ベクトル解析の 3 つの演算が外微分ひとつに畳まれる仕組み

勾配、回転、発散は、 $3$ 次元でだけ通じる 3 つの別々の演算に見えます。次元を変えると対応が崩れ、外積が使えるのも $3$ 次元だけ。

外微分 $d$ を入れると、この 3 つが 1 つの演算の次数違いになります。しかも次元を選びません^[1]。

以下では $d$ を 4 つの公理で特徴づけ、公理から座標公式が一意に決まることを見て、 $d \circ d = 0$ の意味とド・ラームコホモロジーまで進みます。

微分形式の復習

$k$ 次微分形式は、各点で接ベクトル $k$ 本に数を返す反対称な多重線型写像です。局所座標では

$ω = i_{1} < \dots < i_{k} \sum f_{i_{1} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}$

と書けます。係数は滑らかな関数。

$0$ 形式は関数そのものです。 $n$ 次元では $n$ 次までしかありません。

外微分の 4 つの公理

$d : Ω^{k} (M) \to Ω^{k + 1} (M)$ を、次の 4 条件で定めます^[1,2]。

R

線型である

0

形式

f

に対して

df

は

f

の全微分

k

形式

α

と任意の

β

に対し

d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{k} α \land d β

d \circ d = 0

3 つ目の符号が、次数付きライプニッツ則です。 $α$ を $d$ が追い越すときに、 $α$ の次数ぶんだけ符号が付く。

公理から一意に決まる

この 4 条件を満たす作用素はただ 1 つです。座標近傍で書けば分かります。

$ω = f d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}$ に 3 つ目を繰り返し使うと、 $d x^{i}$ の項は 4 つ目から消えます。残るのは係数の全微分だけ。

$d ω = df \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}$

が出ます。座標をどう選んでも同じ作用素になることは、一意性から自動^[3]。

座標での公式

上の式を成分で書けば

$d ω = \frac{\partial f}{\partial x ^{j}} d x^{j} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}$

です。係数を偏微分し、 $d x^{j}$ を左から掛ける。

$j$ が $i_{1}, \dots, i_{k}$ のどれかと一致する項は $0$ になります。同じ $d x$ が 2 度現れるため。

例： $0$ 形式の外微分

$f (x, y) = x^{2} y$ の外微分は

$df = 2 x y d x + x^{2} d y$

です。偏微分を係数に並べただけ。

これは勾配ベクトル $(2 x y, x^{2})$ に対応します。ただし対応させるには計量が要る。

例： $1$ 形式を計算する

$ω = y d x + x^{2} d y$ をとります。項ごとに公式を当てる。

第 1 項は $d y \land d x = - d x \land d y$ を出し、係数は $1$ 。第 2 項は $2 x d x \land d y$ です。

$d ω = (2 x - 1) d x \land d y$

になります。 $2 x = 1$ の直線の上でだけ $d ω$ が消える。

例： $2$ 形式を計算する

$3$ 次元で $η = z d x \land d y$ をとります。係数の偏微分は $\partial z / \partial z = 1$ だけが残る。

$d η = d z \land d x \land d y = d x \land d y \land d z$

です。 $d z$ を 2 回動かすので符号は 2 回変わり、元に戻ります。

符号がずれる場所

ライプニッツ則の符号を落とすと、計算が合わなくなります。 $α$ が奇数次のときだけ第 2 項の符号が反転する。

$α$ を $1$ 形式、 $β$ を $1$ 形式とすると

$d (α \land β) = d α \land β - α \land d β$

です。 $α$ が $2$ 形式なら符号は $+$ に戻る。

例：ライプニッツ則の符号を追う

$α = x d y$ 、 $β = y d z$ とします。 $α \land β = x y d y \land d z$ 。

直接計算すると $d (α \land β) = y d x \land d y \land d z$ です。

公式で計算すると $d α \land β = d x \land d y \land y d z$ で $y d x \land d y \land d z$ 、 $α \land d β = x d y \land d y \land d z = 0$ 。符号込みで合います。

複体として並べる

$d$ は次数を 1 つ上げます。並べると 1 本の列になる。

$3$ 次元なら $Ω^{3}$ の次は $0$ です。次数が次元を超えると形式が存在しないため。

つながった矢印を 2 本続けると、いつでも $0$ になります。これがド・ラーム複体^[4]。

$d \circ d = 0$ の証明

$0$ 形式で確かめれば、あとは公理から従います。 $f$ に対し

$d (df) = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{j} \partial x ^{i}} d x^{j} \land d x^{i}$

です。係数は $i$ と $j$ の入れ替えで対称、 $d x^{j} \land d x^{i}$ は反対称。

対称なものと反対称なものを掛けて和をとると $0$ になります。シュワルツの定理が効いている場所^[2]。

例：偏微分の交換で消える様子

$f = x^{2} y$ とします。 $df = 2 x y d x + x^{2} d y$ 。

もう一度 $d$ をとると $2 x d y \land d x + 2 x d x \land d y$ です。前半は $- 2 x d x \land d y$ 。

足すと $0$ になります。 $\partial^{2} f / \partial x \partial y$ が両方の項に同じ値で現れ、符号だけが逆。

$3$ 次元での grad, rot, div

$3$ 次元では、次数ごとに $d$ が別の名前で呼ばれます。

k = 0

$df$ は勾配です。関数から $1$ 形式が出ます。

k = 1

$d (P d x + Q d y + R d z)$ は回転です。 $1$ 形式から $2$ 形式が出ます。

k = 2

$2$ 形式の外微分は発散です。 $3$ 形式が出て、そこで止まります。

ベクトル場に読み替えるにはホッジ双対が要ります。 $1$ 形式と $2$ 形式をどちらもベクトル場と見なせるのは、 $3$ 次元だけの事情^[1]。

例： $rot (grad f) = 0$

$k = 0$ から $k = 2$ へ $d$ を 2 回かけると $0$ です。

読み替えれば $rot (grad f) = 0$ になります。ベクトル解析で成分計算していた等式が、公理の 4 つ目に畳まれる。

例： $div (rot F) = 0$

$k = 1$ から $k = 3$ へ $d$ を 2 回かけても $0$ です。

こちらは $div (rot F) = 0$ 。2 つの公式が同じ理由から出ていることが、次数を付けると見えます。

小さな長方形の周回で回転が出る

$d ω$ の係数が何を測っているのかを、周回積分で見ます。

長方形を縮めても、周回積分を面積で割った値は変わりません。極限がちょうど $d ω$ の係数。

$d$ が微分らしく見えるのは、この比が極限を持つためです。境界で測って中身を割る、という操作。

座標に依らない公式

座標を使わずに $d$ を書けます。 $k$ 形式 $ω$ とベクトル場 $V_{0}, \dots, V_{k}$ に対し

$d ω (V_{0}, \dots, V_{k}) = i \sum (- 1)^{i} V_{i} (ω (V_{0}, \dots, \hat{V_{i}}, \dots, V_{k})) + i < j \sum (- 1)^{i + j} ω ([V_{i}, V_{j}], V_{0}, \dots, \hat{V_{i}}, \dots, \hat{V_{j}}, \dots, V_{k})$

が成り立ちます^[1,3]。ハットは、その引数を抜くという意味。

第 1 項が微分らしい部分、第 2 項がリー括弧の補正です。

例： $1$ 形式の不変公式を確かめる

$k = 1$ では

$d ω (X, Y) = X (ω (Y)) - Y (ω (X)) - ω ([X, Y])$

になります。3 つの項だけ。

$X = \partial / \partial x$ 、 $Y = \partial / \partial y$ なら $[X, Y] = 0$ で、第 3 項が消えます。残る 2 項が $\partial Q / \partial x - \partial P / \partial y$ 。

座標の基底では第 3 項が落ちるので、座標公式と一致します。

リー括弧が現れる理由

第 1 項だけでは、 $ω$ に関数を掛けたときの振る舞いが壊れます。 $X (ω (f Y))$ に $X (f) ω (Y)$ の余分な項が出る。

$[X, f Y] = f [X, Y] + X (f) Y$ なので、第 2 項からも同じ形の項が出ます。符号が逆で、打ち消し合う。

結果として全体が $C^{\infty} (M)$ 線型になり、テンソルとして意味を持ちます。リー括弧は、テンソル性を回復するために入っている。

引き戻しと交換する

滑らかな写像 $F$ に対し $F^{*} (d ω) = d (F^{*} ω)$ が成り立ちます^[2]。

$0$ 形式では $F^{*} (df) = d (f \circ F)$ で、連鎖律そのもの。一般の次数へは、ウェッジ積との整合性から持ち上がります。

この性質のおかげで、 $F^{*}$ が閉形式を閉形式へ、完全形式を完全形式へ送ります。コホモロジーに写像が誘導される根拠。

例：極座標へ移して確かめる

$ω = x d y$ を極座標へ引き戻します。 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ 。

$F^{*} ω = r cos θ (sin θ d r + r cos θ d θ)$ で、外微分をとると $r d r \land d θ$ が出ます。

先に $d ω = d x \land d y$ を計算してから引き戻しても $r d r \land d θ$ です。合いました。

$ω$ を $2$ 形式、 $η$ を $3$ 形式とするとき、 $d (ω \land η)$ はどれか。

$d ω \land η - ω \land d η$
$d ω \land η + ω \land d η$
$- d ω \land η + ω \land d η$
$d ω \land η$

__RESULT__

符号は先に来る形式の次数で決まります。 $ω$ が $2$ 形式で偶数次なので $(- 1)^{2} = 1$ となり、両方が正。

ド・ラーム複体

$d \circ d = 0$ から、像が核に含まれます。差をとった商が意味を持つ。

$H_{dR}^{k} (M) = \frac{ker ( d : Ω ^{k} \to Ω ^{k + 1} )}{im ( d : Ω ^{k - 1} \to Ω ^{k} )}$

これがド・ラームコホモロジーです^[4]。閉形式のうち、完全でないぶんを数える。

ド・ラームの定理により、実係数の特異コホモロジーと同型になります。微分の話が位相の話とつながる場所。

例： $R^{n}$ のコホモロジー

$R^{n}$ は可縮なので、 $H^{0} = R$ 、 $k \geq 1$ では $H^{k} = 0$ です^[4]。

$H^{0}$ が $R$ なのは、 $df = 0$ となる関数が定数だけだから。連結成分の個数を数えている。

例：円周と穴あき平面

円周では $H^{0} = R$ 、 $H^{1} = R$ です。 $d θ$ が $H^{1}$ を生成する。

穴あき平面も同じ形になります。円周と可縮な部分の積に分かれるため^[5]。

$n$ 次元球面では $H^{0}$ と $H^{n}$ だけが $R$ で、あいだは $0$ です。

$d θ$ が完全でないことを見る

穴あき平面で $d θ$ を原点のまわりに積分する様子を描きます。

戻ってきたときに値が $0$ に戻りません。 $2 π$ ずれる。

完全形式なら必ず $0$ に戻ります。 $\int_{\partial D} d η$ が閉じた道で $0$ になるため。

ポアンカレの補題

可縮な開集合では、閉形式はすべて完全です^[5]。

局所的にはいつでも成り立ちます。多様体はどの点でも球体と同相な近傍を持つため。

したがってコホモロジーは、局所では何も見ません。大域の形だけを拾う不変量。

ストークスの定理との関係

$\int_{Ω} d ω = \int_{\partial Ω} ω$ という等式が、 $d$ と境界をとる操作を結びます^[6]。

閉形式を閉じた図形の上で積分すると $0$ になる、という主張がここから出ます。ホモロジーとコホモロジーの対になる仕組み。

$d$ を「境界の代数版」と呼ぶのは、この双対性から。

よくある誤り

ライプニッツ則の符号を落とす。先に来る形式が奇数次のときだけ第 2 項が負になります

d ω = 0

から

ω = d η

を結論する。可縮な領域でだけ言えます

3

次元の grad, rot, div の対応を一般次元へ持ち込む。ホッジ双対が要ります

座標公式が座標に依存すると思う。4 つの公理から一意に決まります

不変公式のリー括弧の項を落とす。テンソル性が壊れます

d

とベクトル場の微分を混同する。

d

は形式にだけ働きます

次数が上がる向きを逆に覚える。

d

は

k

から

k + 1

へ送ります

参考文献

Closed and exact differential forms

Generalized Stokes theorem

勾配も回転も発散も、外微分を次数ごとに読み替えたものです。4 つの公理を置くだけで座標公式が一意に決まり、$d \circ d = 0$ が偏微分の交換から出る。この一行に、ベクトル解析で別々に覚えた 2 つの恒等式が畳まれます。周回積分を面積で割った極限が $d$ の係数になること、リー括弧を含む座標に依らない公式、引き戻しと交換する性質まで確かめる。ド・ラームコホモロジーが拾うのは大域の形だけ。