微分写像（押し出しと引き戻し）

多様体間の滑らかな写像は、接空間の間に線型写像を誘導します。この誘導された写像を微分写像といい、押し出し（pushforward）と引き戻し（pullback）という2つの方向で現れます。

微分写像（押し出し）の定義

滑らかな写像 $F : M \to N$ に対し、点 $p \in M$ における微分写像

$d F_{p} : T_{p} M \to T_{F (p)} N$

を次で定義します。 $X_{p} \in T_{p} M$ に対し、 $(d F_{p} (X_{p})) (g) = X_{p} (g \circ F)$ とします。ここで $g$ は $F (p)$ の近傍で定義された任意の滑らかな関数です。

微分写像は押し出し（pushforward）とも呼ばれ、 $F_{*}$ 、 $F_{* p}$ 、 $T_{p} F$ などとも書かれます。

$M$ の局所座標を $(x^{1}, \dots, x^{m})$ 、 $N$ の局所座標を $(y^{1}, \dots, y^{n})$ とします。 $F$ を座標で $y^{j} = F^{j} (x^{1}, \dots, x^{m})$ と表すと、微分写像は

$d F_{p} (\frac{\partial}{\partial x ^{i}}_{p}) = \frac{\partial F ^{j}}{\partial x ^{i}} (p) \frac{\partial}{\partial y ^{j}}_{F (p)}$

となります。すなわちヤコビ行列 $(\frac{\partial F ^{j}}{\partial x ^{i}})$ が微分写像の行列表示です。

微分写像は次の性質を持ちます。

線型性:

d F_{p} (a X + bY) = a \cdot d F_{p} (X) + b \cdot d F_{p} (Y)

合成との整合性:

d (G \circ F)_{p} = d G_{F (p)} \circ d F_{p}

（連鎖律）

恒等写像:

d (id_{M})_{p} = id_{T_{p} M}

連鎖律は多様体における合成関数の微分法則の一般化です。

微分写像の双対として、余接空間の間には逆向きの写像が誘導されます。これを引き戻し（pullback）といいます。

$F^{*} : T_{F (p)}^{*} N \to T_{p}^{*} M$

余接ベクトル $ω \in T_{F (p)}^{*} N$ に対し、 $(F^{*} ω) (X) = ω (d F_{p} (X))$ で定義します。

押し出し（pushforward）

$d F_{p} : T_{p} M \to T_{F (p)} N$ 。接ベクトルを「順方向」に送る。

引き戻し（pullback）

$F^{*} : T_{F (p)}^{*} N \to T_{p}^{*} M$ 。余接ベクトルを「逆方向」に引き戻す。

引き戻しは微分形式に拡張されます。 $N$ 上の $k$ 次微分形式 $ω$ に対し、 $M$ 上の $k$ 次微分形式 $F^{*} ω$ が

$(F^{*} ω)_{p} (X_{1}, \dots, X_{k}) = ω_{F (p)} (d F_{p} (X_{1}), \dots, d F_{p} (X_{k}))$

で定義されます。

引き戻しは次の性質を満たします。

線型性:

F^{*} (aω + b η) = a F^{*} ω + b F^{*} η

ウェッジ積との整合性:

F^{*} (ω \land η) = F^{*} ω \land F^{*} η

外微分との可換性:

F^{*} (d ω) = d (F^{*} ω)

合成との整合性:

(G \circ F)^{*} = F^{*} \circ G^{*}

微分写像の性質によって写像を分類できます。

はめ込み

各点で $d F_{p}$ が単射であるとき、 $F$ をはめ込みといいます。 $dim M \leq dim N$ が必要です。

沈め込み

各点で $d F_{p}$ が全射であるとき、 $F$ を沈め込みといいます。 $dim M \geq dim N$ が必要です。

微分同相

$F$ が全単射で $F$ と $F^{- 1}$ がともに滑らかであるとき、 $F$ を微分同相といいます。このとき各点で $d F_{p}$ は同型写像です。