多様体の定義（座標近傍とアトラスで貼り合わせる）

多様体は、近くで見るとユークリッド空間に見える空間です。全体としてどんな形でも、小さく切りとれば平らな地図に写せる。

作るときも同じで、平らな地図を何枚も用意し、重なるところで座標のつなぎ方を決めます。

定義は 3 つの条件

位相空間 $X$ が次の 3 つをみたすとき、$n$ 次元位相多様体といいます。

3 つ目が中心にあり、残りの 2 つは病的な例を除くための条件です。

座標近傍と座標近傍系

局所ユークリッドという条件に、名前と記号をつけます。

$X$ の開集合 $U$ と同相写像 $\phi :U\to \tilde{U}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ の組 $(U,\phi )$ を座標近傍といいます。チャートとも呼びます。$\phi$ が $U$ の各点に座標を与える。

点 $p$ の座標は $\phi (p)=(x^1(p),\dots ,x^n(p))$ です。座標のつけ方は 1 通りではない。

座標近傍を集めた $\{(U_i,{\phi }_i)\}$ が $X$ 全体を覆うとき、これを座標近傍系、またはアトラスといいます。地図帳という意味の語。

円周の点を北極から見て、赤道の線の上へ落とす。これが立体射影で、北極の 1 点だけが写りません。

球面に 2 枚入れる

同じことを $n$ 次元でやります。北極 $(0,\dots ,0,1)$ を除いた部分から ${\mathbb{R}}^n$ への写像は、次の形になる。

$$(x^1,\dots ,x^{n+1})\mapsto \left(\frac{x^1}{1-x^{n+1}},\dots ,\frac{x^n}{1-x^{n+1}}\right)$$

逆写像も書けます。

$$(x^1,\dots ,x^n)\mapsto \left(\frac{2x^1}{\Vert x{\Vert }^2+1},\dots ,\frac{2x^n}{\Vert x{\Vert }^2+1},\frac{\Vert x{\Vert }^2-1}{\Vert x{\Vert }^2+1}\right)$$

両方とも連続なので同相になる。南極については分母を $1+x^{n+1}$ に替えればよく、逆写像は最後の成分の符号だけが変わります^[1]。

2 枚で球面全体を覆えました。1 枚では足りない。球面はコンパクトで、${\mathbb{R}}^n$ と同相にならないためです。

重なりでの座標変換

重なった部分では、同じ点に 2 組の座標がつく。$(U,\phi )$ と $(V,\psi )$ について、次の合成を座標変換といいます。

$$\phi \circ {\psi }^{-1}:\psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)$$

これは ${\mathbb{R}}^n$ の開集合のあいだの写像です。ここから先は解析の言葉で扱える。

2 枚の両立とは、座標変換が微分同相であることです。互いに $C^{\infty }$ で、逆写像も $C^{\infty }$。

どの 2 枚も両立している座標近傍系を滑らかな座標近傍系といいます。この条件をつけて初めて、微分という言葉が多様体の上で意味を持つ。

位相多様体のままなら、座標変換はただの同相写像です。座標から読めるのは位相の情報だけで、長さも角度も面積も測れず、微分も積分も定義できません^[1]。

メルカトル図法と同じ事情です。この図法は角度を保ちますが、面積は保ちません。典型的なメルカトル図では、グリーンランドがアフリカより大きく見える。実際の面積は 220 万平方キロメートルと 3000 万平方キロメートル^[1]。

座標変換に何を求めるかで、地図から読めるものが決まる。無限回微分できることを求めれば微分可能多様体、角度が保たれることを求めれば共形多様体です^[1]。

滑らかな構造は極大な座標近傍系

同じ多様体に、座標近傍系はいくらでも書けます。球面なら立体射影の 2 枚でもよいし、経度と緯度で細かく割ってもよい。

2 つの座標近傍系の和集合がまた座標近傍系になるとき、その 2 つは同値だといいます。同値なものは同じ滑らかな構造を定める。

集められるだけ集めると、極大な座標近傍系がただ 1 つできます。滑らかな構造とは、この極大な座標近傍系のことだと考える。それが標準的な立場です^[2]。

こう決めておけば、どの座標近傍を使うかで議論が変わりません。座標近傍は計算の道具であって、多様体そのものではない、という立場が保てます。

次元は座標の選び方によらない

座標近傍ごとに次元が違ってよいのか、という問いが残ります。重なりがあれば、答えは同じ次元。

滑らかな場合は短く済みます。$\phi \circ {\psi }^{-1}$ と $\psi \circ {\phi }^{-1}$ が微分同相なら、その微分は線形同型になる。

${\mathbb{R}}^n$ と ${\mathbb{R}}^m$ のあいだに線形同型があるので $n=m$ です^[2]。

位相多様体では、この道が通りません。座標変換はただの同相写像で、微分できないため。

代わりに次元の不変性がいります。${\mathbb{R}}^n$ の開集合と ${\mathbb{R}}^m$ の開集合が同相なら $n=m$、という定理。証明には相対ホモロジーが必要になります^[1]。

定義の見た目は素朴でも、次元が決まること自体は深いところにある。連結な多様体なら、次元は全体で 1 つに決まります。

滑らかな写像

多様体のあいだの写像も、座標近傍を通して定めます。$F:M\to N$ が滑らかだとは、座標で見た $\psi \circ F\circ {\phi }^{-1}$ が $C^{\infty }$ になることです。

これは ${\mathbb{R}}^m$ の開集合から ${\mathbb{R}}^n$ への写像なので、解析の言葉で判定できる。

座標の選び方によらない点が肝心です。別の座標近傍に替えても、座標変換が $C^{\infty }$ なので合成はやはり $C^{\infty }$。両立という条件がここで効いてきます。

$F$ が全単射で、$F$ と $F^{-1}$ の両方が滑らかなとき、$F$ を微分同相といいます。微分同相な 2 つの多様体は、多様体としては同じものと見なす。

部分多様体

大きな多様体の中に、小さな多様体が入っていることがあります。

$M$ の部分集合 $N$ が、$M$ の座標でうまく見ると ${\mathbb{R}}^k\subseteq {\mathbb{R}}^n$ の形に見えるとき、$N$ を部分多様体といいます。座標のうち後ろの $n-k$ 個が $0$ になる、という形。

例として多いのは方程式の解集合です。滑らかな関数の正則値の逆像は部分多様体になる。

球面 $S^n$ もその例で、$f(x)=\Vert x{\Vert }^2$ の値 $1$ での逆像です。$f$ の微分は原点以外で消えないため、$1$ は正則値。

このやり方なら、座標近傍系を手で書かずに済みます。方程式を 1 本立てれば、多様体が 1 つ決まる。

原点が 2 つある直線

ハウスドルフ性を外すと、直感に反する空間が現れます。

$\mathbb{R}$ を 2 本用意し、$0$ 以外のすべての点を貼り合わせます。$0$ だけが 2 つ残る、という空間。

どの点にも $\mathbb{R}$ と同相な近傍があるので、局所ユークリッドです。ところが 2 つの原点は、交わらない近傍で分けられません。

数列 $1/n$ が 2 つの原点の両方に収束してしまい、極限が 1 つに決まらない。こうした空間を除くために、ハウスドルフ性を定義に入れます。

第二可算性と距離

第二可算性のほうは、大きすぎる空間を除きます。連結な多様体では、第二可算であることと距離が入れられることは同値です^[2]。

この条件を定義に入れない流儀もあります。入れないままでも議論の大半はそのまま成り立ち、ホイットニーの埋め込み定理だけが通らなくなる^[2]。

ふつうは、ハウスドルフで、パラコンパクトで、可算な基底を持つものだけを多様体と呼びます。この約束のもとでは距離も入ります^[3]。

積とトーラス

同じ手順で、例はいくつも書けます。

$X$ と $Y$ が多様体なら、直積 $X\times Y$ も多様体です^[1]。座標近傍は両者の座標近傍の積をとればよい。

トーラスはこの構成で決まります。$T^n=(S^1{)}^{\times n}$ と定めれば、球面の座標近傍系と直積だけで多様体になる^[1]。

2 次元トーラスは、${\mathbb{R}}^3$ の中の曲面としても書けます。

$$\phi (u,v)=((R+r\cos u)\cos v,(R+r\cos u)\sin v,r\sin u)$$

どちらの決め方でも、できあがる空間は同相です^[1]。

原点で尖った曲線

すべての図形が多様体になるわけではありません。${\mathbb{R}}^2$ の中で $y^2=x^3$ が定める集合を見ます。

尖って見えますが、多様体かどうかは位相だけの問題。見た目は関係ありません。

これは位相多様体です。$t\mapsto (t^2,t^3)$ が $\mathbb{R}$ からの同相写像を与える。$x=t^2$ が $0$ へ近づけば $t$ も $0$ へ近づくので、逆向きも連続。

ところが ${\mathbb{R}}^2$ の中の滑らかな部分多様体ではありません。滑らかな曲線なら、原点の近くは接線の向きのグラフになるはずです。

接線の向きは $x$ 軸。$(t^2,t^3)$ の進む向きが $(2t,3t^2)$、つまり $(2,3t)$ の向きで、$t$ を $0$ へ近づけると $x$ 軸に近づくためです。

$x$ を 1 つ決めると $y=\pm x^{3/2}$ の 2 点が対応する。$x$ 軸の上のグラフになっていないので、滑らかな曲線として書けません。

位相と滑らかさは別物

位相多様体に滑らかな構造が入るとは限りません。座標近傍系は書けるのに、座標変換をすべて $C^{\infty }$ にそろえられない。そういう位相多様体があります^[1]。

逆に、1 つの位相空間にいくつも滑らかな構造が入ることもあります。$S^7$ には、互いに微分同相でない滑らかな構造が 28 個ある^[1,2]。

${\mathbb{R}}^4$ では非可算個です。$n\ne 4$ の ${\mathbb{R}}^n$ では、滑らかな構造は 1 つに決まります^[1]。

$S^7$ を 28 通りに分けているのは、点の集まりでも位相でもなく、座標変換のそろえ方です。

参考