ベクトル場とは（積分曲線・流れ・リー括弧）

ベクトル場は、多様体の各点に接ベクトルを 1 本ずつ、なめらかに割り当てたものです。

流体の速度場だと思うと見通しがよくなります。フランスの講義録も、$X$ を $M$ の上を動く流体の速度場として思い描くと便利だと書いています^[2]。

各点に矢を植える。すると、その矢に従って粒子が流れ始めます。

定義と成分

正式には、接束 $TM$ の滑らかな切断です^[3]。点 $p$ に $T_{p}M$ の元を対応させ、その対応が滑らかであることを要求します。

座標をとると成分で書けます。座標基底を使って、次の形になります^[2]。

$$X(x)=\sum _{i=1}^n{X}^i(x)\frac{\partial }{\partial x^i}$$

$X$ が滑らかであることと、成分関数 $X^i$ が滑らかであることは同値です^[3]。

座標基底そのものもベクトル場です。$\partial /\partial x^i$ を各点に割り当てたもので、座標場と呼ばれます^[2]。

関数に作用する

接ベクトルが微分作用素だったので、ベクトル場は関数を関数へ写す作用素になります。

$X$ による作用は線形で、ライプニッツ則をみたします^[2]。この 2 条件をみたす作用素を微分といい、ベクトル場と微分は同じものとみなせます。

$$X\cdot (fg)=f(X\cdot g)+g(X\cdot f)$$

作用素として見ると、和もスカラー倍も自然に定義できます。集合 $\mathfrak{X}(M)$ は無限次元のベクトル空間になります。

常微分方程式になる

ベクトル場を与えることは、多様体の上に常微分方程式を書くことと同じです^[2]。

$$\dot{q}=X(q),q\in M$$

この方程式の解を積分曲線と呼びます。曲線 $c(t)$ が各時刻で $\dot{c}(t)=X(c(t))$ をみたすもの^[2]。

存在と一意性は局所的に保証されます。どの点 $p$ についても、十分小さな $\eta$ をとれば、$t\in (-\eta ,\eta )$ で定義された唯一の積分曲線が $c_p(0)=p$ から出発します^[2]。

証明は簡単で、地図の中へ移せば ${\mathbb{R}}^n$ の常微分方程式になるためです^[2]。多様体特有の難しさは、局所的な話には出てきません。

灰色の棒が各点に植えた矢で、青い点が積分曲線に沿って動く粒子です。矢は動かず、粒子だけが流れます。

流れという見方

初期条件への依存も滑らかです。$p$ の近傍 $U_p$ と時間の区間 $I$ をとれば、$\phi (t,q)=c_q(t)$ が滑らかな写像になります^[2]。

各 $t$ を固定すると、${\phi }_t:q\mapsto \phi (t,q)$ は局所微分同相です。この族を $X$ の流れと呼びます^[2]。

流れは 1 径数局所群をなします^[2]。

最後の性質が要です。$t$ 秒流してから $s$ 秒流すのと、$t+s$ 秒流すことは、同じ操作になります。時間の足し算が写像の合成に化けています。

微分同相写像で運ぶと、流れも一緒に運ばれます。$F_{\ast }X$ の流れは $F\circ {\phi }_t\circ F^{-1}$ で、もとの流れを共役にとったものになります^[2]。

括弧積

2 つのベクトル場を続けて作用させた $XY$ は、ベクトル場になりません。2 階の微分が出るので、ライプニッツ則が壊れます^[2]。

ところが差をとると、2 階の項が消えます^[2]。

$$[X,Y]=XY-YX$$

ライプニッツ則の確認も短い。$XY\cdot (fg)$ を展開して $YX\cdot (fg)$ を引くと、余計な項が打ち消し合います^[2]。

成分で書くと、互いの成分を微分し合った差になります^[2]。

$$[X,Y{]}^i=\sum _j\left(X^j\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}-Y^j\frac{\partial X^i}{\partial x^j}\right)$$

流れの交換しなさを測る

括弧積が何を測っているかは、流れを組み合わせると見えます。$X_1$ で $t$ 秒、$X_2$ で $t$ 秒進み、それぞれ $t$ 秒だけ戻る。

出発点に帰ってくるとは限りません。ずれの大きさが次のようになります^[2]。

$${\phi }_{-t}^2\circ {\phi }_{-t}^1\circ {\phi }_t^2\circ {\phi }_t^1(p)-p=t^2[X_1,X_2](p)+o(t^2)$$

$t$ の 2 乗で効いてきます。1 次では消えるので、素朴に見ると閉じているように見える。

具体例で確かめます。$X_1={\partial }_x$、$X_2=x{\partial }_y$ とすると、流れは ${\phi }_t^1(x,y)=(x+t,y)$ と ${\phi }_s^2(x,y)=(x,y+sx)$ です。

原点から出発すると、順に $(t,0)$、$(t,t^2)$、$(0,t^2)$、$(0,t^2)$ へ移ります。もとの点に戻らず、$t^2$ だけ上へずれる。

括弧積を計算すると $[X_1,X_2]={\partial }_y$ なので、ずれの向きと一致します。

4 辺を一周しても閉じません。閉じない量が括弧積で、これが $0$ になることと 2 つの流れが可換になることは同値です^[2]。

座標場どうしは可換です。$[{\partial }_i,{\partial }_j]=0$ が成り立ち、偏微分の順番が入れ替えられることの言い換えになっています。

完備とは限らない

流れが定義される時間の幅は、点ごとに違います。すべての $t\in \mathbb{R}$ で定義できるとき、そのベクトル場を完備といいます。

完備でない例は簡単に作れます。$\mathbb{R}$ の上で $X=x^2{\partial }_x$ とすると、方程式は $\dot{x}=x^2$。

$x(0)=1$ から出発する解は $x(t)=1/(1-t)$ で、$t\to 1$ で発散します。有限の時間で無限遠へ抜けてしまい、そこから先へ流せません。

コンパクトな多様体では、この心配が要りません。抜け出す先がないので、どのベクトル場も完備になります。

完備なら流れは局所群でなく本物の群になります。${\phi }_t$ が全体で定義された微分同相になり、$t$ について $\mathbb{R}$ からの群準同型が得られる。

行列で書ける例

線形なベクトル場を見ておきます。${\mathbb{R}}^n$ の上で $X(x)=Ax$ とすると、方程式は $\dot{x}=Ax$ です。

解は行列の指数関数で書けて、流れは ${\phi }_t(x)=e^{tA}x$ になります。これは全体で定義されるので、$X$ は完備。

2 つの線形場 $X_A$、$X_B$ の括弧積を計算すると、行列の交換子が出てきます^[2]。ベクトル場の括弧積と、行列の $BA-AB$ が対応します。

リー群とリー環の関係が、いちばん素朴な形で現れた場面です。流れの非可換性が、行列の非可換性そのものになっています。

微分同相で保たれる

括弧積は写像で運んでも壊れません。$F:M\to N$ が微分同相なら、次が成り立ちます^[2]。

$$F_{\ast }[X,Y]=[F_{\ast }X,F_{\ast }Y]$$

だから括弧積は座標によらない構造です。$\mathfrak{X}(M)$ は括弧積によってリー環になります。

なお、ベクトル場を写像で運ぶには微分同相が要ります^[2]。単射でなければ行き先で値が競合し、全射でなければ値の決まらない点が残るためです。

リー微分として読む

括弧積には、もう一つの読み方があります。$X$ の流れに乗って $Y$ を見たときの変化率です。

時刻 $t$ での $Y$ を、流れで出発点まで引き戻します。引き戻した結果を $t$ で微分すると、$X$ に沿った $Y$ のリー微分が定義できます。

$${\mathcal{L}}_{X}Y=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}({\phi }_{-t}{)}_{\ast }Y$$

この量が $[X,Y]$ に一致します。括弧積は、流れに沿った変化を測る微分だったことになる。

共変微分との違いは、接続が要らない点です。リー微分は流れだけで決まるので、計量も接続もない多様体で使えます。

そのかわり、${\mathcal{L}}_{X}Y$ は $X_p$ だけでは決まりません。$X$ の近傍での様子が要ります。方向を指定するだけの役ではない、という点が共変微分と対照的です。

どこでも消えない場は作れるか

各点に矢を植えるとき、どこでも $0$ にならないように植えられるでしょうか。答えは多様体の形によります。

奇数次元の球面では作れます。$S^{2n-1}$ を ${\mathbb{R}}^{2n}$ の中で考え、座標を $(x^1,y^1,\dots ,x^n,y^n)$ とすると、次の場がどこでも消えません^[3]。

$$X=\sum _{i=1}^n\left(-y^i\frac{\partial }{\partial x^i}+x^i\frac{\partial }{\partial y^i}\right)$$

各 2 次元の面の中で回転させているだけです。位置ベクトルに直交するので接ベクトルになり、長さは $1$ なので $0$ になりません。

偶数次元の球面では作れません。どんなベクトル場にも零点がある。それがハリネズミの定理の主張です^[3]。

左の球面では、緯線に沿って矢を並べています。北極と南極では向きが決まらず、そこが零点になる。

右の円周では、接線方向にそろえて植えられます。$S^1$ は奇数次元なので、消えない場が作れる例です。

平行化可能という条件

さらに強い問いもあります。接束の基底になるだけの本数のベクトル場を、どこでも一次独立に植えられるか。

これができる多様体を平行化可能といいます。球面のうち平行化可能なのは $S^1$、$S^3$、$S^7$ の 3 つだけです^[2]。

偶数次元の球面はすべて外れます。1 本すら消えない場が作れないので、基底など望むべくもない^[2]。

$S^3$ と $S^7$ が入るのは、四元数と八元数の積が背後にあるためです。代数の存在が、幾何の性質として現れています。

部分多様体に沿う流れ

流れの向きが部分多様体に接していれば、流れはその中にとどまります。

$N\subset M$ を部分多様体とし、$N$ のどの点でも $X(q)\in T_{q}N$ が成り立つとします。このとき $N$ の点から出た積分曲線は、少なくとも短い時間は $N$ の中に入ったままです^[2]。

理由は一意性です。$X$ を $N$ に制限したものも $N$ 上のベクトル場になるので、そちらの解が $M$ での解にもなっている。解は 1 本しかないので、両者は一致します^[2]。

保存量がある力学系で、軌道が等位面から出ない理由もこれです。エネルギーが一定に保たれるなら、速度が等位面に接している。

参考文献