多様体間の滑らかな写像は、接空間の間に線型写像を誘導します。この誘導された写像を微分写像といい、押し出し（pushforward）と引き戻し（pullback）という2つの方向で現れます。
微分写像（押し出し）の定義
滑らかな写像 に対し、点 における微分写像
を次で定義します。 に対し、 とします。ここで は の近傍で定義された任意の滑らかな関数です。
微分写像は押し出し（pushforward）とも呼ばれ、、、 などとも書かれます。
局所座標での表示
の局所座標を 、 の局所座標を とします。 を座標で と表すと、微分写像は
となります。すなわちヤコビ行列 が微分写像の行列表示です。
微分写像の性質
微分写像は次の性質を持ちます。
線型性:
合成との整合性: （連鎖律）
恒等写像:
連鎖律は多様体における合成関数の微分法則の一般化です。
引き戻しの定義
微分写像の双対として、余接空間の間には逆向きの写像が誘導されます。これを引き戻し（pullback）といいます。
余接ベクトル に対し、 で定義します。
押し出し（pushforward）
。接ベクトルを「順方向」に送る。
引き戻し（pullback）
。余接ベクトルを「逆方向」に引き戻す。
微分形式の引き戻し
引き戻しは微分形式に拡張されます。 上の 次微分形式 に対し、 上の 次微分形式 が
で定義されます。
引き戻しは次の性質を満たします。
線型性:
ウェッジ積との整合性:
外微分との可換性:
合成との整合性:
はめ込みと沈め込み
微分写像の性質によって写像を分類できます。
はめ込み
各点で が単射であるとき、 をはめ込みといいます。 が必要です。
沈め込み
各点で が全射であるとき、 を沈め込みといいます。 が必要です。
微分同相
が全単射で と がともに滑らかであるとき、 を微分同相といいます。このとき各点で は同型写像です。
