余接空間と余接ベクトル

余接空間は接空間の双対空間であり、微分形式の理論の出発点となります。余接ベクトルは接ベクトルを受け取って実数を返す線型写像です。

余接空間の定義

点 $p \in M$ における余接空間 $T_{p}^{*} M$ は、接空間 $T_{p} M$ の双対空間として定義されます。

$T_{p}^{*} M = (T_{p} M)^{*} = Hom (T_{p} M, R)$

余接空間の元を余接ベクトル（または1次形式、コベクトル）と呼びます。余接ベクトル $ω_{p} \in T_{p}^{*} M$ は接ベクトル $X_{p} \in T_{p} M$ に作用して実数 $ω_{p} (X_{p}) \in R$ を与えます。

$M$ が $n$ 次元ならば $T_{p}^{*} M$ も $n$ 次元ベクトル空間です。

関数の微分

滑らかな関数 $f : M \to R$ に対し、点 $p$ における微分 $d f_{p}$ は

$d f_{p} : T_{p} M \to R, d f_{p} (X_{p}) = X_{p} (f)$

で定義されます。これは $T_{p}^{*} M$ の元です。直観的には、 $d f_{p}$ は $f$ の $p$ における「傾き」の情報を持った量です。

双対基底

局所座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ に対し、座標関数の微分 $d x^{1} ∣_{p}, \dots, d x^{n} ∣_{p}$ は座標ベクトル $\frac{\partial}{\partial x ^{1}}_{p}, \dots, \frac{\partial}{\partial x ^{n}}_{p}$ の双対基底をなします。すなわち

$d x^{i} (\frac{\partial}{\partial x ^{j}}) = δ_{j}^{i}$

が成り立ちます。任意の余接ベクトル $ω_{p} \in T_{p}^{*} M$ は

$ω_{p} = ω_{i} d x^{i} ∣_{p}$

と一意的に表されます。

座標変換と成分の変換則

座標 $(x^{i})$ から $(y^{j})$ への変換において、余接ベクトルの成分 $ω_{i}$ （座標 $(x^{i})$ ）と $\tilde{ω}_{j}$ （座標 $(y^{j})$ ）の間には

$\tilde{ω}_{j} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{j}} ω_{i}$

の関係があります。この変換則を共変的といいます。

接ベクトル（反変）

成分は $\tilde{X}^{j} = \frac{\partial y ^{j}}{\partial x ^{i}} X^{i}$ と変換する。上付き添字で表す。

余接ベクトル（共変）

成分は $\tilde{ω}_{j} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{j}} ω_{i}$ と変換する。下付き添字で表す。

余接束

すべての点の余接空間を集めた集合

$T^{*} M = p \in M ⨆ T_{p}^{*} M$

を余接束といいます。 $T^{*} M$ は $2 n$ 次元多様体であり、ベクトル束の構造を持ちます。

余接束にはシンプレクティック幾何学で重要な標準シンプレクティック形式が自然に定まります。解析力学における相空間は余接束として定式化されます。

接空間と余接空間の関係

一般に $T_{p} M$ と $T_{p}^{*} M$ は同型ですが、標準的な同型は存在しません。しかしリーマン計量 $g$ が与えられると、写像

$T_{p} M \to T_{p}^{*} M, X \mapsto g (X, \cdot)$

により自然な同型が定まります。これを音楽同型といい、添字の上げ下げに対応します。