余接空間と dx - 双対基底が 1 形式を決める

$d x$ は小さな量ではありません。接空間の上の線形形式、つまり関数です。

この一点をはっきりさせると、微分形式の記法がすべて筋の通ったものに見えてきます。出発点は線形代数の双対空間です。

双対空間の作り方

ベクトル空間 $V$ に対して、 $V$ から $R$ への線形写像の全体を $V^{*}$ と書きます。和とスカラー倍が自然に入るので、 $V^{*}$ もまたベクトル空間。

有限次元なら $dim V^{*} = dim V$ です。等しいだけで、同じものではありません。

証明は双対基底の構成そのものです。 $V$ の基底 $e_{1}, \dots, e_{n}$ を 1 組とると、次をみたす $V^{*}$ の基底がただ一つ決まります^[3]。

$e^{i} (e_{j}) = δ_{j}^{i}$

$e^{i}$ が何をする写像かというと、入力ベクトルの第 $i$ 成分を読み取ります。 $X = \sum_{j} X^{j} e_{j}$ を入れれば $e^{i} (X) = X^{i}$ 。

双対基底は基底全体で決まる

ここに落とし穴があります。 $e^{1}$ は $e_{1}$ だけから決まるのではなく、 $e_{2}, \dots, e_{n}$ の選び方にも依存します。

$e^{1} (e_{1}) = 1$ という条件だけでは足りず、 $e^{1} (e_{2}) = 0$ 以下の条件も同時に課しているためです。 $e_{2}$ を動かせば、 $e_{1}$ をそのままにしても $e^{1}$ が変わります。

濃い矢印も、水平の基底も動かしていません。もう 1 本の基底を回しただけで、1 番目の成分が変わります。

成分を読み取るという操作が、基底全体に依存している。この事実が、次の話につながります。

双対基底が基底になること

$e^{i} (e_{j}) = δ_{j}^{i}$ で定めた $n$ 個の写像が、本当に $V^{*}$ の基底になるかを確かめておきます。

まず張ること。任意の $α \in V^{*}$ に対して $α_{i} = α (e_{i})$ と置き、 $β = \sum_{i} α_{i} e^{i}$ を作ります。

$β (e_{j}) = α_{j} = α (e_{j})$ がすべての $j$ で成り立つので、基底の上で一致します。線形写像は基底での値で決まるため $β = α$ です。

次に一次独立。 $\sum_{i} c_{i} e^{i} = 0$ を $e_{j}$ に作用させると $c_{j} = 0$ が出ます。どの $j$ でも同じなので、係数はすべて $0$ 。

これで $dim V^{*} = n$ が言えました。有限次元だから成り立つ話で、無限次元では双対のほうが真に大きくなることがあります。

双対写像は転置になる

双対は写像にも作用します。線形写像 $A : V \to W$ に対して、向きを逆にした写像 $A^{*} : W^{*} \to V^{*}$ が決まります。

$(A^{*} β) (X) = β (A X)$

$β$ は $W$ 上の線形形式、 $X$ は $V$ のベクトルです。 $A X$ を $W$ へ送ってから $β$ で測る、という順番。

双対基底で成分を書くと、 $A^{*}$ の行列は $A$ の転置になります。行列の転置という操作に、座標によらない意味が与えられたことになる。

向きが逆になる点が要です。ベクトルは写像と同じ向きに進み、余ベクトルは逆向きに戻る。この向きの違いが、あとで引き戻しという名前になります。

標準的な同型がない

$dim V = dim V^{*}$ なので、線形同型は必ず存在します。ただし、基底を選ばずに作れる同型はありません。

基底 $e_{i}$ を選んで $e_{i} \mapsto e^{i}$ と対応させれば同型ができます。しかしいま見たとおり、この対応は基底の選び方に依存する。別の基底で作れば別の同型になります。

対照的に、 $V$ から $V^{**}$ への対応は基底なしで作れます。 $X \in V$ に対して、 $α \mapsto α (X)$ という $V^{*}$ 上の線形形式を与えるだけ。

有限次元ならこれが同型になります。双対を 2 回とればもとに戻るのに、1 回では戻れない。この非対称が、以下の議論をずっと支配します。

余接空間

多様体に移ります。点 $p$ の接空間 $T_{p} M$ の双対を、余接空間と呼びます^[3]。

$T_{p}^{*} M = (T_{p} M)^{*}$

その元は 1 形式、あるいは余ベクトルと呼ばれます。作用は $ω_{p} (X_{p})$ と書き、双対の括弧を使って $⟨ ω_{p}, X_{p} ⟩$ とも書きます^[3]。

バークレーの講義録は、余接空間の元を余ベクトル、余接ベクトル、1 形式のいずれの名でも呼ぶと述べています^[1]。呼び名が多いのは、由来の違う分野が同じものに行き着いたためです。

$d x^{i}$ の正体

座標 $(x^{1}, \dots, x^{n})$ をとります。 $x^{i}$ は $M$ 上の関数なので、その微分 $d x_{p}^{i}$ は $T_{p} M$ から $R$ への線形写像、つまり 1 形式です^[3]。

定義に従えば $d x_{p}^{i} (X_{p}) = X_{p} \cdot x^{i}$ 、要するに $X_{p}$ を関数 $x^{i}$ に作用させた値。座標基底に食べさせると次のようになります^[3]。

$⟨ d x_{p}^{i}, \frac{\partial}{\partial x ^{j}}_{p} ⟩ = \frac{\partial x ^{i}}{\partial x ^{j}}_{p} = δ_{j}^{i}$

さきほどの双対基底の条件そのものです。よって $d x_{p}^{1}, \dots, d x_{p}^{n}$ は $\partial / \partial x^{1}, \dots, \partial / \partial x^{n}$ の双対基底になります^[3]。ドイツの講義録も同じ主張を書いています^[2]。

任意の 1 形式はこの基底で展開できます。成分は座標基底に食べさせた値です^[3]。

$ω_{p} = i \sum ω_{i} d x_{p}^{i}, ω_{i} = ω_{p} (\frac{\partial}{\partial x ^{i}}_{p})$

$df$ を書き下す

関数 $f$ の微分も 1 形式です。基底で展開すると、成分はそのまま偏微分になります^[2]。

$df = i \sum \frac{\partial f}{\partial x ^{i}} d x^{i}$

解析で習う全微分の式と同じ形です。違うのは記号の意味で、 $d x^{i}$ が小さな増分ではなく基底ベクトルの一つになっている点。

この読み替えは記法だけの話ではありません。 $df$ を 1 点ごとの線形写像として扱えるので、微分を代数の対象として操作できます。

作用の中身

$ω$ と $X$ を組み合わせると、成分の積和になります。上下の添字が 1 つずつ噛み合う形です。

$⟨ ω, X ⟩ = i \sum ω_{i} X^{i}$

計量はどこにも登場しません。長さも角度も使わず、線形代数だけで値が決まります。

$ω$ の成分を $(1.2, 0.7)$ に固定し、 $X$ だけを回しています。2 つの項が押し合いながら、合計を作ります。

座標変換の向き

座標を $x$ から $x^{'}$ へ換えると、成分の変換規則が出ます。接ベクトルとは向きが逆です^[1]。

$ω_{i}^{'} = j \sum \frac{\partial x ^{j}}{\partial x ^{' i}} ω_{j}$

接ベクトルの側は $\partial x^{' i} / \partial x^{j}$ が掛かりました。分子と分母が入れ替わっています。

古い流儀では、この規則に従う量を共変ベクトルと呼びました。余接ベクトルは共変ベクトルと同じものです^[1]。

積和 $\sum_{i} ω_{i} X^{i}$ が座標によらないのは、2 つの規則が互いに逆行列だからです。掛け合わせると単位行列になります。

余接束と 1 形式

各点の余接空間を全部集めた $T^{*} M$ を余接束と呼びます。ドイツの講義録は、接束の双対ベクトル束として定義しています^[2]。

$T^{*} M$ の滑らかな切断、つまり各点に余接ベクトルをなめらかに割り当てたものが 1 形式です。座標では $ω = \sum_{i} ω_{i} (x) d x^{i}$ と書け、 $ω_{i}$ が滑らかな関数になります。

点ごとの余接ベクトルと、多様体全体の 1 形式は別の概念です。ただし同じ記号で書くので、文脈で読み分けます。

外微分へつながる

$f \mapsto df$ という操作は、 $0$ 形式から $1$ 形式への写像です。これを高い次数へ延ばしたものが外微分。

$1$ 形式に対しては、次のように定めます。

$d (i \sum ω_{i} d x^{i}) = i, j \sum \frac{\partial ω _{i}}{\partial x ^{j}} d x^{j} \land d x^{i}$

楔積 $\land$ は反対称なので、 $d x^{j} \land d x^{i} = - d x^{i} \land d x^{j}$ です。この反対称性から $d (df) = 0$ が出ます。

2 階偏微分が対称なのに、楔積が反対称。掛け合わせて足すと打ち消し合います。 $d^{2} = 0$ という等式は、この一致から生まれます。

計量を入れると矢印になる

余接ベクトルに矢印を対応させたいなら、内積が要ります。リーマン計量 $g$ があれば、成分の添字を上げ下げできます。

$X_{i} = g_{ij} X^{j}, ω^{i} = g^{ij} ω_{j}$

この 2 つの対応を音楽的同型と呼びます。下げるほうを $♭$ 、上げるほうを $♯$ と書く習わし。

大事なのは、対応が計量に依存することです。計量を取り替えると、同じ 1 形式に別の矢印が対応します。

水色の板が 1 形式、灰色の楕円が計量の単位球です。楕円を縦横に伸び縮みさせると、矢印が板に垂直な向きから外れていきます。

垂直になるのは楕円が真円のとき、つまり計量が標準的なときだけ。デカルト座標に慣れていると区別が見えないのは、そのためです。

なぜ $d x$ と書くのか

記号の由来にも触れておきます。古典的には $d x$ は $x$ の小さな増分でした。

いまの定義では、 $d x$ は座標関数 $x$ の微分、つまり 1 形式です。小さくもなんともない、はっきりした大きさを持つ線形写像。

橋渡しは作用の値にあります。小さな接ベクトル $X$ を用意して $d x (X)$ を計算すると、古典的な小さな増分にあたる数が出ます。

記号を変えなかったのは、計算の見た目がそのまま通じるためです。 $df = f^{'} (x) d x$ という式は、両方の読み方で正しく読めます。

積分でも同じ事情です。 $\int f d x$ の $d x$ を 1 形式と読み替えると、変数変換の公式が引き戻しの言葉でそのまま書けます。

有限次元だから戻れる

$V$ と $V^{**}$ が自然に同型になる話は、有限次元に限った現象です。

無限次元では、双対をとるたびに空間が大きくなることがあります。代数的な双対を素朴にとると、次元が真に増えてしまう。

関数解析では、双対をとって戻ったときにもとに含まれる、という性質を反射性と呼び、特別な性質として扱います。有限次元ではそれが自動的に成り立つ。

多様体の各点の接空間は有限次元なので、この心配は要りません。ただし「双対は 2 回で戻る」という感覚が、どこでも通じるわけではない点は覚えておく価値があります。

テンソルへの入口

余接ベクトルを複数並べると、テンソルになります。 $T_{p} M$ の元 $k$ 個を受け取って数を返す多重線形写像が $(0, k)$ 型テンソル。

計量 $g$ もその一つです。ベクトルを 2 本受け取って数を返すので、 $(0, 2)$ 型テンソルにあたります。

添字を下げる操作は、この見方だと自然です。 $g$ にベクトルを 1 本だけ入れると、あと 1 本を待つ状態、つまり 1 形式が残ります。

微分形式は、ここから反対称なものだけを取り出した部分です。反対称にすると積分と相性がよくなり、外微分やストークスの定理が使えるようになります。

参考文献

*Notes 1: Lecture Notes on Manifolds, Tangent Vectors and Covectors*. Physics 222, University of California, Berkeley, 2004.

Wendt M. *Skript zur Vorlesung Analysis auf Mannigfaltigkeiten*. Bergische Universität Wuppertal, Sommersemester 2020.

Jean F. *AOT 13: Géométrie Différentielle et Application au Contrôle Géométrique*. ENSTA ParisTech, 2011–2012.

dx は小さな量ではなく、接空間の上の線形形式です。基底 1 本ずつではなく基底の組全体で双対基底が決まること、そのせいで標準的な同型が作れないこと、余接空間と dx が双対基底になる仕組み、共変に変換する成分、外微分が d の 2 乗をゼロにする理由、計量を入れて初めて矢印になる音楽的同型までを順に追います。