代数拡大とは？最小多項式・代数閉包・分離拡大の基礎と例

体 $K$ の拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ の元 $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとは、$0$ でない $K$ 係数の多項式 $f(x)\in K[x]$ が存在して $f(\alpha )=0$ となることをいいます。かみくだけば、$\alpha$ が $K$ の数を係数とする方程式の解になっている、ということです。$L$ のすべての元が $K$ 上代数的であるとき、$L/K$ を代数拡大と呼びます。

たとえば $\sqrt{2}$ は $x^2-2=0$ の解なので $\mathbb{Q}$ 上代数的で、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ は代数拡大です。逆に、そうした方程式をまったく満たさない数は超越的と呼ばれ、$\pi$ や $e$ がその例です。代数拡大は、方程式で捉えられる数の世界がどこまで広がるかを測る枠組みであり、ガロア理論の土台になります。

体の拡大とは

体の拡大に慣れるため、まずいちばん易しい例をていねいに見ます。有理数体 $\mathbb{Q}$ に $\sqrt{2}$ を付け加えてできる体 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は、$\sqrt{2}$ を使って四則演算で作れる数すべてからなります。$(\sqrt{2}{)}^2=2$ が有理数に戻るので、実際にはすべての元が次の形にそろいます。

$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Q}\}$$

たとえば $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ も、分母を有理化すれば $-1+\sqrt{2}$ とこの形に収まります。つまり $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は $\{1,\sqrt{2}\}$ を基底とする $\mathbb{Q}$ 上の二次元ベクトル空間で、この次元 $2$ が拡大の大きさを表します。体に新しい数を付け足すと、その数が満たす関係式のぶんだけ、決まった次元の世界が広がる。この感覚が、以下すべての土台になります。

代数的元と超越的元

体 $K$ の拡大体 $L$ の元 $\alpha$ は、次のどちらか一方になります。

具体例を並べます。$\mathbb{Q}$ 上で $\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{2}$、虚数単位 $i$、$1$ の原始 $3$ 乗根 $\omega$、黄金比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ は、いずれも整数係数の方程式を満たすので代数的です。$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ のように複数の無理数を足したものも代数的で、後で最小多項式を求めます。いっぽう円周率 $\pi$ や自然対数の底 $e$ はどんな代数方程式も満たさず、超越的です。代数的な数は方程式でつかまえられる数、超越的な数はどんな代数方程式からもすり抜ける数だと思うと、両者の違いが直感的につかめます。

代数的な数は体をなす

代数的な元は、たがいに四則演算で結んでも代数的なまま閉じています。$\alpha ,\beta$ が $K$ 上代数的なら、$\alpha +\beta$、$\alpha -\beta$、$\alpha \beta$、そして $\beta \ne 0$ のとき $\alpha /\beta$ も、すべて $K$ 上代数的です。したがって $L$ の中の $K$ 上代数的な元全体は、$K$ を含む一つの体をなします。

理由は次元の議論です。$\alpha$ が次数 $m$、$\beta$ が次数 $n$ で代数的なら、$K(\alpha ,\beta )$ は $K$ 上たかだか $mn$ 次元の有限次拡大です。$\alpha +\beta$ や $\alpha \beta$ はこの有限次元の体に属し、有限次拡大の元は必ず代数的なので、これらも代数的だと結論できます。個々の最小多項式を書き下さなくても、次元の有限性だけで閉じていることが言えるわけです。たとえば $\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ が代数的なことも、これで直ちにわかります。

超越数の話

超越的な数の存在は、そう自明ではありません。最初に具体的な超越数を作ったのはリウヴィルで、${\sum }_{k=1}^{\infty }10^{-k!}$ のように桁が急激に飛ぶ小数が、有理数で近似されすぎるために代数的ではありえないことを示しました。

その後、$e$ が超越的であることをエルミートが $1873$ 年に、$\pi$ が超越的であることをリンデマンが $1882$ 年に証明しました。$\pi$ の超越性は、定規とコンパスで円と同じ面積の正方形を作れないこと、すなわち円積問題の不可能性を意味する、由緒ある結果です。なお $e+\pi$ や $e\pi$ が超越的かどうかは、少なくとも一方は超越的だとわかるものの、個別にはいまも未解決です。代数的な数が可算個しかないのに対し実数は非可算なので、数直線上のほとんどすべての数はじつは超越的だという事実も、あわせて心に留めておきます。

最小多項式

$\alpha$ が $K$ 上代数的なとき、$\alpha$ を根にもつモニック（最高次の係数が $1$）な既約多項式が $K[x]$ にただ一つ存在します。これを $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式といい、$m_{\alpha ,K}(x)$ と書きます。この多項式には次の性質があります。

代表的な数の最小多項式を、$\mathbb{Q}$ 上で並べておきます。

いずれも既約で、その次数がそのまま $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$ を与えます。たとえば $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$、$[\mathbb{Q}({\zeta }_5):\mathbb{Q}]=4$ です。

最小多項式を求める

複数の無理数の和については、最小多項式を手で作れます。$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式を求めてみましょう。根号を消すために、二乗を繰り返します。まず両辺を二乗すると、次のようになります。

$${\alpha }^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}$$

$\sqrt{6}$ を孤立させて ${\alpha }^2-5=2\sqrt{6}$ とし、もう一度二乗します。

$$({\alpha }^2-5{)}^2=24⟹{\alpha }^4-10{\alpha }^2+1=0$$

こうして $\alpha$ は $x^4-10x^2+1$ の根だとわかります。この四次式は $\mathbb{Q}$ 上既約なので、これが最小多項式で、$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$ です。同じ手順は $\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ のような立方根の和にも使え、根号が消えるまで累乗しては整理する、という機械的な作業に帰着します。

既約性の判定法

最小多項式かどうかを見分けるには、多項式が既約であることを確かめる必要があります。よく使う判定法を、例とともに挙げます。もっとも強力なのがアイゼンシュタインの判定法で、ある素数 $p$ が最高次以外のすべての係数を割り、定数項を $p^2$ が割らないなら、その多項式は $\mathbb{Q}$ 上既約です。$x^3-2$ は $p=2$ で条件を満たすので既約、同じく $x^4-2$ や $x^5-2$ もすべて既約とわかります。

素数 $p$ を法とする還元も有効です。整数係数多項式を $\mathrm{mod}p$ で見て既約なら、もとの多項式も $\mathbb{Q}$ 上既約です。たとえば $x^2+x+1$ は $\mathrm{mod}2$ で根を持たないので ${\mathbb{F}}_2$ 上既約、したがって $\mathbb{Q}$ 上も既約です。低次では有理根定理も便利で、$x^3-x-1$ の有理根の候補 $\pm 1$ がどちらも根でないことから、この三次式が既約だとわかります。円分多項式 ${\Phi }_p(x)=x^{p-1}+\cdots +x+1$ も、$x\mapsto x+1$ と置換するとアイゼンシュタインが使えて、既約性が示せます。

単純拡大の構造

一つの元 $\alpha$ を付け加えた拡大 $K(\alpha )$ を単純拡大といい、その中身は最小多項式でくっきり決まります。$\alpha$ の最小多項式を $m(x)$、次数を $n$ とすると、環としての同型が成り立ちます。

$$K(\alpha )\cong K[x]/(m(x))$$

右辺は多項式を $m(x)$ で割った余りの世界で、$\alpha$ を $m(x)=0$ を満たす記号とみなすことに対応します。この見方から、$K(\alpha )$ が $\{1,\alpha ,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^{n-1}\}$ を基底とする $K$ 上 $n$ 次元ベクトル空間だとわかります。

たとえば $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ は $\{1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}\}$ を基底とする三次元空間で、その元はすべて $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}$（$a,b,c\in \mathbb{Q}$）と一意に書けます。積を計算して次数が上がっても、$(\sqrt[3]{2}{)}^3=2$ を使えばつねにこの三項の形に戻せます。抽象的な $K[x]/(m)$ が、具体的な数の集合として手に取れるわけです。

拡大次数と次数の塔

拡大の大きさを測る $[L:K]$ は、$L$ を $K$ 上のベクトル空間とみたときの次元です。拡大を積み重ねたときは、次数の塔の公式が成り立ちます。

$$[M:K]=[M:L]\cdot [L:K](K\subseteq L\subseteq M)$$

これを使うと、多段の拡大次数がかけ算で求まります。$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ を例に取ると、まず $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$、次に $\sqrt{3}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上でも $x^2-3$ を最小多項式にもつので $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$、あわせて $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=4$ です。基底は $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}$ になります。さらに $\sqrt{5}$ を足せば $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):\mathbb{Q}]=8$ で、次数が $2$ の冪でふくらんでいきます。

共役元

代数的な元には、それと見分けのつかない仲間がいます。$\alpha$ の最小多項式 $m(x)$ の、$\alpha$ 以外の根を $\alpha$ の共役元といいます。共役元は、$K$ の立場からは $\alpha$ とまったく同じ代数的性質をもちます。

たとえば $\sqrt{2}$ の共役は $-\sqrt{2}$ で、どちらも $x^2-2$ の根です。$i$ の共役は $-i$、$\sqrt[3]{2}$ の共役は残り二つの複素立方根 $\omega \sqrt[3]{2}$、${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ です。$\mathbb{Q}$ から見ると $\sqrt{2}$ と $-\sqrt{2}$ は取り替えても矛盾が生じず、この取り替えこそが体の自己同型、ひいてはガロア群の正体になります。共役元がすべて同じ拡大体に入っているかどうかが、後で見る正規性の鍵を握ります。

単純拡大と原始元定理

いくつもの元を付け加えた拡大が、じつは一つの元で生成できることがあります。原始元定理は、標数 $0$ の体（や一般に分離的な有限次拡大）では、有限個の元で生成される拡大がつねに単純拡大になる、と保証します。

代表例が $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ です。右辺は一見小さそうですが、$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ から ${\alpha }^3=11\sqrt{2}+9\sqrt{3}$ を組み合わせると $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ が別々に取り出せ、両者が同じ体だとわかります。二つの生成元が一つにまとまるおかげで、拡大を最小多項式一本で扱えるようになり、理論も計算も大きく簡単になります。

代数拡大の性質

代数拡大は、次の基本性質をもちます。

推移性から、塔 $K\subseteq L\subseteq M$ において $M/K$ が代数拡大であることと、$L/K$ と $M/L$ がともに代数拡大であることは同値です。いっぽう有限次でない代数拡大も存在します。たとえば $\mathbb{Q}$ にすべての平方根 $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\dots$ を付け加えた体は、$\mathbb{Q}$ 上代数的ですが次数は無限大です。

代数閉包

体 $K$ の代数閉包とは、$K$ を含む代数閉体（どんな多項式も根をもつ体）であって、$K$ 上代数的な元だけからなるものです。代数閉包は同型を除いて一意に存在し、$\overline{K}$ と書きます。存在の証明にはツォルンの補題を使い、$K$ 上のすべての多項式の根を付け加えていきます。

$\mathbb{Q}$ の代数閉包 $\overline{\mathbb{Q}}$ は、代数的数全体からなる体です。これは複素数体 $\mathbb{C}$ の真の部分体で、両者は一致しません。理由は濃度で、$\overline{\mathbb{Q}}$ が可算集合なのに対し $\mathbb{C}$ は非可算だからです。$\mathbb{C}$ 自身は代数閉体ですが、$\pi$ や $e$ という超越元を含むので $\mathbb{Q}$ の代数閉包ではありません。有限体では、$\overline{{\mathbb{F}}_p}$ が ${\mathbb{F}}_p\subset {\mathbb{F}}_{p^2}\subset {\mathbb{F}}_{p^3}\subset \cdots$ をすべて合わせた無限体として得られます。

有限体の構成

代数拡大のもっとも具体的な舞台が有限体です。素数 $p$ に対し ${\mathbb{F}}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ から出発し、既約多項式で割った剰余環を作ると、より大きな有限体が組み上がります。たとえば ${\mathbb{F}}_2$ 上で既約な $x^2+x+1$ を使うと、四元体が得られます。

$${\mathbb{F}}_4={\mathbb{F}}_2[x]/(x^2+x+1)=\{0,1,\alpha ,\alpha +1\}$$

ここで $\alpha$ は ${\alpha }^2+\alpha +1=0$、すなわち ${\alpha }^2=\alpha +1$ を満たす元です。この関係だけで四則演算がすべて決まり、たとえば $\alpha \cdot \alpha =\alpha +1$、$\alpha \cdot (\alpha +1)={\alpha }^2+\alpha =1$ と計算できます。同じ要領で作れる小さな有限体を並べます。

各定義多項式はそれぞれの素体上で既約で、次数 $n$ の既約多項式が位数 $p^n$ の体を生みます。

有限体の性質

有限体は、驚くほど整然とした構造をもちます。まず、有限体の位数は必ず素数の冪 $p^n$ で、各 $p^n$ に対して位数 $p^n$ の体は同型を除いてただ一つです。だから ${\mathbb{F}}_{p^n}$ という記号が意味をもちます。

鍵になるのがフロベニウス写像 $x\mapsto x^p$ で、これは ${\mathbb{F}}_{p^n}$ の体自己同型になります。標数 $p$ では $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ が成り立つ、いわゆる新入生の夢が正しくなるためです。乗法群 ${\mathbb{F}}_{p^n}^{\times }$ は位数 $p^n-1$ の巡回群で、その生成元を原始元と呼びます。部分体の様子もきれいで、${\mathbb{F}}_{p^m}$ が ${\mathbb{F}}_{p^n}$ の部分体であることと、$m$ が $n$ を割ることは同値です。たとえば ${\mathbb{F}}_{2^6}={\mathbb{F}}_{64}$ は、${\mathbb{F}}_2$、${\mathbb{F}}_4$、${\mathbb{F}}_8$ をちょうど部分体にもち、$6$ の約数 $1,2,3,6$ と対応します。有限体上の代数拡大がすべて分離的なのも、この整った構造ゆえです。

円分体

$1$ の $n$ 乗根を付け加えた体を円分体といいます。原始 $n$ 乗根 ${\zeta }_n=e^{2\pi i/n}$ を使って $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ と書き、その最小多項式が円分多項式 ${\Phi }_n(x)$ です。拡大次数はオイラーの関数を使って $[\mathbb{Q}({\zeta }_n):\mathbb{Q}]=\phi (n)$ となります。小さな $n$ について並べます。

たとえば $\mathbb{Q}({\zeta }_5)$ は $\mathbb{Q}$ 上 $4$ 次で、正五角形の作図可能性に直結します。$\phi (n)$ が $2$ の冪になる $n$ のときに正 $n$ 角形が定規とコンパスで作図でき、これがガウスの発見した美しい判定条件になっています。

分離拡大と非分離拡大

代数拡大は、最小多項式が重根をもつかどうかで、分離的か非分離的かに分かれます。

非分離の唯一の源は、正標数での累乗です。標準的な例が ${\mathbb{F}}_p(t)$ 上の ${\mathbb{F}}_p(t^{1/p})$ です。$u=t^{1/p}$ の最小多項式は $x^p-t$ ですが、標数 $p$ ではこれが完全につぶれてしまいます。

$$x^p-t=x^p-u^p=(x-t^{1/p}{)}^p$$

根がただ一つの値 $u$ の $p$ 重に重なっているので、この拡大は非分離的です。標数 $0$ ではこのような累乗の潰れが起きないため、非分離拡大は決して現れません。

完全体

すべての代数拡大が分離的になる体を完全体といいます。どんな体が完全かは、はっきりしています。標数 $0$ の体はすべて完全で、有限体もすべて完全です。だから $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{C}$、${\mathbb{F}}_{p^n}$ を相手にしている限り、非分離という現象に出くわすことはありません。

完全でない体の代表が、さきほどの ${\mathbb{F}}_p(t)$ です。正標数の体 $K$ が完全であることは、フロベニウス写像 $x\mapsto x^p$ が全射であること、つまりすべての元が $p$ 乗根をもつことと同値です。${\mathbb{F}}_p(t)$ では $t$ の $p$ 乗根が体の中になく、フロベニウスが全射でないため、非分離拡大が生じます。日常的に扱う多くの体が完全なので分離性はふだん意識せずに済みますが、正標数の関数体を扱う場面では本質的に効いてきます。

分解体

一つの多項式のすべての根を付け加えてできる、最小の拡大体を分解体といいます。多項式 $f(x)$ が一次式の積に完全に分解するちょうどぶんだけ体を広げたもの、という意味です。いくつか例を挙げます。

$x^2-2$ の分解体は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ で、二つの根 $\pm \sqrt{2}$ がともに入り、次数は $2$ です。$x^3-2$ では三つの根 $\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$ が要るので、実根だけでは足りず、分解体は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega )$、次数は $6$ になります。$x^4-2$ の根は $\pm \sqrt[4]{2},\pm i\sqrt[4]{2}$ で、$\sqrt[4]{2}$ と $i$ の両方が必要なため、分解体は $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$、次数は $8$ です。分解体は、次に見る正規拡大とちょうど同じものにあたります。

正規拡大

代数拡大 $L/K$ が正規拡大であるとは、$K$ 係数の既約多項式が $L$ の中に根を一つでももてば、その根をすべて $L$ の中にもつことをいいます。言いかえれば、共役元が一つ入れば全部入る、という条件です。

$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$ が正規でない理由は、はっきりしています。$x^3-2$ は $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ の中に実根 $\sqrt[3]{2}$ をもつのに、残りの複素根 $\omega \sqrt[3]{2}$、${\omega }^2\sqrt[3]{2}$ は実数体の部分体であるこの体に入りません。根が一つだけ入って仲間外れが出るので、正規ではないのです。同じ理由で $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q}$ も正規でなく、根 $i\sqrt[4]{2}$ が欠けています。いっぽう $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は $x^2-2$ の根を両方含むので正規です。

ガロア拡大への入り口

正規かつ分離な有限次拡大を、ガロア拡大といいます。二つの条件がそろうことで、拡大の対称性が自己同型群としてきれいに取り出せるようになり、これがガロア理論の中心対象です。標数 $0$ では分離性が自動なので、ガロア拡大とは実質的に分解体であることに等しくなります。

例として $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ を見ます。これは $(x^2-2)(x^2-3)$ の分解体なので正規、標数 $0$ なので分離、よってガロア拡大です。自己同型は $\sqrt{2}\mapsto \pm \sqrt{2}$ と $\sqrt{3}\mapsto \pm \sqrt{3}$ の符号の選び方で決まり、独立な二つの符号反転から、群は $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$（クラインの四元群）になります。拡大次数 $4$ と自己同型群の位数 $4$ が一致するのは、ガロア拡大の特徴そのものです。$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ が正規でなかったのとは対照的に、こちらでは共役の取り替えがすべて体の内側で完結しています。

作図問題への応用

代数拡大の言葉は、古代ギリシアの作図問題に決着をつけます。定規とコンパスで作れる長さは、有理数から出発して平方根を取る操作の繰り返しで得られるものに限られ、その全体は $[\mathbb{Q}(\gamma ):\mathbb{Q}]$ が $2$ の冪になる数と一致します。この一点から、有名な不可能性が次々に従います。

立方体の倍積、すなわち体積を二倍にする作図は $\sqrt[3]{2}$ を作ることに等しいですが、$[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3$ は $2$ の冪でないので不可能です。角の三等分も一般には不可能で、$20^{\circ }$ の余弦が $8x^3-6x-1=0$ という既約な三次式の根になり、やはり次数 $3$ が障害になります。円積問題が不可能なのは、$\pi$ が超越的で、そもそも代数的数ですらないからです。逆に正 $n$ 角形の作図は、$\phi (n)$ が $2$ の冪になるちょうどそのときに可能で、正五角形（$\phi (5)=4$）は作れて正七角形（$\phi (7)=6$）は作れない、という判定がガウスによって与えられました。

例のまとめ

代表的な拡大を、次数と性質で一覧にします。

標数 $0$ と有限体では分離性がつねに満たされるので、実際に非分離が現れるのは最下段のような正標数の関数体だけです。正規性のほうは、分解体になっているかどうかで決まります。

理解の確認

まとめ

代数拡大は、体に方程式の根を付け加えて広げていく操作で、その大きさは拡大次数、内実は最小多項式が握ります。単純拡大 $K(\alpha )$ は $K[x]/(m)$ として完全に決まり、次数の塔でいくつもの拡大がかけ算にまとまります。有限体や円分体は、この理論をもっとも具体的に手を動かせる舞台でした。さらに、共役元がすべて入るかどうかが正規性、最小多項式が重根をもたないかどうかが分離性を決め、両方を満たすガロア拡大がガロア理論の入り口になります。作図問題の不可能性まで、これらの言葉があれば拡大次数の計算に帰着します。たくさんの例で見たとおり、代数拡大は抽象的な定義の裏に、数えられ、作れる具体的な数の世界が広がっている分野です。