コーシー・リーマンの方程式

コーシー・リーマンの方程式は次の 2 つの式からなります。

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

これらが成り立つとき、$f$ は正則関数となり、複素微分が存在する。

正則性との関係

複素関数 $f(z)$ が点 $z_0$ で複素微分可能であるとは、極限

$$f^{\prime }(z_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$

が存在すること。ここで $h$ は複素数であり、任意の方向から $0$ に近づける。

実軸方向（$h=\Delta x$）から近づけると $f^{\prime }(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}$ となり、虚軸方向（$h=i\Delta y$）から近づけると $f^{\prime }(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}$ となります。これらが一致する条件がコーシー・リーマンの方程式。

具体例

$f(z)=z^2=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$ を考える。$u=x^2-y^2$、$v=2xy$ として偏微分を計算すると、$\frac{\partial u}{\partial x}=2x$、$\frac{\partial v}{\partial y}=2x$、$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y$、$\frac{\partial v}{\partial x}=2y$ となり、コーシー・リーマンの方程式が満たされます。

一方、$f(z)=\bar{z}=x-iy$ では $u=x$、$v=-y$ なので、$\frac{\partial u}{\partial x}=1$ だが $\frac{\partial v}{\partial y}=-1$ となり、方程式を満たしません。したがって $\bar{z}$ は正則ではない。

極座標表示

$z=r{e}^{i\theta }$ として $f(z)=U(r,\theta )+iV(r,\theta )$ と書くと、コーシー・リーマンの方程式は次の形になります。

$$\frac{\partial U}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta },\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }$$

この形式は、原点を中心とした円環領域での解析や、対数関数・べき乗関数を扱うときに便利。

調和関数との関係

コーシー・リーマンの方程式から、$u$ と $v$ がそれぞれラプラス方程式を満たすことが導かれます。

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0,\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$$

つまり、正則関数の実部と虚部はともに調和関数。$v$ は $u$ の調和共役と呼ばれ、$u$ から（定数の不定性を除いて）一意に定まります。