位相空間の閉包

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において、部分集合 $A\subseteq X$ の閉包（closure）とは、$A$ を含む最小の閉集合のことである。記号では $\overline{A}$ や $\mathrm{cl}(A)$ と書く。

同値な定義がいくつかある。

ここで、点 $x\in X$ が $A$ の触点であるとは、$x$ の任意の開近傍 $U$ に対して $U\cap A\ne \varnothing$ が成り立つことをいう。

具体例

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れたとき、開区間 $(0,1)$ の閉包は閉区間 $[0,1]$ である。端点 $0$ と $1$ はどちらも触点だからだ。$0$ の任意の開近傍は $(0,1)$ と交わりをもつ。

有理数全体 $\mathbb{Q}$ の閉包は $\mathbb{R}$ 全体である。任意の実数の近傍には有理数が存在するため、すべての実数が $\mathbb{Q}$ の触点となる。

閉包の基本性質

閉包作用素 $\mathrm{cl}$ は次の Kuratowski の公理を満たす。

逆に、これら 4 条件を満たす作用素から位相を定義することもできる。閉集合を $\mathrm{cl}(A)=A$ となる集合として定め、開集合をその補集合として定義すればよい。