添字ではなく写像で考えるテンソル場、縮約と添字の上げ下げまで

テンソルを「添字がたくさん付いた量」と覚えると、どこまでが定義でどこからが表示なのかが見えなくなります。添字は座標を決めたあとに現れるもので、本体ではありません。

テンソルの本体は多重線型写像です。接ベクトルと余接ベクトルを何本か受けとって実数を返し、どの引数についても線型である、というだけの対象。

以下では定義から座標変換則を導き、縮約や添字の上げ下げがなぜ許されるのかを確かめ、最後に「テンソルかどうか」を判定する基準まで扱います^[1]。

テンソルは添字の並びではない

物理の教科書では、座標変換でこう変わる量をテンソルと呼ぶ、という定義をよく見ます。この流儀でも中身は同じですが、順序が逆さまになる。

変換則は、多重線型写像を座標で書いたときに自動的に出てくる帰結です。定義に据えると、なぜその形なのかが説明されないまま残ります。

以下では多重線型写像を定義に採り、変換則は導かれるものとして扱います。どちらの流儀でも到達点は変わりません^[4]。

多重線型写像としての定義

点 $p\in M$ における $(r,s)$ 型テンソルとは、$r$ 個の余接ベクトルと $s$ 個の接ベクトルを引数にとる多重線型写像

$$T:\underset{r}{\underbrace{T_p^{\ast }M\times \cdots \times T_p^{\ast }M}}\times \underset{s}{\underbrace{T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M}}\to \mathbb{R}$$

のことです。多重線型とは、ほかの引数を固定したとき、残る 1 つについて線型になること。

$r$ を反変の階数、$s$ を共変の階数といいます。合わせて $r+s$ が価数。

$(r,s)$ 型テンソル全体は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間になり、$T_s^r(T_{p}M)$ と書きます。次元は $n^{r+s}$ です。

型 $(r,s)$ の読み方

引数の並びが型を決めます。余接ベクトルを食べる口が $r$ 個、接ベクトルを食べる口が $s$ 個。

ここで反変と共変の名前が逆に感じられることがあります。余接ベクトルを食べるほうが反変で、接ベクトルを食べるほうが共変。

名前は成分の変換のしかたから付いています。食べる相手ではなく、成分がどちらに動くかを見た呼び名^[2]。

例：低い型を並べて確かめる

型が小さいものを書き出すと、見慣れた対象がそろって現れます。

$(0,0)$ 型は引数のない写像、つまり実数そのものです。関数はいちばん低い型のテンソル場。

テンソル場は束の切断

各点 $p$ に $(r,s)$ 型テンソルを滑らかに配ったものがテンソル場です。テンソル束 $T_s^{r}M$ の滑らかな切断、という言い方をします^[3]。

滑らかさは成分で判定します。どの座標近傍でも成分が滑らかな関数になっていればよい。

テンソル場の全体は $C^{\infty }(M)$ 上の加群になります。関数を掛けても型が変わらないため。

微分形式は反対称なテンソル場の言い換えです。反対称性を課したぶん、外積という余分な構造が入ります。

成分と基底

局所座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ をとると、接空間の基底は $\partial /\partial x^i$、余接空間の基底は $d{x}^j$ です。

テンソル $T$ の成分を

$$T_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}=T\left(d{x}^{i_1},\dots ,d{x}^{i_r},\frac{\partial }{\partial x^{j_1}},\dots ,\frac{\partial }{\partial x^{j_s}}\right)$$

で定めると、$T$ は基底のテンソル積の一次結合として書けます。多重線型性から、基底での値がぜんぶを決める。

成分は $n^{r+s}$ 個の実数です。$3$ 次元の $(1,3)$ 型なら $81$ 個。

例：2 次元で成分を数える

$n=2$ とします。$(0,2)$ 型なら成分は $4$ 個で、行列 1 つぶん。

対称という条件を課すと独立成分は $3$ 個になります。反対称なら $1$ 個だけ。

$2$ 次元の $2$ 次微分形式が本質的に $1$ 個の関数で書けるのは、この数え上げから。面積形式にスカラーを掛けたものしかありません。

座標変換則

座標を $(x^i)$ から $({\tilde{x}}^j)$ へとり替えます。基底の変換は連鎖律から出ます。

$$\frac{\partial }{\partial x^i}=\frac{\partial {\tilde{x}}^k}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial {\tilde{x}}^k},d{x}^i=\frac{\partial x^i}{\partial {\tilde{x}}^k}d{\tilde{x}}^k$$

2 本のヤコビ行列は互いに逆行列です。これを成分の定義に入れれば変換則が出ます。

$${\tilde{T}}_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}=\frac{\partial {\tilde{x}}^{i_1}}{\partial x^{k_1}}\cdots \frac{\partial {\tilde{x}}^{i_r}}{\partial x^{k_r}}\frac{\partial x^{l_1}}{\partial {\tilde{x}}^{j_1}}\cdots \frac{\partial x^{l_s}}{\partial {\tilde{x}}^{j_s}}{T}_{l_1\cdots l_s}^{k_1\cdots k_r}$$

上の添字にはヤコビ行列が、下の添字には逆行列が掛かります^[2,5]。

反変と共変が逆に変換する理由

基底を大きくすれば、同じベクトルを表す成分は小さくなります。長さ $1$ の物差しを長さ $2$ にすれば、目盛りの数は半分になる。

接ベクトルの成分はこう動くので、基底と逆向きに変わります。これが反変。

余接ベクトルは基底に対して双対に定義されているので、基底と同じ向きに変わります。こちらが共変^[6]。

物差しの長さと目盛りの数が逆に動く、というだけの話です。反変という名前はここから来ています。

計量の成分は $(0,2)$ 型なので、逆行列が 2 回掛かります。基底を 2 倍にすれば $g_{ij}$ は 4 倍。

例：極座標で計量の成分が変わる

平面のユークリッド計量は直交座標で $g=dx\otimes dx+dy\otimes dy$ です。成分は単位行列。

極座標へ移すと、さきに見た引き戻しの計算から

$$g=dr\otimes dr+r^{2}d\theta \otimes d\theta$$

になります。成分は対角で $1$ と $r^2$。

計量そのものは変わっていません。変わったのは基底で、$\partial /\partial \theta$ が長さ $r$ を持つようになったところ。

変換則を定義に採用する流儀

物理では、変換則を満たす成分の組をテンソルと呼ぶ流儀が主流です。この立場でも、対象は同じものになります。

多重線型写像から変換則が出ることは上で見ました。逆に変換則を満たす成分の組があれば、基底での値を指定したことになり、多重線型写像が 1 つ決まる。

2 つの定義は同値です。座標を先に置くか、あとに置くかの違い。

テンソル積

$(r_1,s_1)$ 型 $S$ と $(r_2,s_2)$ 型 $T$ に対し、テンソル積 $S\otimes T$ を

$$(S\otimes T)(\alpha ,\dots ,X,\dots )=S({\alpha }_1,\dots ,X_1,\dots )\cdot T({\alpha }_2,\dots ,X_2,\dots )$$

で定めます。引数を前半と後半に分けて、それぞれに食わせて掛ける。

型は $(r_1+r_2,s_1+s_2)$ になります。成分で見れば、単に成分どうしの積^[4]。

テンソル積は結合的ですが、可換ではありません。$S\otimes T$ と $T\otimes S$ では引数の順が違う。

例：$dx\otimes dy$ を作る

$dx$ と $dy$ はどちらも $(0,1)$ 型です。テンソル積は $(0,2)$ 型になる。

$(dx\otimes dy)(X,Y)=dx(X)dy(Y)$ なので、成分は $(1,2)$ 成分だけが $1$ で残りが $0$ です。

$dx\otimes dy$ と $dy\otimes dx$ は違うテンソルです。差をとると反対称になり、$dx\wedge dy$ の定数倍。

縮約

$(r,s)$ 型テンソルの上の添字 1 つと下の添字 1 つを選び、同じ文字にして和をとる操作を縮約といいます。

$$(\mathrm{tr}T{)}_{j_2\cdots j_s}^{i_2\cdots i_r}=T_{k{j}_2\cdots j_s}^{k{i}_2\cdots i_r}$$

型は $(r-1,s-1)$ に落ちます。座標に依らない操作であることは、変換則で 2 本のヤコビ行列が逆行列どうしになって消えることから^[5]。

上の添字どうし、下の添字どうしを縮約することはできません。計量がない限り、逆行列が現れないため。

例：$(1,1)$ 型の縮約はトレース

$(1,1)$ 型テンソルは線型写像 $T_{p}M\to T_{p}M$ と同じものでした。縮約すると $T_k^k$ が残ります。

これは行列のトレースです。基底をとり替えてもトレースが変わらない、という線型代数の事実が、縮約が座標に依らないことの言い換えになっている。

行列式のほうは縮約では出てきません。多重線型で反対称な形を使う別の構成が要ります。

例：リッチ曲率は縮約で出る

リーマン曲率テンソルは $(1,3)$ 型です。上の添字 1 つと下の添字 1 つを縮約すると $(0,2)$ 型が出ます。

これがリッチ曲率です。さらに計量で添字を上げてもう一度縮約すればスカラー曲率になる。

縮約の場所を変えると別のものが出ます。曲率テンソルの対称性のおかげで、実質的に意味のある縮約は 1 通りに定まる。

対称化と反対称化

同じ種類の添字について、入れ替えても変わらない部分と符号が変わる部分をとり出せます。

$(0,2)$ 型なら $T_{(ij)}=\frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji})$ が対称部分、$T_{[ij]}=\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji})$ が反対称部分です。

$T=T_{(ij)}+T_{[ij]}$ と分解できます。$2$ 階のときだけは、この 2 つで全部^[4]。

例：2 階テンソルを分解する

$T_{11}=1$、$T_{12}=3$、$T_{21}=1$、$T_{22}=2$ とします。

対称部分は $T_{(12)}=T_{(21)}=2$ で、対角はそのまま。反対称部分は $T_{[12]}=1$、$T_{[21]}=-1$ です。

対称部分は二次形式として、反対称部分は面積要素として働きます。役割の違う 2 つが 1 つのテンソルに同居している。

$3$ 階以上では、対称でも反対称でもない成分が残ります。分解は 2 つでは終わりません。

計量による添字の上げ下げ

リーマン計量 $g_{ij}$ とその逆行列 $g^{ij}$ があると、添字を上げ下げできます。

$$T^i=g^{ij}{T}_j,T_i=g_{ij}{T}^j$$

型が $(r,s)$ から $(r\pm 1,s\mp 1)$ へ移ります。情報は落ちません。$g^{ij}{g}_{jk}={\delta }_k^i$ なので、上げてから下げれば元に戻る^[6]。

計量がない多様体では、この操作は使えません。上と下を行き来する橋が計量。

例：$(0,2)$ 型を $(1,1)$ 型へ

第二基本形式 $h_{ij}$ に $g^{ik}$ を掛けると $h_j^k$ が出ます。これが形状作用素で、線型写像として読める。

主曲率はこの $(1,1)$ 型の固有値です。$(0,2)$ 型のままでは固有値という言葉が使えません。線型写像でないと固有ベクトルが定義できないため。

添字の上げ下げは、見た目を変えるだけの操作に見えて、使える道具を変えます。

音楽的同型

計量による上げ下げには記号が付いています。ベクトルを余ベクトルへ送る $♭$ と、逆向きの $♯$ です^[6]。

$v^{♭}=g(v,\cdot )$ と書きます。音楽記号のフラットが音を下げることと、添字を下げることを掛けた呼び名。

勾配ベクトル場は $\mathrm{grad}f=(df{)}^{♯}$ です。$df$ は計量なしで定まりますが、勾配は計量に依存する。

テンソルかどうかを見分ける

添字が付いていればテンソル、というわけではありません。座標変換で正しく変わるかどうかが分かれ目です。

判定にはもっと使いやすい形があります。ベクトル場の組に値を返す写像が、関数倍について線型なら、その写像はテンソル場になる^[1]。

$$A(f{X}_1,X_2,\dots )=fA(X_1,X_2,\dots )$$

が任意の $f\in C^{\infty }(M)$ で成り立てばよい。テンソル判定補題と呼ばれます。

$C^{\infty }(M)$ 線型性が効く理由

関数倍について線型なら、$A$ の値は各点でのベクトルの値だけで決まります。近くでの振る舞いが結果に影響しない。

証明はバンプ関数を使います。2 組のベクトル場が 1 点で一致していれば、差をバンプ関数で潰して $A$ の値が等しいことを示す。

微分が入ると、この性質が崩れます。微分は近くの値を見るので、関数を外へ出すときにライプニッツ則の余分な項が出る。

例：クリストッフェル記号はテンソルでない

${\Gamma }_{ij}^k$ は $3$ つの添字を持ちますが、テンソルではありません。座標変換で余分な二階微分の項が出ます。

$${\tilde{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{\partial {\tilde{x}}^k}{\partial x^c}\frac{\partial x^a}{\partial {\tilde{x}}^i}\frac{\partial x^b}{\partial {\tilde{x}}^j}{\Gamma }_{ab}^c+\frac{\partial {\tilde{x}}^k}{\partial x^c}\frac{{\partial }^2{x}^c}{\partial {\tilde{x}}^i\partial {\tilde{x}}^j}$$

第 2 項が邪魔をします。テンソルなら第 1 項だけのはず。

この項があるおかげで、ある点でクリストッフェル記号を全部 $0$ にする座標がとれます。テンソルなら、1 点で $0$ なら全座標で $0$ になってしまう。

例：2 つの接続の差はテンソルになる

接続 $\nabla$ と ${\nabla }^{\prime }$ をとり、差 $D(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_X^{\prime }Y$ を考えます。

$Y$ に関数を掛けると、両方に同じ $X(f)Y$ の項が出て、引き算で消えます。残るのは $fD(X,Y)$ だけ。

したがって $D$ は $(1,2)$ 型テンソル場です。個々はテンソルでなくても、差はテンソルになる。

接続の全体がアフィン空間になるのは、この事実の言い換えです。差がベクトル空間の元になる構造。

例：計量はテンソル、勾配はテンソルでない量を含む

計量 $g(X,Y)$ は関数倍を素通しします。$g(fX,Y)=fg(X,Y)$ なのでテンソル。

いっぽう $X(f)$ は $f$ について線型ではありません。$X(gf)=gX(f)+fX(g)$ となり、余分な項が出る。

方向微分がテンソルにならないことが、共変微分と接続を導入する動機になります。

双線型形式を絵で見る

$(0,2)$ 型で対称かつ正定値なテンソルは、各点で内積を定めます。単位円の行き先を見ると形が分かる。

成分が動くと、長さ $1$ の点の集まりが楕円として伸び縮みします。計量が変わるとは、この楕円が変わること。

非対角成分 $g_{12}$ が入ると楕円が傾きます。座標軸が直交しなくなった、という意味。

型の地図を描く

テンソル積は型を増やし、縮約は型を減らします。$(r,s)$ を座標に置いて並べると、演算が動く向きが見えます。

右上へ行くほど成分の数が増えます。$n$ 次元なら $n^{r+s}$ 個。

縮約は左下へ 1 マス動く操作です。$(1,1)$ から $(0,0)$ へ落ちればトレース、$(1,3)$ から $(0,2)$ へ落ちればリッチ曲率。

例：テンソル積で計量を作る

$1$ 形式 $dx$ と $dy$ からテンソル積で $(0,2)$ 型を組み立てます。

$dx\otimes dx+dy\otimes dy$ が平面の標準計量です。成分は単位行列。

係数を変えて $4dx\otimes dx+dy\otimes dy$ とすれば、$x$ 方向だけ 2 倍に測る計量になります。楕円が横に潰れた形。

対称でない $dx\otimes dy$ は計量になりません。$g(X,Y)=g(Y,X)$ が破れるため。

対称テンソルと反対称テンソルの次元

$n$ 次元で $(0,k)$ 型の対称テンソルの次元は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k}\right)$ です。反対称なら $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$。

$k>n$ では反対称テンソルが $0$ しかありません。$n$ 次元多様体に $n+1$ 次微分形式が存在しないのは、この数え上げから。

対称のほうは $k$ をいくら上げても $0$ になりません。多項式が何次でも作れることに対応しています。

テンソル場が使われる場面

同じ枠組みが、性格の違う量をまとめて扱います。

型と対称性を指定すれば、それぞれの対象が切り出されます。テンソル場は個々の量の上位概念^[3]。

よくある誤り

参考文献