数列の極限の定義（ε-N論法）

数列の極限を厳密に定義するのが ε-N 論法です。「限りなく近づく」という直観を、不等式を用いて正確に表現します。

数列の収束の定義

数列 ${a_{n}}$ が $α$ に収束するとは、次が成り立つことをいいます。

$\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ a_{n} - α ∣ < ε$

日本語で書くと「任意の正数 $ε$ に対し、ある自然数 $N$ が存在して、 $n \geq N$ ならば $∣ a_{n} - α ∣ < ε$ 」となります。

このとき $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ または $a_{n} \to α$ と書きます。

$ε$ は「許容する誤差」を表します。どんなに小さな $ε$ を指定されても、十分先（ $n \geq N$ ）に行けば $a_{n}$ と $α$ の差が $ε$ 未満になる、というのがこの定義の内容です。

$N$ は $ε$ に依存して決まります。 $ε$ が小さいほど、一般に $N$ は大きくなります。

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ を証明します。

任意の $ε > 0$ をとります。アルキメデスの原理より $Nε > 1$ となる自然数 $N$ が存在します。 $n \geq N$ のとき

$\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < ε$

よって定義を満たし、 $1/ n \to 0$ です。

$lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1$ を証明します。

$\frac{n + 1}{n} - 1 = \frac{1}{n}$

なので、先ほどと同様に $N > 1/ ε$ となる $N$ をとれば、 $n \geq N$ で $∣ a_{n} - 1∣ < ε$ が成り立ちます。

数列が収束しないことを示すには、定義の否定を使います。すなわち

$\exists ε > 0, \forall N \in N, \exists n \geq N, ∣ a_{n} - α ∣ \geq ε$

がすべての $α$ に対して成り立つことを示します。

たとえば $a_{n} = (- 1)^{n}$ は収束しません。 $ε = 1$ とすると、任意の $α$ に対し、 $∣ a_{n} - α ∣ \geq 1$ となる $n$ がいくらでも大きくとれます。

収束する数列の極限は一意です。 $a_{n} \to α$ かつ $a_{n} \to β$ ならば $α = β$ です。

証明：任意の $ε > 0$ に対し、十分大きな $n$ で $∣ a_{n} - α ∣ < ε /2$ かつ $∣ a_{n} - β ∣ < ε /2$ となります。三角不等式より

$∣ α - β ∣ \leq ∣ a_{n} - α ∣ + ∣ a_{n} - β ∣ < ε$

$ε$ は任意なので $α = β$ です。

収束する数列は有界です。 $a_{n} \to α$ ならば、ある $M > 0$ が存在してすべての $n$ で $∣ a_{n} ∣ \leq M$ となります。

証明： $ε = 1$ に対応する $N$ をとると、 $n \geq N$ で $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ α ∣ + 1$ です。 $M = max {∣ a_{1} ∣, \dots, ∣ a_{N - 1} ∣, ∣ α ∣ + 1}$ とすればよいです。