点をどこまで足せば閉じるのか？閉包とクラトフスキーの 4 公理

$A$ に、$A$ すれすれの点を全部足す。足し終わった集合が閉包 $\overline{A}$ です。

言い方は 3 通りあります。$A$ を含む最小の閉集合、$A$ の触点全体、$A$ とその集積点の和^[2]。どれも同じ集合を指す。

閉包の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の部分集合 $A$ に対し、$A$ を含む閉集合すべての共通部分を $\overline{A}$ と書きます。

$$\overline{A}=\bigcap \{F:A\subseteq F,F\text{ closed}\}$$

閉集合は無限個の共通部分について閉じているので、$\overline{A}$ も閉集合。定義から、これが $A$ を含む最小の閉集合になります^[2]。

$A$ 自身が閉集合なら $\overline{A}=A$。閉じているかどうかは、閉包で何も足されないかどうかで判定できる。

触点で言いかえる

点 $x\in X$ が $A$ の触点であるとは、$x$ のどの近傍 $U$ も $A$ と交わることをいいます^[2]。

$$x\in \overline{A}⟺\forall U\ni x\text{open},U\cap A\ne \varnothing$$

証明は対偶で書くと短い。$x$ の近傍 $U$ で $A$ と交わらないものがあれば、$X\setminus U$ は $A$ を含む閉集合で $x$ を含まないので $x\notin \overline{A}$。

逆に $x\notin \overline{A}$ なら $X\setminus \overline{A}$ が $x$ の近傍で、$A$ と交わりません^[2]。

境界の上に乗っている点は、$A$ に属さなくても触点になります。閉包が $A$ より大きくなるのは、この種の点を拾うためです。

集積点との関係

$x$ のどの近傍も、$x$ 自身を除いて $A$ の点を含むとき、$x$ を $A$ の集積点と呼びます。集積点全体を $A^{\prime }$ と書く^[2]。

$$\overline{A}=A\cup A^{\prime }$$

触点は $A$ の点か集積点のどちらかです。$A$ の点で集積点でないものは孤立点と呼ばれます。

$A=\{1\}\cup (2,3)$ なら、$1$ は孤立点、$2$ と $3$ は $A$ に属さない集積点。閉包は $\{1\}\cup [2,3]$ になります。

数直線で 4 つ確かめる

下の図は代表的な 4 つの集合について、もとの $A$ と閉包 $\overline{A}$ を並べます。足された点だけが橙色。

整数全体は閉集合なので、閉包をとっても変わりません。閉じている集合は、すでに触点を全部抱えています。

足される点の個数は、$0$ 個から連続体の濃度まで幅があります。もとの集合の散らばり方がそのまま出る。

例：有理数の閉包は実数全体

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$ をとります。どの実数 $x$ にも、その近傍に有理数が入る。

$x$ の近傍は $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ を含み、この区間には必ず有理数があります。よってすべての実数が触点で、$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$。

$\overline{A}=X$ となる $A$ を稠密な集合と呼びます。$\mathbb{Q}$ が $\mathbb{R}$ で稠密だという言い方は、この閉包の等式そのもの。

例：$\{1/n\}$ が拾う 1 点

$A=\left\{\frac{1}{n}:n=1,2,3,\dots \right\}$ の閉包は $A\cup \{0\}$ です^[2]。

$0$ のどんな近傍も、$n$ を大きくとれば $1/n$ を含みます。だから $0$ は触点。

一方 $A$ の各点は孤立点です。$1/n$ のまわりを十分小さくとれば、その点だけが残る。足される点はちょうど $0$ の 1 つだけになります。

クラトフスキーの 4 公理

閉包の操作そのものを出発点にして、位相を定義できます。1922 年のクラトフスキーは、次の 4 条件を公理に置きました^[1]。

原論文では、この 4 つに I から IV の番号が振られ、以降のすべての議論がここから導かれます^[1]。

集合 $X$ とこの 4 条件を満たす作用素が与えられたら、$\overline{F}=F$ となる $F$ を閉集合と呼び、その補集合を開集合とすればよい。開集合の 3 条件がちゃんと出てきます^[3]。

どちらを土台にしても、行き着く先は同じ。位相空間という概念に入口が複数あるということです。

単調性は公理から出る

$A\subseteq B$ ならば $\overline{A}\subseteq \overline{B}$。この性質は公理に書かれていませんが、1 番目から導けます^[1]。

$A\subseteq B$ は $B=A\cup B$ と同じ意味なので、公理から $\overline{B}=\overline{A}\cup \overline{B}$。よって $\overline{A}\subseteq \overline{B}$ が出ます。

和については等号が成り立つのに、共通部分では成り立ちません。一般には包含だけ。

$$\overline{A\cap B}\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}$$

例：共通部分で等号が崩れる

$A=(0,1)$、$B=(1,2)$ をとります。$A\cap B=\varnothing$ なので左辺は $\varnothing$。

右辺は $[0,1]\cap [1,2]=\{1\}$。左辺と右辺が食い違います。

閉包をとってから交わらせるほうが大きくなる。順番を入れかえられない操作です。

内部と境界を閉包で書く

$A$ に含まれる開集合すべての和を $A$ の内部といい、$A^{\circ }$ と書きます^[2]。

内部と閉包は補集合で入れかわります。

$$\overline{A}=X\setminus (X\setminus A{)}^{\circ }$$

境界は $\partial A=\overline{A}\setminus A^{\circ }$。閉包から内部を抜いた残りが境界という関係です。

$A=(0,1)$ なら $\overline{A}=[0,1]$、$A^{\circ }=(0,1)$、$\partial A=\{0,1\}$ になります。

閉包と補集合を繰り返す

閉包と補集合を交互に当てていくと、いくつ違う集合が作れるか。クラトフスキーはこの問いに答えを出しています^[1]。

どんな集合から始めても、作れる集合は多くて 14 個。$\overline{A}$ と補集合の 2 種類しか使えないのに、途中で新しい集合が出ては止まります。

止まる理由は、補集合を挟んで閉包を 2 回当てた形が、1 回当てた形と一致するため。原論文の第 6 定理がそれです^[1]。

実数直線の中には、ちょうど 14 個そろう集合が実際にあります。閉包と補集合という 2 つの操作しか使えないのに、途中の形がそこまで枝分かれする。

補足

閉包は位相にしか依存しません。同じ位相を与える 2 つの距離は、どの集合に対しても同じ閉包を返します。

いっぽう $\mathbb{Q}$ を土台にすると話が変わる。$\mathbb{Q}$ の中で $\{x:x^2<2\}$ の閉包をとっても $\sqrt{2}$ は現れません。

閉包は $X$ の中で足りない点を拾う操作であって、$X$ の外から点を持ってくる操作ではない。完備化や実数の構成が別の話として要るのは、そのためです。

参考文献