接空間と接ベクトル

接空間は多様体上の各点において「その点での方向」を表すベクトル全体の集合です。多様体上で微分を行うための基盤となる概念です。

接ベクトルの直観的理解

ユークリッド空間 ${\mathbb{R}}^n$ では、点 $p$ における接ベクトルは単に $p$ を始点とする矢印として理解できます。しかし一般の多様体は ${\mathbb{R}}^n$ に埋め込まれているとは限らないため、接ベクトルを内在的に定義する必要があります。

接ベクトルを定義するアプローチは主に3つあります。

現代的には方向微分による定義が標準的です。

曲線による定義

点 $p\in M$ を通る滑らかな曲線 $\gamma :(-\epsilon ,\epsilon )\to M$ で $\gamma (0)=p$ を満たすものを考えます。2つの曲線 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ が同値であるとは、ある座標近傍 $(U,\phi )$ において

$$\frac{d}{dt}{|}_{t=0}(\phi \circ {\gamma }_1)(t)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}(\phi \circ {\gamma }_2)(t)$$

が成り立つことをいいます。この同値関係による曲線の同値類が接ベクトルです。

方向微分による定義

点 $p$ における接ベクトルとは、$p$ の近傍で定義された滑らかな関数全体 $C^{\infty }(p)$ から $\mathbb{R}$ への写像 $X_p$ で、次を満たすものです。

直観的には、$X_p(f)$ は関数 $f$ の点 $p$ における $X_p$ 方向の微分係数を表します。

接空間の構造

点 $p$ における接ベクトル全体の集合を接空間といい、$T_{p}M$ と書きます。接空間は実ベクトル空間であり、$M$ が $n$ 次元ならば $T_{p}M$ も $n$ 次元です。

局所座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ に対し、座標ベクトル場

$$\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p:f\mapsto \frac{\partial (f\circ {\phi }^{-1})}{\partial x^i}{|}_{\phi (p)}$$

は $T_{p}M$ の基底をなします。任意の接ベクトル $X_p\in T_{p}M$ は

$$X_p=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p$$

と一意的に表されます。係数 $X^i=X_p(x^i)$ を接ベクトルの成分といいます。

座標変換と成分の変換則

座標 $(x^i)$ から $(y^j)$ への座標変換を考えます。接ベクトル $X_p$ の成分が $(x^i)$ で $X^i$、$(y^j)$ で ${\tilde{X}}^j$ であるとき

$${\tilde{X}}^j=\frac{\partial y^j}{\partial x^i}{X}^i$$

が成り立ちます。この変換則を反変的といいます。

接束

すべての点の接空間を集めた集合

$$TM=\underset{p\in M}{⨆}{T}_{p}M$$

を接束といいます。$TM$ は自然に $2n$ 次元多様体の構造を持ち、射影 $\pi :TM\to M$ はベクトル束の構造を与えます。