解析接続の基本をわかりやすく解説（複素解析）｜一致の定理・リーマン面・モノドロミー

級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}$ は、 $∣ z ∣ < 1$ でしか収束しない。ところが、その和は $\frac{1}{1 - z}$ であり、この関数は $z = 1$ を除けば複素平面のどこでも定義できる。級数という「窓」からは半径 $1$ の円しか見えないのに、関数の正体はずっと広くまで生きている。この食い違いを埋め、狭い領域で定義された正則関数を、より広い領域の正則関数へと延ばす手続きが解析接続である。しかも後で見るように、その延ばし方はただ一通りに決まってしまう。ここに、複素解析のいちばん硬い骨格が現れる。

解析接続とは

まず言葉を定める。関数 $f (z)$ が領域 $D_{1}$ で正則であるとする。別の領域 $D_{2}$ で正則な関数 $g (z)$ が、空でない重なり $D_{1} \cap D_{2}$ の上で $f (z) = g (z)$ を満たすとき、 $g$ を $f$ の $D_{2}$ への解析接続という。要するに、もとの関数と重なる部分で完全に一致する正則関数を、外側に見つける作業である。

ふつうの連続関数なら、重なりで一致していても外での延ばし方はいくらでもある。正則関数はそうではない。複素微分可能という条件が非常に強く、値をごく一部で知るだけで残り全体が縛られてしまう。この硬さのおかげで、解析接続は意味をもつ。次の節から、実際に関数を延ばす例を積み重ねていく。

いちばん基本の例：等比級数

解析接続の原型は等比級数である。

$n = 0 \sum \infty z^{n} = 1 + z + z^{2} + z^{3} + \dots$

この級数は $∣ z ∣ < 1$ で収束し、和は $\frac{1}{1 - z}$ になる。左辺は半径 $1$ の円の内側でしか定義されないが、右辺の $\frac{1}{1 - z}$ は $z = 1$ 以外のすべての複素数で正則である。両者は $∣ z ∣ < 1$ で一致するので、 $\frac{1}{1 - z}$ は級数の解析接続にほかならない。もとの関数を、たった一つの穴 $z = 1$ を残して平面全体へ延ばしたことになる。

延ばした先では、級数そのものは意味を失っていることに注意したい。 $z = 2$ を代入すると、級数 $1 + 2 + 4 + \dots$ は発散する。それでも接続後の関数は $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ という値をきちんともつ。

級数の視野

$\sum z^{n}$ が直接見せてくれるのは $∣ z ∣ < 1$ の円の内側だけ。外では発散し、何も語らない。

関数の正体

$\frac{1}{1 - z}$ は $z = 1$ を除く全平面で正則。級数は、この関数の一部分を切り取った姿にすぎない。

有名な「あやしい等式」も、この見方で腑に落ちる。接続後の関数に $z = - 1$ を入れると $\frac{1}{1 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$ である。級数の形に無理やり戻せば $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ で、これが $\frac{1}{2}$ に「等しい」と言われるのは、発散級数に解析接続の値を割り当てているからにほかならない。

一致の定理：なぜ一意に決まるか

解析接続がただ一通りに決まる根拠が、一致の定理である。

一致の定理

領域 $D$ で正則な 2 つの関数 $f, g$ が、 $D$ の内部に集積点をもつ集合の上で $f = g$ を満たすなら、 $D$ 全体で $f = g$ である。小さな円板や 1 本の曲線の上で一致するだけで、もう全体が一致してしまう。

一意性への帰結

もし $g_{1}, g_{2}$ がともに $f$ の同じ領域への解析接続なら、重なりで両者は $f$ に等しく、したがって互いに等しい。延ばし方は一意に定まる。

具体的に効く場面を挙げる。実数の上で定義された $sin x$ を複素数へ延ばすとき、 $sin z$ は無数にありうるだろうか。ないのである。実軸という集積点だらけの集合の上で $sin x$ と一致する正則関数は、一致の定理によってただ一つしかない。私たちの知る $sin z = \frac{e ^{i z} - e ^{- i z}}{2 i}$ が、その唯一の答えである。実関数のテイラー級数を、そのまま複素変数に読み替えてよいのも、この一意性のおかげだ。

べき級数を渡り歩く（再展開）

一致の定理は「延ばせるなら一意」と保証するが、実際にどう延ばすかは別の問題である。古典的な方法が、べき級数の再展開だ。ある点で展開した級数の収束円の内側で、別の点を中心に展開し直すと、新しい収束円がもとの円からはみ出すことがある。これを繰り返して定義域を広げていく。

さきほどの $\frac{1}{1 - z} = \sum z^{n}$ で試そう。この級数は原点中心・半径 $1$ の円でしか収束しない。そこで中心を $z = - 1$ に移し、展開し直す。

$\frac{1}{1 - z} = \frac{1}{2 - ( z + 1 )} = \frac{1}{2} n = 0 \sum \infty (\frac{z + 1}{2})^{n}$

この新しい級数は $∣ z + 1∣ < 2$ で収束する。中心 $z = - 1$ から見て、いちばん近い特異点 $z = 1$ までの距離が $2$ だからだ。もとの円 $∣ z ∣ < 1$ より広く、たとえば $z = - 2$ のような、もとの級数では届かなかった点まで飲み込んでいる。

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<text x="112" y="42" fill="#3468d6">再展開 |z+1|&lt;2</text>
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図の 2 つの円は、どちらも境界が特異点 $z = 1$ に触れている。特異点があるかぎり、そこを収束円の中に取り込むことはできない。それでも中心をずらせば、 $z = 1$ を避けながら別の方向へ円を張り出せる。この張り出しをつないでいけば、 $z = 1$ という一点だけを除いた平面全体へ $\frac{1}{1 - z}$ が広がっていく様子が見えてくる。

対数関数と枝

ここまでは穴が 1 点だけの穏やかな例だった。関数によっては、延ばした先で値が一意でなくなる。代表が対数関数 $lo g z$ である。正の実数の対数 $lo g x$ （ $x > 0$ ）から出発しよう。複素数を $z = r e^{i θ}$ （ $r > 0$ ）と極形式で書き、偏角を $- π < θ < π$ に選べば、

$lo g z = lo g r + i θ$

と定義できる。これは負の実軸と原点を除いた複素平面で正則で、対数の主値と呼ばれる。

しかし偏角を $- π < θ < π$ に閉じ込める必然性はない。原点のまわりをぐるりと回れば、偏角は $2 π$ だけ増える。範囲を広げると、値の異なる「枝」が次々に現れる。

$lo g z = lo g r + i (θ + 2 π k), k \in Z$

$k$ が 1 違えば値は $2 π i$ だけずれる。実数の世界では一つに決まっていた対数が、複素数では無限に枝分かれする多価関数になるのだ。

リーマン面

多価のままでは扱いにくい。そこで発想を逆転し、関数を一価に保てるよう定義域のほうを作り変える。これがリーマン面である。 $lo g z$ なら、複素平面を無限に積み重ねた螺旋階段のような曲面を考える。原点を一周するたびに一つ上の階へ移り、値は $2 π i$ ずつ増えていく。同じ「見かけの点」 $z$ でも、どの階にいるかで対数の値が決まる。こうすれば $lo g z$ は、この曲面の上では一価な正則関数として素直にふるまう。

実軸上の $lo g x$

主値 $lo g z$ （ $- π < ar g z < π$ ）

すべての枝を束ねたリーマン面上の一価関数

平方根や一般のべき乗、逆三角関数など、多価になる関数はいずれも固有のリーマン面をもつ。多価関数の謎は平面が狭すぎたせいだった、というのがリーマン面の見立てである。

平方根とモノドロミー

多価関数を一周させたときの値の変化は、モノドロミーと呼ばれる。平方根 $z$ で見るのがわかりやすい。 $z = r e^{i θ}$ に対して $z = r e^{i θ /2}$ と定める。ここで原点を反時計回りに一周し、偏角を $θ$ から $θ + 2 π$ まで増やすと、

$z \mapsto r e^{i (θ + 2 π) /2} = r e^{i θ /2} e^{iπ} = - z$

となり、符号が反転する。出発点に戻ってきたのに、値が変わってしまうのだ。もう一周すればさらに符号が変わり、 $z$ に戻る。このように、閉じた経路を一周したとき値が別の枝へ移る現象がモノドロミーである。単連結でない領域、つまり穴のあいた領域では、解析接続の結果が経路の取り方に依存しうる、ということをこれは端的に示している。

原点は、 $lo g z$ でも $z$ でも、まわりを回ると値がずれる特別な点で、分岐点と呼ばれる。モノドロミーは、この分岐点を経路がどう囲むかで決まる。

ゼータ関数：最も有名な解析接続

解析接続がもっとも劇的に働く例が、リーマンのゼータ関数だろう。

$ζ (s) = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{s}} = 1 + \frac{1}{2 ^{s}} + \frac{1}{3 ^{s}} + \dots$

この級数は実部 $Re (s) > 1$ でしか収束しない。ところがゼータ関数は、 $s = 1$ の一点を除く複素平面全体へ解析接続できる。その第一歩は、符号を交互にしたディリクレのイータ関数でたどれる。

$η (s) = n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{s}} = 1 - \frac{1}{2 ^{s}} + \frac{1}{3 ^{s}} - \dots$

交代級数なので $η$ は $Re (s) > 0$ で収束し、しかも簡単な計算で $η (s) = (1 - 2^{1 - s}) ζ (s)$ という関係が導ける。これを $ζ$ について解けば、

$ζ (s) = \frac{η ( s )}{1 - 2 ^{1 - s}}$

となり、右辺は $Re (s) > 0$ （ $s \neq = 1$ ）で意味をもつ。収束域を $Re (s) > 1$ から $Re (s) > 0$ へ、たしかに広げられた。さらに接続を平面全体へ進めると、もとの級数からは想像もつかない値が現れる。とりわけ有名なのが、次の等式だ。

$ζ (- 1) = - \frac{1}{12}$

素朴に級数へ戻せば $1 + 2 + 3 + \dots$ だが、これが $- \frac{1}{12}$ に結びつくのは、発散級数そのものの和ではなく、解析接続されたゼータ関数が $s = - 1$ でとる値だからである。物理でこの数がしばしば顔を出すのも、背後で暗にゼータ関数の接続が使われているためだ。

ガンマ関数：階乗の拡張

もう一つ、積分で定義された関数を延ばす例を見よう。ガンマ関数は次の積分で定義され、これは $Re (s) > 0$ で収束する。

$Γ (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- t} d t$

正の整数では $Γ (n) = (n - 1)!$ となり、階乗を実数・複素数へ広げた関数として知られる。部分積分から、次の関係式が出る。

$Γ (s + 1) = s Γ (s)$

これを $Γ (s) = \frac{Γ ( s + 1 )}{s}$ と読み替えるのが接続の鍵だ。右辺は $Re (s) > - 1$ （ $s \neq = 0$ ）で意味をもつので、定義域が左へ 1 だけ広がる。同じ操作を繰り返せば $Re (s) > - 2$ 、 $Re (s) > - 3$ と次々に伸び、結局は複素平面全体へ接続できる。ただし $s = 0, - 1, - 2, \dots$ では分母が $0$ になり、そこでガンマ関数は極（発散）をもつ。階乗が負の整数で定義されなかったことの名残が、極として残るわけである。この接続のおかげで、 $Γ (\frac{1}{2}) = π$ のような、素朴な階乗の発想では出てこない値も意味をもつ。

広げられないこともある：自然境界

解析接続はいつでも成功するわけではない。行く手をふさぐのが特異点である。

孤立特異点

まわりに他の特異点がなく、ぽつんと孤立した特異点。除去可能特異点・極・真性特異点の 3 種類があり、ローラン展開の負べきの項でどれかに分類できる。極は $\frac{1}{1 - z}$ の $z = 1$ のような発散点である。

自然境界

特異点がある曲線上にびっしり並び、その曲線を一歩も越えられなくなることがある。この壁を自然境界と呼ぶ。もはや外側へ接続する道はない。

自然境界の実例が $\sum_{n = 0}^{\infty} z^{2^{n}} = z + z^{2} + z^{4} + z^{8} + \dots$ である。この級数は $∣ z ∣ < 1$ で正則な関数を定めるが、単位円 $∣ z ∣ = 1$ 上のいたるところが特異点になり、円が丸ごと自然境界になってしまう。指数が $1, 2, 4, 8, \dots$ と飛び飛びで、項がすかすかな級数ほど、こうした壁を作りやすい。すべての正則関数が平面全体へ延ばせるわけではない、という限界を、この例ははっきり示している。

理解の確認

$\frac{1}{1 - z}$ を中心 $z = - 1$ でべき級数に展開し直すと、その収束半径はいくつになるか。

$1$ 。もとの級数と変わらない
$2$
$\infty$ 。どこでも収束する

__RESULT__

べき級数の収束半径は、中心からもっとも近い特異点までの距離に等しい。 $\frac{1}{1 - z}$ の特異点は $z = 1$ ただ一つで、中心 $z = - 1$ からの距離は $∣1 - (- 1) ∣ = 2$ である。したがって収束半径は $2$ 。もとの単位円 $∣ z ∣ < 1$ より広く、外側の点まで届く。

一枚岩としての正則関数

一致の定理からわかるのは、正則関数が驚くほど「一枚岩」だということである。ごく小さな円板の上での値を知れば、接続の届くかぎりの全領域での値が、もう決まってしまう。断片から全体が復元される。この硬さこそが、解析接続という操作に意味と一意性を与えている。

その恩恵は複素解析の外にまで及ぶ。発散するはずの和 $1 + 2 + 3 + \dots$ に $- \frac{1}{12}$ という有限値を割り当てるゼータ正規化は、場の量子論のくりこみで実際に使われている。ゼータ関数を平面全体へ接続してはじめて意味をもつ零点の分布は、リーマン予想として、いまも数学最大の未解決問題であり続けている。狭い窓から覗いた関数の、その先に広がる本当の姿を見にいく。解析接続は、そのための最初の一歩である。

解析接続を豊富な具体例で解説します。等比級数と 1/(1-z)、べき級数の再展開、一致の定理、対数の枝とリーマン面、平方根のモノドロミー、ゼータ関数（ζ(-1)=-1/12）、ガンマ関数、自然境界まで、図と具体例で直観的に学べます。