コーシー・リーマンの方程式とは？正則関数の条件、調和共役、等角写像について解説

複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ を、実 2 変数関数の組と見ることはいつでもできます。$u$ と $v$ は本来、互いに無関係に選べるはずのものです。

ところが $f$ に複素微分可能性を課すと、この自由は消えます。$u$ と $v$ は縛り合い、片方を決めればもう片方がほとんど決まってしまう。

その縛りを書き下したものが、コーシー・リーマンの方程式です。

コーシー・リーマンの方程式

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

2 本の偏微分方程式です。$u$ の $x$ 方向の変化率が $v$ の $y$ 方向の変化率に等しく、$y$ 方向のほうは符号を変えて入れ替わります。

以下では偏微分を $u_x$、$u_y$ のように略記し、この 2 式を CR 方程式と呼びます。

複素微分の定義

$f$ が点 $z_0$ で複素微分可能であるとは、次の極限が存在することをいいます。

$$f^{\prime }(z_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$

式の見た目は実関数の微分と変わりません。決定的に違うのは $h$ が複素数だという点で、$0$ への近づき方が平面上の無数の方向に広がります。

どの方向から近づいても同じ極限になれ、という要求。ここに CR 方程式の出どころがあります。

実 1 変数の微分との違い

方向の自由度が増えた分、条件は桁違いに強くなります。実 2 変数として全微分可能であることよりも、はるかに厳しい要求です。

2 方向から極限を取る

CR 方程式は、無数の方向のうち 2 つを比べるだけで出てきます。

虚軸方向では実部と虚部が入れ替わり、符号がひっくり返ります。ここが要点です。

2 つの表示が等しいとして、実部どうし・虚部どうしを比べます。$u_x=v_y$ と $v_x=-u_y$、すなわち CR 方程式が得られます。

導関数の表示も 2 通り手に入ります。$f^{\prime }=u_x+i{v}_x$ と $f^{\prime }=v_y-i{u}_y$ は、CR のもとで同じものです。

例：$f(z)=z^2$

展開します。

$$z^2=(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2ixy$$

$u=x^2-y^2$、$v=2xy$ です。偏微分は $u_x=2x$、$u_y=-2y$、$v_x=2y$、$v_y=2x$。

$u_x=v_y=2x$ が第 1 式、$u_y=-2y=-v_x$ が第 2 式。全平面で CR が成り立ちます。

導関数は $f^{\prime }=u_x+i{v}_x=2x+2iy=2z$。実数のときと同じ公式が出ました。

例：$f(z)=z^3$

もう一段上げます。

$$z^3=x^3-3x{y}^2+i(3x^{2}y-y^3)$$

$u=x^3-3x{y}^2$、$v=3x^{2}y-y^3$ です。

$u_x=3x^2-3y^2$、$v_y=3x^2-3y^2$ で第 1 式は成立。$u_y=-6xy$、$v_x=6xy$ なので $u_y=-v_x$ も成り立ちます。

導関数は $f^{\prime }=(3x^2-3y^2)+i6xy=3(x+iy{)}^2=3z^2$。$z^n$ の微分が $n{z}^{n-1}$ になる様子が、偏微分の計算からも見えます。

例：$f(z)=e^z$

オイラーの公式から $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$ と書けます。$u=e^x\cos y$、$v=e^x\sin y$ です。

$u_x=e^x\cos y$、$v_y=e^x\cos y$ で第 1 式は成立。$u_y=-e^x\sin y$、$v_x=e^x\sin y$ なので第 2 式も成り立ちます。

導関数は $f^{\prime }=e^x\cos y+i{e}^x\sin y=e^z$。自分自身に戻る性質が、複素数の世界にそのまま持ち上がりました。

例：$f(z)=\sin z$

三角関数は $\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$ と分解されます。$u=\sin x\cosh y$、$v=\cos x\sinh y$。

$u_x=\cos x\cosh y$、$v_y=\cos x\cosh y$ で第 1 式は成立します。

$u_y=\sin x\sinh y$、$v_x=-\sin x\sinh y$ なので $u_y=-v_x$。全平面で CR を満たし、$f^{\prime }=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y=\cos z$ となります。

例：$f(z)=1/z$

$z\ne 0$ で分母を実数化します。

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$$

$u=\frac{x}{x^2+y^2}$、$v=-\frac{y}{x^2+y^2}$ です。商の微分法で計算します。

$$u_x=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2},v_y=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2}$$

第 1 式は成立。さらに $u_y=\frac{-2xy}{(x^2+y^2{)}^2}$、$v_x=\frac{2xy}{(x^2+y^2{)}^2}$ なので $u_y=-v_x$ も成り立ちます。

原点を除いた全域で正則で、$f^{\prime }=-1/z^2$。$z=0$ だけが極として残ります。

冪級数はまとめて正則

多項式が正則であることは、$z^2$ や $z^3$ の計算を足し合わせれば済みます。収束冪級数 $\sum a_n(z-z_0{)}^n$ も、収束円の内側で項別に微分でき、CR を満たします。

$e^z$ や $\sin z$ の正則性も、本当は級数から一息に従います。偏微分を 4 つ計算する作業は、CR の手触りを確かめるための練習だと思ってください。

例：$f(z)=\bar{z}$

ここから、CR が破れる例に移ります。$\bar{z}=x-iy$ なので $u=x$、$v=-y$。

$u_x=1$ に対して $v_y=-1$ です。第 1 式 $u_x=v_y$ が、どの点でも成り立ちません。

$\bar{z}$ は複素平面上のどこでも微分できません。実 2 変数の写像としては 1 次式でこれ以上なく滑らかなのに、複素微分の目から見ると失格になります。

例：$f(z)=\mathrm{Re}z$

実部を取り出すだけの関数です。$u=x$、$v=0$。

$u_x=1$、$v_y=0$ なので第 1 式が破れます。$u_y=0$、$v_x=0$ で第 2 式のほうは成り立ちますが、片方が破れれば失格です。

$\mathrm{Re}z$ もどこでも複素微分できません。$\bar{z}=2\mathrm{Re}z-z$ と書けることを思えば、この 2 つが同じ理由で落ちるのは自然でしょう。

例：$f(z)=|z{|}^2$

$|z{|}^2=x^2+y^2$ は実数値なので、$u=x^2+y^2$、$v=0$ です。

第 1 式は $u_x=2x$、$v_y=0$ より $2x=0$、つまり $x=0$ でのみ成立。第 2 式は $u_y=2y$、$v_x=0$ より $2y=0$、つまり $y=0$ でのみ成立します。

両方が同時に成り立つのは原点だけです。$|z{|}^2$ は $z=0$ で複素微分可能で、$f^{\prime }(0)=0$ となります。

しかし正則とは「ある開集合の全体で微分可能」という意味です。原点のどんな近傍を取っても、そこには微分できない点が詰まっています。$|z{|}^2$ は、どこにおいても正則ではありません。

例：$f(z)=z\mathrm{Re}z$

$f=x(x+iy)=x^2+ixy$ なので、$u=x^2$、$v=xy$ です。

第 1 式は $u_x=2x$、$v_y=x$ より $2x=x$、すなわち $x=0$。第 2 式は $u_y=0$、$v_x=y$ より $0=-y$、すなわち $y=0$。

やはり原点だけで微分可能です。微分可能な点が孤立していると、その点でさえ正則とは呼べません。

例：$f(z)=x^2+i{y}^2$

微分可能な点が曲線をなす例も作れます。$u=x^2$、$v=y^2$ と置きましょう。

第 1 式は $u_x=2x$、$v_y=2y$ より $x=y$。第 2 式は $u_y=0$、$v_x=0$ よりどこでも成立します。

CR が成り立つのは直線 $x=y$ の上だけ。この直線の各点で複素微分可能ですが、直線には内点がないので、正則な点は 1 つもありません。

微分可能な点の集合は、1 点にも直線にもなりえます。正則性が「開集合で」という条件を含むことの意味が、ここに出ています。

CR だけでは足りない

CR 方程式は複素微分可能であるための必要条件です。逆は成り立ちません。

$z\ne 0$ で $f(z)=\frac{{\bar{z}}^2}{z}$、$f(0)=0$ と定めた関数が反例になります。$|f(z)|=|z|$ なので、原点で連続であることは確かめられます。

実軸上では $f(x)=x^2/x=x$ なので、$u(x,0)=x$、$v(x,0)=0$。虚軸上では $f(iy)=\frac{(-iy{)}^2}{iy}=iy$ なので、$u(0,y)=0$、$v(0,y)=y$。

原点での偏微分は $u_x=1$、$v_y=1$、$u_y=0$、$v_x=0$。CR 方程式は成立しています。

ところが $h=t{e}^{i\theta }$ として差分商を作ると、

$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{{\bar{h}}^2}{h^2}=e^{-4i\theta }$$

となります。近づく方向 $\theta$ ごとに値が変わり、極限は存在しません。CR を満たすのに複素微分可能ではないのです。

十分条件

穴を埋めるには、偏微分の存在より強い仮定が要ります。

さきほどの反例は、原点で 4 つの偏微分が存在するのに全微分可能ではない、という実解析の落とし穴に落ちていました。偏微分の存在は、関数が原点付近で 1 次式に近いことを保証しません。

極座標形式

$z=r{e}^{i\theta }$ と置き、$f=U(r,\theta )+iV(r,\theta )$ と書くと、CR 方程式は次の形になります。

$$\frac{\partial U}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta },\frac{\partial V}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }$$

導出は連鎖律です。$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ から $U_r$ と $U_{\theta }$ を $u_x$、$u_y$ で表し、直交座標の CR を代入すれば整理できます。

導関数は $f^{\prime }=e^{-i\theta }(U_r+i{V}_r)$ と書けます。原点まわりの関数を扱うときに便利な形です。

極座標の例：$f(z)=\log z$

主値を取り、$\log z=\log r+i\theta$（$-\pi <\theta <\pi$）とします。$U=\log r$、$V=\theta$ です。

$U_r=\frac{1}{r}$ に対し $\frac{1}{r}{V}_{\theta }=\frac{1}{r}$ で第 1 式が成立。$V_r=0$、$U_{\theta }=0$ なので第 2 式も成り立ちます。

導関数は $f^{\prime }=e^{-i\theta }\left(\frac{1}{r}+0\right)=\frac{1}{r{e}^{i\theta }}=\frac{1}{z}$。おなじみの公式が極座標から出ました。

極座標の例：$f(z)=z^n$

$z^n=r^n{e}^{in\theta }$ なので、$U=r^n\cos n\theta$、$V=r^n\sin n\theta$ です。

$U_r=n{r}^{n-1}\cos n\theta$、$\frac{1}{r}{V}_{\theta }=\frac{1}{r}\cdot n{r}^n\cos n\theta =n{r}^{n-1}\cos n\theta$。第 1 式は成立します。

$V_r=n{r}^{n-1}\sin n\theta$、$-\frac{1}{r}{U}_{\theta }=-\frac{1}{r}\cdot \left(-n{r}^n\sin n\theta \right)=n{r}^{n-1}\sin n\theta$。第 2 式も成立。

$n$ が負の整数でも同じ計算が通り、$z\ne 0$ で正則です。$n=-1$ とすれば $1/z$ の結果が再現されます。

ウィルティンガー微分

CR 方程式は、1 本の式に畳めます。次の 2 つの記号を導入しましょう。

$$\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}\right),\frac{\partial }{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}\right)$$

$f=u+iv$ に $\partial /\partial \bar{z}$ を当てて実部と虚部に整理すると、次のようになります。

$$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}((u_x-v_y)+i(u_y+v_x))$$

これが $0$ になる条件は $u_x=v_y$ かつ $u_y=-v_x$、すなわち CR 方程式そのものです。

$z$ と $\bar{z}$ を独立な変数のように扱ってよい、というのがこの記法の効きどころです。

ウィルティンガーで判定する

計算例で試します。$f=z\bar{z}=|z{|}^2$ を $\bar{z}$ で微分すると $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=z$。

これが $0$ になるのは $z=0$ のみ。偏微分を 4 つ計算して得た「原点でのみ微分可能」という結論が、一行で再現されました。

$f={\bar{z}}^2$ なら $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=2\bar{z}$ で、原点以外では消えません。

$f=z^2+3\bar{z}$ なら $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=3$ となり、どこでも $0$ になりません。$\bar{z}$ の項が 1 つ混じるだけで正則性は壊れます。

$\bar{z}$ が式に顔を出したら正則ではない、という判定法です。逆に $f=z^2+3z$ のように $z$ だけで書けていれば、偏微分を計算するまでもなく正則だと分かります。

調和関数

CR 方程式を、もう一度微分します。$u_x=v_y$ を $x$ で、$u_y=-v_x$ を $y$ で偏微分すると、

$$u_{xx}=v_{yx},u_{yy}=-v_{xy}$$

が得られます。偏微分の順序が交換できる（$v_{xy}=v_{yx}$）ので、辺々を足すと右辺が消えます。

$$u_{xx}+u_{yy}=0$$

同じ手順で $v_{xx}+v_{yy}=0$ も出ます。正則関数の実部と虚部は、ともにラプラス方程式を満たす調和関数です。

調和かどうかを判定する

例で確かめましょう。$u=x^2-y^2$ は $u_{xx}=2$、$u_{yy}=-2$ で、和は $0$。調和です。

$u=e^x\cos y$ も $u_{xx}=e^x\cos y$、$u_{yy}=-e^x\cos y$ で和は $0$。こちらも調和になります。

一方 $u=x^2+y^2$ は $u_{xx}+u_{yy}=2+2=4\ne 0$。調和ではありません。

したがって、どんな $v$ を選んでも $u+iv$ が正則になることはない。$|z{|}^2$ が正則でなかった事実の、別の言い方です。

調和共役を構成する

$u$ が調和なら、相方の $v$ を作って正則関数に仕立てられます。手順は CR 方程式を積分するだけです。

こうして得た $v$ を、$u$ の調和共役と呼びます。残る自由度は定数 1 つだけです。

構成例：$u=x^3-3x{y}^2$

まず調和性を確認します。$u_{xx}=6x$、$u_{yy}=-6x$ で和は $0$。

$v_y=u_x=3x^2-3y^2$ を $y$ で積分して、$v=3x^{2}y-y^3+g(x)$ を得ます。

次に $v_x=6xy+g^{\prime }(x)$ と $-u_y=6xy$ を比べると、$g^{\prime }(x)=0$。したがって $g$ は定数です。

$v=3x^{2}y-y^3+C$ となり、$f=u+iv=z^3+iC$。$z^3$ の節で計算した $u$、$v$ の組にぴたりと一致します。

構成例：$u=e^x\cos y$

$u_{xx}+u_{yy}=0$ は確認済みです。$v_y=u_x=e^x\cos y$ を $y$ で積分すると、$v=e^x\sin y+g(x)$。

$v_x=e^x\sin y+g^{\prime }(x)$ と $-u_y=e^x\sin y$ を比べて $g^{\prime }(x)=0$。

よって $v=e^x\sin y+C$、$f=e^z+iC$ です。指数関数が復元されました。

共役が取れない例

$u=\log |z|=\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)$ は、原点を除いた平面で調和です。極座標では $U=\log r$ で、ラプラシアンは

$$\Delta U=U_{rr}+\frac{1}{r}{U}_r+\frac{1}{r^2}{U}_{\theta \theta }=-\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2}=0$$

となります。極座標形の CR から共役は $V_{\theta }=r{U}_r=1$、すなわち $V=\theta$。

ところが $\theta$ は原点を一周するたびに $2\pi$ 増え、一価な関数になりません。穴のあいた領域では、調和関数に一価の共役が取れるとは限らないのです。

$\log z$ が多価関数になる理由が、ここに現れています。領域が単連結なら、調和関数には必ず一価の共役が存在します。

等角性：ヤコビ行列で見る

$f$ を実 2 変数の写像 $(x,y)\mapsto (u,v)$ と見たときのヤコビ行列を書きます。

$$J=\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)$$

ここに CR 方程式 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ を代入します。$a=u_x$、$b=v_x$ と置くと、

$$J=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$$

という形になります。回転行列の定数倍、つまり回転と拡大の合成です。

一般の実写像は図形を方向ごとに違う割合で引き伸ばし、角度を壊します。正則写像は局所的に相似変換しかしないので、交わる 2 曲線のなす角が保たれる。$f^{\prime }(z)\ne 0$ の点で等角写像と呼ばれる理由です。

直交する等高線

角度が保たれることの帰結として、$u$ の等高線と $v$ の等高線は直交します。勾配の内積を CR で書き換えれば明らかです。

$$\nabla u\cdot \nabla v=u_x{v}_x+u_y{v}_y=v_y{v}_x+(-v_x)v_y=0$$

$f=z^2$ で見てみましょう。$u=x^2-y^2$ の等高線も $v=2xy$ の等高線も直角双曲線で、互いに $45$ 度ずれた形をしています。

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<svg viewBox="0 0 360 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="z の 2 乗の実部と虚部の等高線が直交する図">
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<text x="12" y="22" fill="#3468d6">u = x² − y² の等高線</text>
<text x="12" y="42" fill="#b5651d">v = 2xy の等高線</text>
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図の 2 つの曲線族は、交わるところで必ず直角をなしています。原点だけが例外で、そこでは $f^{\prime }(0)=0$ となり、角度は保たれません。

流れとして読む

正則関数を複素ポテンシャルと呼ぶ流儀があります。$u$ を速度ポテンシャル、$v$ を流れ関数と読む見方です。

$u$ の等高線が等ポテンシャル線、$v$ の等高線が流線になります。両者が直交するという事実は、流れが等ポテンシャル線に垂直に進むという物理そのものです。

$f=z$ なら一様な流れ、$f=\log z$ なら原点からの湧き出し、$f=1/z$ なら双極子。$f=z^2$ の流線は直角双曲線で、直角の壁に沿う流れを表します。

ラプラス方程式は非圧縮・渦なしの条件にほかなりません。CR 方程式が物理でくり返し顔を出すのは、このためです。

理解の確認

$\bar{z}$ を書かないという約束

CR 方程式は 2 本の偏微分方程式に見えます。ウィルティンガー微分を通せば、正体は $\partial f/\partial \bar{z}=0$ という 1 行、すなわち「$f$ は $\bar{z}$ に依らない」という一言でした。

この一言から、驚くほど多くのものが芋づる式に出てきます。実部と虚部が調和であること、写像が等角であること、何度でも微分できること、冪級数に展開できること、閉曲線に沿う積分が消えること。

実 2 変数の言葉では、4 つの偏微分のあいだの関係式にすぎません。複素数の言葉に翻訳した途端、それはほとんど自明な要請に変わります。複素解析の異様な硬さは、この翻訳の落差から生まれています。