Ponemos dos sistemas uno al lado del otro. Supongamos que el de la izquierda tiene W_1 estados y el de la derecha W_2. Cualquiera de los de la izquierda vale con cualquiera de los de la derecha, así que en conjunto hay W = W_1 W_2. La cuadrícula de abajo en la figura es todas esas combinaciones puestas una junto a otra.
Ahora bien, la entropía de la termodinámica es una cantidad que, al juntar dos sistemas, se suma. Igual que el volumen o la cantidad de sustancia: si duplicamos el sistema, se duplica. Crece de otra forma que W, que crece multiplicándose.
Por eso no podemos llamar entropía a W tal cual. Hace falta un giro que convierta el producto en suma.
Solo hay una herramienta que convierta un producto en una suma: el logaritmo. Queda \log W = \log W_1 + \log W_2, y con eso ya es una suma.
Las barras de la figura son eso. Apilando el \log W_2 del sistema de la derecha sobre el \log W_1 del de la izquierda sale el \log W del conjunto. Con W a secas no se puede apilar así.
En el artículo anterior usamos \log W porque el número de cifras era inmanejable. Aquí se añade una razón más: solo la forma con \log crece igual que las cantidades de la termodinámica.
Así que decidimos lo siguiente: S = k \log W. Es la relación de Boltzmann. k es la constante de Boltzmann, y más adelante veremos qué hace.
Esto no es algo deducido. Es algo decidido. Hasta el punto de querer una cantidad que se sume llegamos en la escena anterior, pero de ahí en adelante no hacemos más que declarar que lo ponemos así.
Lo que cambia es lo que viene después de ponerlo. Con esta única línea como entrada salen, sin faltar ninguna, la temperatura, la presión y la energía libre, todo lo que la termodinámica había levantado desde la experiencia. La figura pone en fila, línea a línea, el camino recorrido hasta aquí. El S = S_1 + S_2 del final es la forma que queríamos desde el principio.
\log W es un número a secas y no lleva unidades. La entropía de la termodinámica, en cambio, tiene dimensiones de \mathrm{J/K}. k es el coeficiente de conversión que une esas dos cosas.
La escala de la izquierda de la figura es \log W y la de la derecha es S. Señalan el mismo sitio y, sin embargo, tienen grabados números distintos. Lo que salva esa diferencia es k.
Y hace falta esa conversión porque la escala de temperaturas la fijaron las personas antes. Primero estuvo la decisión de partir en 100 el trecho entre donde el agua se hiela y donde hierve, y la mecánica estadística llegó después. Si decidimos medir la temperatura en unidades de energía, queda k = 1 y este coeficiente desaparece.
Encerramos el gas en un lado de la caja y quitamos el tabique del medio. Las partículas se van extendiendo y no vuelven nunca a un solo lado.
Contemos. Como el sitio disponible se ha duplicado, los lugares donde puede estar cada partícula se duplican, y con N partículas queda un factor 2^{N}. \log W aumenta en N\log 2 y la entropía aumenta en Nk\log 2.
Que no vuelva no se debe a que el camino de vuelta esté cortado. El estado en el que están todas de un lado también entra en el recuento, como es debido. Solo que no es más que 1 entre 2^{N}. Como vimos en el artículo anterior, si N es 10^{23}, eso equivale a que no ocurra.