複素解析でよく使う公式〜定義から留数定理まで一枚に並べる

複素解析でくり返し出てくる式を、使う順に並べます。それぞれが何を言っているか、どこで効くかを添えました。

出発点は 1 つだけ。複素数の掛け算が、回転と拡大をまとめて表すという事実です。

$$r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

長さは掛け算、角度は足し算^[1]。以下の公式はどれも、この構造が別の形で顔を出したものだと見られます。

複素数の書き方

直交形式と極形式の 2 つを、場面で使い分けます。

$$z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$$

足し算と引き算は直交形式が楽で、掛け算と割り算とべき乗は極形式が楽。$r=|z|$ を絶対値、$\theta =\arg z$ を偏角と呼びます。

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2},\bar{z}=x-iy,z\bar{z}=|z{|}^2$$

偏角は $2\pi$ の差を無視した量です。$-\pi <\theta \le \pi$ に制限したものを主値と呼び、$\mathrm{Arg}z$ と書きます。

オイラーの公式

指数関数と三角関数を結ぶ式です。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

$\theta =\pi$ を入れると $e^{i\pi }+1=0$ になります。$\theta$ を $-\theta$ に替えて足し引きすれば、三角関数を指数で書く式が出る。

$$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2},\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$$

ド・モアブルの公式も、極形式のべき乗として読めます。

$$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

指数関数

実部が伸び縮み、虚部が回転を受け持ちます。

$$e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$

絶対値は $e^x$ で、偏角は $y$ です。虚軸方向に $2\pi i$ ずらしても値が変わらないので、複素の指数関数は周期 $2\pi i$ の周期関数になります。

$e^z$ は $0$ という値だけをとりません。それ以外の複素数はすべて、無限個の $z$ で実現されます。

三角関数と双曲線関数

オイラーの公式の右辺を $z$ に広げたものが定義です。

$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

双曲線関数は $i$ を外した形。

$$\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},\cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2}$$

2 つの族は虚数倍でつながります。三角関数と双曲線関数が別物に見えるのは、実数の範囲だけを見ているため。

$$\sin (iz)=i\sinh z,\cos (iz)=\cosh z$$

実軸上で $|\sin x|\le 1$ ですが、虚軸方向では $\sinh$ の速さで伸びます。複素平面では有界になりません。

$\tan z=\sin z/\cos z$ などの商も同じ形で定義します。$\cos z=0$ となる点、つまり $z=\pi /2+n\pi$ が $\tan z$ の極。

対数と偏角

指数関数が周期を持つので、逆関数は一意に決まりません。

$$\log z=\ln |z|+i\arg z$$

$\arg z$ が $2\pi$ の不定性を持つぶん、$\log z$ も $2\pi i$ ずつ違う値を無限に持ちます。主値は $\mathrm{Log}z=\ln |z|+i\mathrm{Arg}z$。

原点は分岐点で、まわりを 1 周すると値が $2\pi i$ ずれます。孤立特異点ではないので、ローラン展開は作れません。

べき関数も対数を通して定義します。

$$z^w=e^{w\log z}$$

$w$ が整数でなければ多価になる。$i^i=e^{i\log i}$ は主値をとると $e^{-\pi /2}$ で、実数になります。

微分とコーシー・リーマンの方程式

定義は実関数と同じ形ですが、$h$ が複素数としてあらゆる向きから $0$ に近づく点が違います。

$$f^{\prime }(z)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$

$f=u+iv$ と分けると、微分可能であることが 2 本の偏微分方程式に翻訳されます。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

$u$ と $v$ が実の意味で微分可能で、この 2 本を満たすことが、複素微分可能であることと同値。1 本にまとめると $\partial f/\partial \bar{z}=0$ になります^[2]。

極座標では次の形。

$$\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }$$

導関数は $f^{\prime }=u_x+i{v}_x$ で計算できます。$\bar{z}$ や $|z{|}^2$ は方程式を満たさず、正則になりません。

正則関数の実部と虚部は調和

コーシー・リーマンの方程式をもう一度微分すると、$u$ と $v$ がラプラス方程式を満たすことが出ます。

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$

$u$ と $v$ は共役調和関数と呼ばれます。$u$ が与えられれば、$v$ は積分定数を除いて決まる。

等高線どうしが直交するので、静電場や定常流の記述に使われます。

線積分と長さによる評価

曲線 $C$ を $z(t)$ とパラメータ表示して定義します。

$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_a^{b}f(z(t))z^{\prime }(t)dt$$

評価には、経路上の上界 $M$ と経路の長さ $L$ を使う形が便利です。

$$\left|{\int }_{C}f(z)dz\right|\le ML$$

円弧の寄与が消えることを示す場面で、この不等式が何度も出てきます。

コーシーの積分定理

単連結な領域で正則なら、その中のどの閉曲線にそう積分も $0$ です。

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

穴があると崩れます。${\oint }_{|z|=1}dz/z=2\pi i$ が、その最小の例^[3,4]。

閉曲線を、正則な範囲の中で連続に動かしても値は変わりません。だから積分路は都合のよい形へ替えられます。

コーシーの積分公式

内部の値が、円周上の積分で書けます。

$$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz$$

$a$ が $C$ の外にあれば値は $0$^[5]。内か外かで答えが分かれます。

導関数についても同じ形が通ります。グルサーの公式と呼ばれることがある式です。

$$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$$

長さによる評価を当てると、導関数の上界が出ます。

$$|f^{(n)}(a)|\le \frac{n!M}{R^n}$$

円周でパラメータ表示すれば、平均値の性質になります。

$$f(a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(a+r{e}^{i\theta })d\theta$$

テイラー展開とローラン展開

正則な点のまわりでは、ふつうのべき級数に開けます。

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n,c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$$

収束半径は、いちばん近い特異点までの距離。実軸だけを見ても決まりません。

特異点のまわりでは、負の次数まで許した展開を使います。

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n,c_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$$

有効なのは円環領域の中だけ。同じ中心でも、どの円環をとるかで係数が変わります^[6]。

特異点の分類

負の次数の項をどれだけ持つかで、3 つに分かれます。

極なら $|f|\to \infty$ が向きによらず成り立ちます。真性特異点では、近づく向きで結果が変わる。

留数

$(z-a{)}^{-1}$ の係数 $c_{-1}$ が留数です。$1$ 位の極なら極限で出ます。

$$\mathrm{Res}(f,a)=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)$$

$f=g/h$ で $h(a)=0$、$h^{\prime }(a)\ne 0$ なら、分母を微分するだけ。

$$\mathrm{Res}(f,a)=\frac{g(a)}{h^{\prime }(a)}$$

$n$ 位の極では、掛けてから微分します。

$$\mathrm{Res}(f,a)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\left[(z-a{)}^{n}f(z)\right]$$

真性特異点では公式が使えません。展開して係数を読むことになります。

留数定理

内部の特異点の留数を足すだけで、周積分が決まります。

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k}n(C,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k)$$

$n(C,a_k)$ は回転数。単純閉曲線を反時計回りにたどるなら $1$ です^[7,8]。

零点と極を数える

対数微分を積分すると、零点と極の個数の差が出ます。

$$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=Z-P$$

偏角の原理と呼ばれ、$Z$ と $P$ は重複を込めた個数です。像が原点を何周するかを数えている式でもある^[9]。

ルーシェの定理は、これを比較の形に直したものです。$C$ 上で $|g|<|f|$ なら、$f$ と $f+g$ の零点の個数が一致します。

大きな結論

積分公式の評価から、いくつかの定理がまとめて出ます。

どれも出発点はコーシーの積分公式です。境界の情報が内部を決めるという 1 つの事実が、形を変えて現れています^[10]。

よく使う積分の値

留数計算の答え合わせに使える値を並べます。

$${\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i,{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\pi$$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\pi ,{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^2}{1+x^4}dx=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$$

三角関数の積分は、単位円への置き換えで有理関数に変わります。$a>|b|$ のとき次の形。

$${\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a+b\cos \theta }=\frac{2\pi }{\sqrt{a^2-b^2}}$$

よくある誤り

式の形を覚えるより、どの条件がどこで効くかを押さえるほうが長く使えます。単連結かどうか、内か外か、正則か、そのつど確かめる癖をつけると誤りが減る。

参考文献