余接ベクトルを「等高線の束」として描く

余接ベクトルは矢印ではありません。ベクトルを 1 本受け取って数を 1 つ返す機械です。

矢印として描こうとすると、いくつも無理が出ます。等高線の束として描けば、その無理が消える。

双対空間から始める

ベクトル空間 $V$ に対して、 $V$ から実数への線形写像の全体を $V^{*}$ と書き、双対空間と呼びます^[1]。

多様体 $M$ の点 $p$ では、接空間 $T_{p} M$ の双対を余接空間 $T_{p}^{*} M$ といいます。その元が余接ベクトル、あるいは 1 形式です^[1]。

フランスの講義録も同じ言い方で、余接空間を接空間の双対とし、その元を線形形式または余ベクトルと呼んでいます^[3]。

次元は接空間と同じ $n$ です。同じ次元なので、うっかり同じものだと思いたくなる。そこが落とし穴になります。

成分の決め方

余接ベクトル $α$ の成分は、基底に食べさせて決めます^[1]。

$α_{i} = α (\frac{\partial}{\partial x ^{i}})$

逆に、座標関数 $x^{i}$ の微分 $d x^{i}$ をベクトル $X$ に作用させると、 $X$ の第 $i$ 成分がそのまま出てきます^[1]。

$d x^{i} (X) = X^{i}$

つまり $d x^{1}, \dots, d x^{n}$ は $\partial / \partial x^{1}, \dots, \partial / \partial x^{n}$ の双対基底です^[2]。ドイツの講義録もこの点をはっきり書いています。

作用の値は成分の単純な組み合わせになります。添字が上下で 1 つずつ噛み合う形。

$α (X) = i \sum α_{i} X^{i}$

計量はどこにも出てきません。長さも角度も使わずに数が決まる、という点が大切です。

$df$ は小さくない

いちばん身近な余接ベクトルが、関数の微分 $df$ です。ベクトル $X$ を入れると、 $X$ 方向の方向微分を返します^[1]。

$df ∣_{p} : T_{p} M \to R, X \mapsto X f = i \sum X^{i} \frac{\partial f}{\partial x ^{i}}_{p}$

ここでつまずく人が多い、とバークレーの講義録は書いています^[1]。 $df$ という記号に、微小量という手触りが染み付いているためです。

昔の書き方では $df$ は $f$ の小さな増分でした。いまの意味では $df ∣_{p}$ は演算子で、小さくもなんともない。

2 つの流儀の橋渡しはこうなります。小さな変位ベクトル $X$ を用意して、演算子 $df ∣_{p}$ を作用させた値が、昔でいう小さな $df$ にあたります^[1]。

$(df)_{昔の意味} = (df ∣_{p}) (X)$

小さいのは $X$ のほうで、 $df ∣_{p}$ は小さくありません。

座標の双対基底で書くと、成分は偏微分そのもの^[2]。

$df = i \sum \frac{\partial f}{\partial x ^{i}} d x^{i}$

等高線として描く

では余接ベクトルはどう描けばよいか。答えは、平行な直線の束です。

$α$ は線形なので、 $α (X) = 0$ となる $X$ の全体は超平面になります。 $α (X) = 1$ となる集合、 $α (X) = 2$ となる集合も、それに平行な超平面。

こうして接空間が等間隔の平行な板に仕切られます。ベクトルを 1 本置いたとき、その矢印が横切る板の枚数が $α (X)$ の値。

矢印が板と平行なとき、横切る枚数は $0$ です。板に垂直に近いほど枚数が増える。矢印を伸ばせば枚数も比例して増えます。

線形性がそのまま図に出ています。値が向きと長さの両方で決まり、しかも和について足し算になる。

濃さが大きさ

この描き方には、もう一つ良いところがあります。 $α$ を 2 倍すると、板の間隔が半分になる。

ベクトルは矢印の長さが大きさでした。余接ベクトルは板の詰み具合が大きさになります。長さではなく密度。

大きさの表し方が違うので、単位も逆向きに動きます。ベクトルがメートルなら、余接ベクトルは 1 メートルあたりの何か。掛け合わせると単位のない数になります。

関数の等高線が見せてくれる

$df$ の場合、板の正体は $f$ の等高線です。点 $p$ のまわりで $f$ の等高線を拡大すると、平行な直線の束に見えてきます。

その束がそのまま $df ∣_{p}$ になります。 $f$ が急に変わるところでは等高線が詰み、 $df$ が大きい。

灰色の円が $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ の等高線で、値を 1 ずつ上げて描いてあります。青い 3 本が、その点での局所的な板。

外側ほど円の間隔が狭くなります。 $f$ が 2 次で増えるので、遠いところでは少し動くだけで値が大きく変わる。

座標変換で逆に動く

ベクトルと余接ベクトルの違いが、いちばんはっきり出る場面は座標変換です。

ベクトルの成分は新しい座標の側の偏微分で変換されます。余接ベクトルの成分は、その逆です^[1]。

$α_{i}^{'} = j \sum \frac{\partial x ^{j}}{\partial x ^{' i}} α_{j}$

古い流儀では、ベクトルを反変ベクトル、余接ベクトルを共変ベクトルと呼びました^[1]。フランスの講義録も、ベクトルは反変に、余ベクトルは共変に変換されると述べています^[3]。

具体例で見ます。長さの単位をメートルからセンチメートルへ変えると、基底ベクトルは $100$ 分の $1$ に縮みます。

同じ矢印を表すには、成分を $100$ 倍しなければなりません。いっぽう $d x$ の側は、板の間隔が $100$ 分の $1$ になるので、成分は $100$ 分の $1$ 。

掛け合わせた $\sum_{i} α_{i} X^{i}$ は変わりません。逆向きに動くからこそ、組み合わせた値が座標によらない。

青い矢印と水色の板は動かしていません。動かしているのは基底の長さだけ。それでも 2 つの成分が逆向きに変わります。

引き戻しは無条件にできる

もう一つの非対称が、写像に沿った運び方です。滑らかな写像 $F : M \to N$ があるとき、余接ベクトルは $N$ から $M$ へ自由に運べます。

定義は素直で、 $F$ の微分を通してから食べさせるだけ。

$(F^{*} α) (X) = α (d F (X))$

右辺は $N$ 側での作用です。 $X$ は $M$ の接ベクトルなので、 $d F$ で $N$ へ送ってから $α$ に渡します。

ベクトルの側は同じようにいきません。 $M$ のベクトル場を $N$ へ送っても、 $F$ が単射でなければ行き先で値が競合します。全射でなければ、値の決まらない点が残る。

だから余接ベクトルは引き戻し、ベクトルは押し出しと呼び分けられます。引き戻しはいつでもでき、押し出しには条件が要る。

積分が 1 形式の言葉で書かれるのは、この使いやすさとも関係しています。変数変換が引き戻しとしてそのまま書ける。

束としてまとめる

各点の余接空間を全部集めると、余接束 $T^{*} M$ になります。ドイツの講義録は、接束の双対として得られるベクトル束を余接束と呼んでいます^[2]。

1 形式とは、この束の滑らかな切断のこと。各点に余接ベクトルを 1 つずつ、なめらかに割り当てたものです。

点ごとの余接ベクトルと、多様体全体の 1 形式は別の概念です。ただし同じ記号を使うので、文脈で読み分けます。

計量がないと矢印にできない

$T_{p} M$ と $T_{p}^{*} M$ は同じ次元なので、線形同型が存在します。ただし、自然な同型はありません。

基底を 1 組選べば同型が作れます。しかしその同型は基底の選び方に依存し、座標を換えると別のものに化けてしまう。

内積 $g$ があれば話が変わります。ベクトル $X$ に対して $Y \mapsto g (X, Y)$ という余接ベクトルを対応させれば、基底によらない同型が決まります。

成分では添字の上げ下げになります。 $α_{i} = g_{ij} X^{j}$ という操作。

矢印にできるのは計量を入れたあとの話です。計量のない多様体では、余接ベクトルは矢印になれません。

接ベクトル

矢印。長さが大きさ。座標変換で反変にふるまう

余接ベクトル

板の束。密度が大きさ。座標変換で共変にふるまう

勾配は計量に依存する

この違いは勾配ではっきりします。 $df$ と $grad f$ は別物です。

$df$ は計量なしで決まります。成分は偏微分 $\partial f / \partial x^{i}$ そのもの。

$grad f$ は $df$ の添字を計量で上げたものです。

$(grad f)^{i} = g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x ^{j}}$

平面の極座標で試します。計量は $g_{r r} = 1$ 、 $g_{θ θ} = r^{2}$ なので、逆行列は $g^{r r} = 1$ 、 $g^{θ θ} = 1/ r^{2}$ です。

$df = \frac{\partial f}{\partial r} d r + \frac{\partial f}{\partial θ} d θ$

$grad f = \frac{\partial f}{\partial r} \partial_{r} + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial f}{\partial θ} \partial_{θ}$

$1/ r^{2}$ が付きました。 $df$ の成分をそのままベクトルの成分だと思って書くと、この係数を落とすことになる。

デカルト座標では計量が単位行列なので、両者の成分が一致します。だから区別が見えません。区別が見えるのは、座標を曲げたときと、計量を入れ替えたとき。

力は余接ベクトル

物理でも役割の違いが出ます。変位はベクトル、力は余接ベクトルと見るほうが自然です。

理由は掛け算の形にあります。力と変位を組み合わせると仕事になり、その値は座標のとり方によりません。

$W = i \sum F_{i} d x^{i}$

$F_{i}$ の添字が下にあるのは偶然ではありません。変位の成分と噛み合って、単位のない量を作るためです。

エネルギーの勾配として力を定義するなら、まさに $- d U$ という 1 形式が出てきます。ここでも矢印にするには計量が要る。

すべての 1 形式が $df$ ではない

$df$ の形に書ける 1 形式を完全形式と呼びます。書けないものもあります。

外微分をとって $d ω = 0$ となる 1 形式を閉形式といいます^[3]。完全なら必ず閉ですが、逆は成り立ちません。

有名な反例が、原点を抜いた平面の上の次の 1 形式です^[3]。

$ω = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2}} d x + \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} d y$

計算すると $d ω = 0$ になります。それでも $ω = df$ をみたす関数 $f$ は、平面全体では取れません。

角度 $θ$ の微分がこれにあたるためです。原点のまわりを一周すると $θ$ が $2 π$ ずれるので、 $f$ が一価にならない^[3]。

閉であって完全でない量がどれだけあるかは、その領域の形で決まります。穴が空いているかどうかという位相の情報が、1 形式の言葉で測れる。

余接ベクトルを「関数の微分」とだけ思っていると、この違いを見落とします。 $df$ は 1 形式の一部にすぎません。

積分できるのは 1 形式のほう

もう一つの違いが積分です。曲線に沿って積分できるのは 1 形式で、ベクトル場ではありません。

$\int_{γ} α = \int_{a}^{b} α_{γ (t)} (\overset{γ}{˙} (t)) d t$

右辺の被積分関数は数です。 $α$ が速度ベクトルを食べて数を返すので、そのまま足し上げられます。

ベクトル場を曲線に沿って積分しようとすると、別々の接空間のベクトルを足すことになり、意味を持ちません。計量を使って $⟨ X, \overset{γ}{˙} ⟩$ という数に直せば積分できますが、そのとき計量に頼っている。

微分形式が積分の言葉として使われるのは、この性質のためです。座標を換えても値が変わらない量が、はじめから積分の形に組まれています。

参考文献

*Notes 1: Lecture Notes on Manifolds, Tangent Vectors and Covectors*. Physics 222, University of California, Berkeley, 2004.

Wendt M. *Skript zur Vorlesung Analysis auf Mannigfaltigkeiten*. Bergische Universität Wuppertal, Sommersemester 2020.

*Champs de vecteurs et formes différentielles*. Cours de géométrie, Université Claude Bernard Lyon 1.

余接ベクトルはベクトルを 1 本受け取って数を返す機械で、矢印ではなく平行な板の束として描けます。矢印が横切った枚数が値になり、板の詰み具合が大きさを表す。df が微小量ではなく演算子であること、座標変換で成分が逆向きに動く理由、計量がないと矢印にできない事情、勾配との違い、引き戻しの自由さ、閉形式と完全形式の差までを扱います。