体 の拡大体 が与えられたとき、 の元 が 上代数的であるとは、ある 係数の 0 でない多項式 が存在して となることをいいます。 のすべての元が 上代数的であるとき、 を代数拡大といいます。
代数的元と超越的元
体 の拡大体 の元 について、次のいずれかが成り立ちます。
係数の 0 でない多項式 で を満たすものが存在する。このとき は有限次拡大である。
どんな 係数の 0 でない多項式 に対しても が成り立つ。このとき は （有理関数体)と同型である。
たとえば 上で は代数的ですが、円周率 や自然対数の底 は超越的です。
最小多項式
が 上代数的であるとき、 を根にもつ の モニック既約多項式が一意的に存在し、これを の 上の最小多項式といいます。最小多項式を と書くと、次が成り立ちます。
たとえば の 上の最小多項式は であり、 です。
代数拡大の性質
代数拡大は次の基本的な性質をもちます。
が代数拡大で が代数拡大ならば、 も代数拡大である。
有限次拡大は代数拡大である。逆は一般には成り立たないが、 が有限生成代数拡大ならば有限次拡大である。
, がともに代数拡大ならば、その合成体 も代数拡大である。
推移性から、代数拡大の塔 において、 が代数拡大であることと および がともに代数拡大であることは同値です。
代数閉包
体 の代数閉包とは、 を含む代数閉体であって 上代数的な元のみからなるものをいいます。代数閉包は同型を除いて一意的に存在し、 や などと表記されます。
の代数閉包 は代数的数全体の集合であり、複素数 の真部分体です。 自身は代数閉体ですが、 や などの超越的元を含むため の代数閉包ではありません。
分離拡大と非分離拡大
体 の標数が 0 または が完全体であるとき、すべての代数拡大は分離拡大になります。一方、正標数の非完全体上では非分離拡大が現れます。
の任意の元 の最小多項式が重根をもたないとき、 を分離拡大という。
に最小多項式が重根をもつ元が存在するとき、 を非分離拡大という。
非分離拡大は標数 の体上でのみ起こります。たとえば 上で は非分離拡大です。
正規拡大
が代数拡大であるとき、 が正規拡大であるとは、 係数の任意の既約多項式が で 1 つの根をもてば ですべて根をもつことをいいます。正規拡大は次の性質をもちます。
正規拡大と分離拡大の両方を満たす拡大を Galois 拡大といい、これが Galois 理論の中心的対象になります。
