解析接続の基本をわかりやすく解説（複素解析）｜一致の定理・リーマン面・モノドロミー

級数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}^n$ は、$|z|<1$ でしか収束しない。ところが、その和は $\frac{1}{1-z}$ であり、この関数は $z=1$ を除けば複素平面のどこでも定義できる。級数という「窓」からは半径 $1$ の円しか見えないのに、関数の正体はずっと広くまで生きている。この食い違いを埋め、狭い領域で定義された正則関数を、より広い領域の正則関数へと延ばす手続きが解析接続である。しかも後で見るように、その延ばし方はただ一通りに決まってしまう。ここに、複素解析のいちばん硬い骨格が現れる。

解析接続とは

まず言葉を定める。関数 $f(z)$ が領域 $D_1$ で正則であるとする。別の領域 $D_2$ で正則な関数 $g(z)$ が、空でない重なり $D_1\cap D_2$ の上で $f(z)=g(z)$ を満たすとき、$g$ を $f$ の $D_2$ への解析接続という。要するに、もとの関数と重なる部分で完全に一致する正則関数を、外側に見つける作業である。

ふつうの連続関数なら、重なりで一致していても外での延ばし方はいくらでもある。正則関数はそうではない。複素微分可能という条件が非常に強く、値をごく一部で知るだけで残り全体が縛られてしまう。この硬さのおかげで、解析接続は意味をもつ。次の節から、実際に関数を延ばす例を積み重ねていく。

いちばん基本の例：等比級数

解析接続の原型は等比級数である。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=1+z+z^2+z^3+\cdots$$

この級数は $|z|<1$ で収束し、和は $\frac{1}{1-z}$ になる。左辺は半径 $1$ の円の内側でしか定義されないが、右辺の $\frac{1}{1-z}$ は $z=1$ 以外のすべての複素数で正則である。両者は $|z|<1$ で一致するので、$\frac{1}{1-z}$ は級数の解析接続にほかならない。もとの関数を、たった一つの穴 $z=1$ を残して平面全体へ延ばしたことになる。

延ばした先では、級数そのものは意味を失っていることに注意したい。$z=2$ を代入すると、級数 $1+2+4+\cdots$ は発散する。それでも接続後の関数は $\frac{1}{1-2}=-1$ という値をきちんともつ。

有名な「あやしい等式」も、この見方で腑に落ちる。接続後の関数に $z=-1$ を入れると $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ である。級数の形に無理やり戻せば $1-1+1-1+\cdots$ で、これが $\frac{1}{2}$ に「等しい」と言われるのは、発散級数に解析接続の値を割り当てているからにほかならない。

一致の定理：なぜ一意に決まるか

解析接続がただ一通りに決まる根拠が、一致の定理である。

具体的に効く場面を挙げる。実数の上で定義された $\sin x$ を複素数へ延ばすとき、$\sin z$ は無数にありうるだろうか。ないのである。実軸という集積点だらけの集合の上で $\sin x$ と一致する正則関数は、一致の定理によってただ一つしかない。私たちの知る $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ が、その唯一の答えである。実関数のテイラー級数を、そのまま複素変数に読み替えてよいのも、この一意性のおかげだ。

べき級数を渡り歩く（再展開）

一致の定理は「延ばせるなら一意」と保証するが、実際にどう延ばすかは別の問題である。古典的な方法が、べき級数の再展開だ。ある点で展開した級数の収束円の内側で、別の点を中心に展開し直すと、新しい収束円がもとの円からはみ出すことがある。これを繰り返して定義域を広げていく。

さきほどの $\frac{1}{1-z}=\sum z^n$ で試そう。この級数は原点中心・半径 $1$ の円でしか収束しない。そこで中心を $z=-1$ に移し、展開し直す。

$$\frac{1}{1-z}=\frac{1}{2-(z+1)}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{z+1}{2}\right)}^n$$

この新しい級数は $|z+1|<2$ で収束する。中心 $z=-1$ から見て、いちばん近い特異点 $z=1$ までの距離が $2$ だからだ。もとの円 $|z|<1$ より広く、たとえば $z=-2$ のような、もとの級数では届かなかった点まで飲み込んでいる。

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<text x="112" y="42" fill="#3468d6">再展開 |z+1|&lt;2</text>
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図の 2 つの円は、どちらも境界が特異点 $z=1$ に触れている。特異点があるかぎり、そこを収束円の中に取り込むことはできない。それでも中心をずらせば、$z=1$ を避けながら別の方向へ円を張り出せる。この張り出しをつないでいけば、$z=1$ という一点だけを除いた平面全体へ $\frac{1}{1-z}$ が広がっていく様子が見えてくる。

対数関数と枝

ここまでは穴が 1 点だけの穏やかな例だった。関数によっては、延ばした先で値が一意でなくなる。代表が対数関数 $\log z$ である。正の実数の対数 $\log x$（$x>0$）から出発しよう。複素数を $z=r{e}^{i\theta }$（$r>0$）と極形式で書き、偏角を $-\pi <\theta <\pi$ に選べば、

$$\log z=\log r+i\theta$$

と定義できる。これは負の実軸と原点を除いた複素平面で正則で、対数の主値と呼ばれる。

しかし偏角を $-\pi <\theta <\pi$ に閉じ込める必然性はない。原点のまわりをぐるりと回れば、偏角は $2\pi$ だけ増える。範囲を広げると、値の異なる「枝」が次々に現れる。

$$\log z=\log r+i(\theta +2\pi k),k\in \mathbb{Z}$$

$k$ が 1 違えば値は $2\pi i$ だけずれる。実数の世界では一つに決まっていた対数が、複素数では無限に枝分かれする多価関数になるのだ。

リーマン面

多価のままでは扱いにくい。そこで発想を逆転し、関数を一価に保てるよう定義域のほうを作り変える。これがリーマン面である。$\log z$ なら、複素平面を無限に積み重ねた螺旋階段のような曲面を考える。原点を一周するたびに一つ上の階へ移り、値は $2\pi i$ ずつ増えていく。同じ「見かけの点」$z$ でも、どの階にいるかで対数の値が決まる。こうすれば $\log z$ は、この曲面の上では一価な正則関数として素直にふるまう。

平方根や一般のべき乗、逆三角関数など、多価になる関数はいずれも固有のリーマン面をもつ。多価関数の謎は平面が狭すぎたせいだった、というのがリーマン面の見立てである。

平方根とモノドロミー

多価関数を一周させたときの値の変化は、モノドロミーと呼ばれる。平方根 $\sqrt{z}$ で見るのがわかりやすい。$z=r{e}^{i\theta }$ に対して $\sqrt{z}=\sqrt{r}{e}^{i\theta /2}$ と定める。ここで原点を反時計回りに一周し、偏角を $\theta$ から $\theta +2\pi$ まで増やすと、

$$\sqrt{z}\mapsto \sqrt{r}{e}^{i(\theta +2\pi )/2}=\sqrt{r}{e}^{i\theta /2}{e}^{i\pi }=-\sqrt{z}$$

となり、符号が反転する。出発点に戻ってきたのに、値が変わってしまうのだ。もう一周すればさらに符号が変わり、$\sqrt{z}$ に戻る。このように、閉じた経路を一周したとき値が別の枝へ移る現象がモノドロミーである。単連結でない領域、つまり穴のあいた領域では、解析接続の結果が経路の取り方に依存しうる、ということをこれは端的に示している。

原点は、$\log z$ でも $\sqrt{z}$ でも、まわりを回ると値がずれる特別な点で、分岐点と呼ばれる。モノドロミーは、この分岐点を経路がどう囲むかで決まる。

ゼータ関数：最も有名な解析接続

解析接続がもっとも劇的に働く例が、リーマンのゼータ関数だろう。

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$$

この級数は実部 $\mathrm{Re}(s)>1$ でしか収束しない。ところがゼータ関数は、$s=1$ の一点を除く複素平面全体へ解析接続できる。その第一歩は、符号を交互にしたディリクレのイータ関数でたどれる。

$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\cdots$$

交代級数なので $\eta$ は $\mathrm{Re}(s)>0$ で収束し、しかも簡単な計算で $\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$ という関係が導ける。これを $\zeta$ について解けば、

$$\zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1-2^{1-s}}$$

となり、右辺は $\mathrm{Re}(s)>0$（$s\ne 1$）で意味をもつ。収束域を $\mathrm{Re}(s)>1$ から $\mathrm{Re}(s)>0$ へ、たしかに広げられた。さらに接続を平面全体へ進めると、もとの級数からは想像もつかない値が現れる。とりわけ有名なのが、次の等式だ。

$$\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$$

素朴に級数へ戻せば $1+2+3+\cdots$ だが、これが $-\frac{1}{12}$ に結びつくのは、発散級数そのものの和ではなく、解析接続されたゼータ関数が $s=-1$ でとる値だからである。物理でこの数がしばしば顔を出すのも、背後で暗にゼータ関数の接続が使われているためだ。

ガンマ関数：階乗の拡張

もう一つ、積分で定義された関数を延ばす例を見よう。ガンマ関数は次の積分で定義され、これは $\mathrm{Re}(s)>0$ で収束する。

$$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-t}dt$$

正の整数では $\Gamma (n)=(n-1)!$ となり、階乗を実数・複素数へ広げた関数として知られる。部分積分から、次の関係式が出る。

$$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$$

これを $\Gamma (s)=\frac{\Gamma (s+1)}{s}$ と読み替えるのが接続の鍵だ。右辺は $\mathrm{Re}(s)>-1$（$s\ne 0$）で意味をもつので、定義域が左へ 1 だけ広がる。同じ操作を繰り返せば $\mathrm{Re}(s)>-2$、$\mathrm{Re}(s)>-3$ と次々に伸び、結局は複素平面全体へ接続できる。ただし $s=0,-1,-2,\dots$ では分母が $0$ になり、そこでガンマ関数は極（発散）をもつ。階乗が負の整数で定義されなかったことの名残が、極として残るわけである。この接続のおかげで、$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$ のような、素朴な階乗の発想では出てこない値も意味をもつ。

広げられないこともある：自然境界

解析接続はいつでも成功するわけではない。行く手をふさぐのが特異点である。

自然境界の実例が ${\sum }_{n=0}^{\infty }{z}^{2^n}=z+z^2+z^4+z^8+\cdots$ である。この級数は $|z|<1$ で正則な関数を定めるが、単位円 $|z|=1$ 上のいたるところが特異点になり、円が丸ごと自然境界になってしまう。指数が $1,2,4,8,\dots$ と飛び飛びで、項がすかすかな級数ほど、こうした壁を作りやすい。すべての正則関数が平面全体へ延ばせるわけではない、という限界を、この例ははっきり示している。

理解の確認

一枚岩としての正則関数

一致の定理からわかるのは、正則関数が驚くほど「一枚岩」だということである。ごく小さな円板の上での値を知れば、接続の届くかぎりの全領域での値が、もう決まってしまう。断片から全体が復元される。この硬さこそが、解析接続という操作に意味と一意性を与えている。

その恩恵は複素解析の外にまで及ぶ。発散するはずの和 $1+2+3+\cdots$ に $-\frac{1}{12}$ という有限値を割り当てるゼータ正規化は、場の量子論のくりこみで実際に使われている。ゼータ関数を平面全体へ接続してはじめて意味をもつ零点の分布は、リーマン予想として、いまも数学最大の未解決問題であり続けている。狭い窓から覗いた関数の、その先に広がる本当の姿を見にいく。解析接続は、そのための最初の一歩である。