複素関数（複素解析）の定義と公式まとめ

複素数のべき級数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{z}^n$$

オイラーの公式

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

指数関数の定義

$z=x+iy$ とする。

$$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$$

三角関数の定義

$$\begin{gathered} \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz}) \\ \cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) \\ \tan z=\frac{\sin z}{\cos z} \\ \cot z=\frac{\cos z}{\sin z} \\ \sec z=\frac{1}{\cos z} \\ \csc z=\frac{1}{\sin z} \end{gathered}$$

双曲線関数の定義

$$\begin{gathered} \sinh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}) \\ \cosh z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}) \\ \tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z} \\ \coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z} \end{gathered}$$

複素関数の微分の定義

$$f^{\prime }(z)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$$

コーシー・リーマンの関係式

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}$$

ただし

$$f(z)=u(x,y)+v(x,y)$$

とする。

コーシーの積分定理

単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ の $D$ 内部の閉曲線 $C$ 上の積分は $0$ になる。すなわち

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

である。

コーシーの積分公式

単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ は

$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$$

と表せる。

グルサーの公式

単連結領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ の $n$ 次導関数は

$$f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\xi )}{(\xi -z{)}^{(n+1)}}d\xi$$

と表せる。

留数

$f(z)$ が $z=z_0$ において $n$ 位の極を持つとき

$$\mathrm{Res}f(z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\{(z-z_0{)}^{n}f(z)\}$$

となる。

留数定理

領域 $D$ 上正則関数 $f(z)$ が閉曲線 $C$ の内部に特異点 $z_1,z_2,\cdots ,z_n$ を持つとき

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}f(z_k)$$

となる。

代数学の基本定理

$f(z)\in \mathbb{C}[z]$ について $f(z)=0$ の解が存在する。

リュービル（Liouville）の定理

領域 $|z|<\infty$ 上正則関数 $f(z)$ がある定数 $M$ について $|f(z)|<M$ であるとき $f(z)$ は定数関数である。すなわち

$$f(z)=k$$

となる複素数 $k$ が存在する。