E_1 no cambia S_1 + S_2. En forma de ecuación, \dfrac{\partial S_1}{\partial E_1} = \dfrac{\partial S_2}{\partial E_2}. Como E_2 disminuye justo lo que aumenta E_1, los signos encajan aquí.
Las dos láminas de la figura son la S(E) de cada sistema y su tangente en el reparto actual. Al mover E_1 cambian las dos pendientes, y en un punto concreto coinciden exactamente. Ahí está la cima del pico, es decir, el equilibrio.
Lo que ha aparecido aquí es un único número común a los dos sistemas. Una cantidad que sistemas de distinto contenido y distinto tamaño comparten en cuanto llegan al equilibrio. Ese es justamente el papel de lo que llamamos temperatura.
Así que lo definimos de esta manera: \dfrac{1}{T} = \dfrac{\partial S}{\partial E}. Cuánto aumenta la entropía cuando se añade un poco de energía. La inversa de ese crecimiento es la temperatura.
La figura es la curva S(E) y su tangente. La curva se va tendiendo a medida que sube. Cuanta más energía tiene ya un sistema, menos crece su número de estados al añadirle un poco más. Que la pendiente sea pequeña quiere decir que T es grande.
Lo que mide un termómetro es, llevado hasta el fondo, esta pendiente. Una cantidad que empezó como la sensación de calor o de frío queda dicha de nuevo en el lenguaje del recuento: lo deprisa que crece el número de estados.
¿Y qué ocurre si las pendientes de los dos sistemas son distintas? Al pasar energía hacia el de mayor pendiente, lo que allí se gana supera lo que pierde el que la entrega. La S del conjunto aumenta.
Que la pendiente sea grande quiere decir que T es pequeña, de modo que esto es lo mismo que decir «el calor va del que está más caliente al que está más frío». La flecha de la figura marca ese sentido, y conforme pasa la energía las dos pendientes se acercan.
El sentido que la termodinámica ponía desde la experiencia ha salido aquí de comparar números. La razón por la que fluye es que de ese lado hay más casos, y nada más. En el capítulo siguiente haremos enorme uno de estos dos sistemas y lo trataremos como un baño térmico.