テンソル場

テンソル場は接ベクトルと余接ベクトルを組み合わせた多重線型的な量であり、リーマン計量や曲率といった幾何学的対象を統一的に扱う枠組みを与えます。

テンソルの定義

点 $p\in M$ における $(r,s)$ 型テンソルとは、$r$ 個の余接ベクトルと $s$ 個の接ベクトルを引数にとる多重線型写像

$$T:\underset{r}{\underbrace{T_p^{\ast }M\times \cdots \times T_p^{\ast }M}}\times \underset{s}{\underbrace{T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M}}\to \mathbb{R}$$

のことです。$(r,s)$ 型テンソル全体の集合を $T_s^r(T_{p}M)$ と書きます。

局所座標での表示

局所座標 $(x^1,\dots ,x^n)$ において、$(r,s)$ 型テンソル $T$ は

$$T=T_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}\frac{\partial }{\partial x^{i_1}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial }{\partial x^{i_r}}\otimes d{x}^{j_1}\otimes \cdots \otimes d{x}^{j_s}$$

と表されます。成分 $T_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}$ は $n^{r+s}$ 個の実数です。

座標変換則

座標 $(x^i)$ から $(y^j)$ への変換において、$(r,s)$ 型テンソルの成分は

$${\tilde{T}}_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}=\frac{\partial y^{i_1}}{\partial x^{k_1}}\cdots \frac{\partial y^{i_r}}{\partial x^{k_r}}\frac{\partial x^{l_1}}{\partial y^{j_1}}\cdots \frac{\partial x^{l_s}}{\partial y^{j_s}}{T}_{l_1\cdots l_s}^{k_1\cdots k_r}$$

と変換されます。上付き添字（反変成分）には $\frac{\partial y}{\partial x}$、下付き添字（共変成分）には $\frac{\partial x}{\partial y}$ がかかります。

テンソル場

各点 $p\in M$ に $(r,s)$ 型テンソルを滑らかに割り当てたものがテンソル場です。$M$ 上の $(r,s)$ 型テンソル場全体を ${\mathcal{T}}_s^r(M)$ と書きます。

テンソルの演算

テンソルには様々な演算が定義されます。

計量によるテンソルの型の変換

リーマン計量 $g_{ij}$ とその逆行列 $g^{ij}$ を用いると、テンソルの型を変換できます。

$$T^i=g^{ij}{T}_j,T_i=g_{ij}{T}^j$$

これを添字の上げ下げといいます。この操作により、たとえば $(0,2)$ 型テンソルを $(1,1)$ 型に変換できます。