解析接続の基本（複素解析）

解析接続（analytic continuation）は、ある領域で定義された正則関数を、より広い領域へ拡張する手続きのこと。

基本的な考え方

関数 $f (z)$ が領域 $D_{1}$ で正則であるとする。別の領域 $D_{2}$ で定義された正則関数 $g (z)$ が、 $D_{1} \cap D_{2} \neq = \emptyset$ において $f (z) = g (z)$ を満たすとき、 $g$ を $f$ の解析接続という。

一致の定理

$D_{1} \cap D_{2}$ 内のある収束点列とその極限点で $f = g$ が成り立てば、共通部分全体で $f = g$ となる。この性質により、解析接続は一意的に定まる。

べき級数による接続

ある点 $a$ の周りでべき級数展開された関数は、収束円内で正則である。収束円の境界上の点 $b$ で新たにべき級数展開すると、元の円を越えて定義域を広げられる。

具体例：対数関数

対数関数 $lo g z$ は解析接続の典型例。実数の対数 $lo g x$ （ $x > 0$ ）から出発しよう。 $z = r e^{i θ}$ （ $r > 0$ , $- π < θ < π$ ）に対して

$lo g z = lo g r + i θ$

と定義すれば、負の実軸を除く複素平面で正則な関数が得られる（主値）。

しかし $θ$ を $- π < θ < π$ に制限する必然性はない。 $θ$ の範囲を広げると、異なる「枝」が現れる：

$lo g z = lo g r + i (θ + 2 πk), k \in Z$

これらすべての枝を含む構造がリーマン面である。

リーマン面

多価関数を一価関数として扱うために、定義域を複数の「葉」から成る曲面として構成する。

$lo g z$ の場合、複素平面を無限に積み重ねた螺旋階段状の曲面を考える。原点を一周するごとに別の階層へ移り、 $2 πi$ ずつ値が変化する。

実軸上の $lo g x$

主値 $lo g z$ （ $- π < ar g z < π$ ）

すべての枝を含むリーマン面上の一価関数

特異点と自然な境界

解析接続が行き詰まる点を特異点という。

孤立特異点

除去可能特異点、極、真性特異点の 3 種類がある。これらは Laurent 展開で分類できる。

自然な境界

ある曲線上のすべての点が特異点になる場合、その曲線を自然な境界と呼ぶ。たとえば $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{2^{n}}$ は単位円 $∣ z ∣ = 1$ が自然な境界となる。

自然な境界の存在により、すべての正則関数を複素平面全体に拡張できるわけではない。

解析接続の一意性

正則関数の解析接続は、連結な領域では一意的である。これは一致の定理の帰結である。

ただし、経路によって異なる値に到達することもある（単連結でない場合）。 $z$ を原点の周りに一周させると、符号が反転する。このような現象を単射性（monodromy）という。