代数拡大（代数閉包・分離拡大）

体 $K$ の拡大体 $L$ が与えられたとき、$L$ の元 $\alpha$ が $K$ 上代数的であるとは、ある $K$ 係数の 0 でない多項式 $f(x)\in K[x]$ が存在して $f(\alpha )=0$ となることをいいます。$L$ のすべての元が $K$ 上代数的であるとき、$L/K$ を代数拡大といいます。

代数的元と超越的元

体 $K$ の拡大体 $L$ の元 $\alpha$ について、次のいずれかが成り立ちます。

たとえば $\mathbb{Q}$ 上で $\sqrt{2}$ は代数的ですが、円周率 $\pi$ や自然対数の底 $e$ は超越的です。

最小多項式

$\alpha$ が $K$ 上代数的であるとき、$\alpha$ を根にもつ $K[x]$ の モニック既約多項式が一意的に存在し、これを $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式といいます。最小多項式を $m_{\alpha ,K}(x)$ と書くと、次が成り立ちます。

たとえば $\sqrt{2}$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式は $x^2-2$ であり、$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$ です。

代数拡大の性質

代数拡大は次の基本的な性質をもちます。

推移性から、代数拡大の塔 $K\subset L\subset M$ において、$M/K$ が代数拡大であることと $L/K$ および $M/L$ がともに代数拡大であることは同値です。

代数閉包

体 $K$ の代数閉包とは、$K$ を含む代数閉体であって $K$ 上代数的な元のみからなるものをいいます。代数閉包は同型を除いて一意的に存在し、$\overline{K}$ や $K^{\text{alg}}$ などと表記されます。

$\mathbb{Q}$ の代数閉包 $\overline{\mathbb{Q}}$ は代数的数全体の集合であり、複素数 $\mathbb{C}$ の真部分体です。$\mathbb{C}$ 自身は代数閉体ですが、$\pi$ や $e$ などの超越的元を含むため $\mathbb{Q}$ の代数閉包ではありません。

分離拡大と非分離拡大

体 $K$ の標数が 0 または $K$ が完全体であるとき、すべての代数拡大は分離拡大になります。一方、正標数の非完全体上では非分離拡大が現れます。

非分離拡大は標数 $p>0$ の体上でのみ起こります。たとえば ${\mathbb{F}}_p(t)$ 上で ${\mathbb{F}}_p(t^{1/p})$ は非分離拡大です。

正規拡大

$L/K$ が代数拡大であるとき、$L/K$ が正規拡大であるとは、$K$ 係数の任意の既約多項式が $L$ で 1 つの根をもてば $L$ ですべて根をもつことをいいます。正規拡大は次の性質をもちます。

正規拡大と分離拡大の両方を満たす拡大を Galois 拡大といい、これが Galois 理論の中心的対象になります。