リーマン計量の基本

リーマン計量は、多様体の各点における接空間に内積を与える構造です。これにより曲線の長さ、角度、面積といった幾何学的な量を定義できるようになります。

リーマン計量の定義

$n$ 次元可微分多様体 $M$ 上のリーマン計量とは、各点 $p \in M$ において接空間 $T_{p} M$ 上の内積

$g_{p} : T_{p} M \times T_{p} M \to R$

を与える対応 $g$ であって、次の条件を満たすものです。

対称性:

g_{p} (X, Y) = g_{p} (Y, X)

正定値性:

g_{p} (X, X) \geq 0

であり、等号成立は

X = 0

のときに限る

滑らかさ: 任意のベクトル場

X, Y

に対し、関数

p \mapsto g_{p} (X_{p}, Y_{p})

が滑らかである

リーマン計量を備えた多様体 $(M, g)$ をリーマン多様体と呼びます。

局所座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ をとると、各点での接空間の基底は ${\frac{\partial}{\partial x ^{1}}, \dots, \frac{\partial}{\partial x ^{n}}}$ で与えられます。リーマン計量はこの基底に関して

$g_{ij} = g (\frac{\partial}{\partial x ^{i}}, \frac{\partial}{\partial x ^{j}})$

という成分で表されます。行列 $(g_{ij})$ は対称かつ正定値であり、計量テンソルと呼ばれます。

接ベクトル $X = X^{i} \frac{\partial}{\partial x ^{i}}$ , $Y = Y^{j} \frac{\partial}{\partial x ^{j}}$ に対して、内積は

$g (X, Y) = g_{ij} X^{i} Y^{j}$

と計算されます（アインシュタインの縮約規則を使用）。

ユークリッド空間

$R^{n}$ に標準的なリーマン計量を入れると $g_{ij} = δ_{ij}$ （クロネッカーのデルタ）となります。これは通常のユークリッド内積に対応します。

球面

半径 $R$ の球面 $S^{2} \subset R^{3}$ には、 $R^{3}$ のユークリッド計量から誘導される計量が入ります。球座標 $(θ, ϕ)$ を用いると

$d s^{2} = R^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$

と表されます。

リーマン計量は線素 $d s^{2}$ を用いて

$d s^{2} = g_{ij} d x^{i} d x^{j}$

と書かれることがあります。この記法を使うと、曲線 $γ : [a, b] \to M$ の長さは

$L (γ) = \int_{a}^{b} g_{ij} \frac{d x ^{i}}{d t} \frac{d x ^{j}}{d t} d t$

で定義されます。これはユークリッド空間における弧長の一般化です。

滑らかな写像 $f : M \to N$ があり、 $N$ にリーマン計量 $h$ が入っているとき、引き戻し $f^{*} h$ を

$(f^{*} h)_{p} (X, Y) = h_{f (p)} (d f_{p} (X), d f_{p} (Y))$

で定義できます。ただし $f^{*} h$ が正定値になるのは $d f_{p}$ が各点で単射のとき、すなわち $f$ がはめ込みのときに限ります。

部分多様体のリーマン計量は、包含写像による引き戻しとして自然に誘導されます。これを誘導計量と呼びます。