数列の極限の定義（ε-N論法）｜定義の読み方と証明の書き方

「限りなく近づく」という言い方は、そのままでは証明に使えません。近づいていく動きを、止まった不等式に置き換える必要があります。

ε-N 論法はその置き換えです。許容する誤差を相手が先に決め、こちらはそれに応じた番号を返す。やり取りをこの一往復に切り詰めたものが、収束の定義になります。

数列の収束の定義

実数列 ${a_{n}}$ が実数 $α$ に収束するとは、次が成り立つことをいいます。

$\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, ∣ a_{n} - α ∣ < ε$

言葉に直せば「どんな正の数 $ε$ に対しても、ある自然数 $N$ が存在して、 $n \geq N$ を満たすすべての $n$ で $∣ a_{n} - α ∣ < ε$ が成り立つ」という主張です。

このとき $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ または $a_{n} \to α$ と書き、 $α$ をこの数列の極限と呼びます。

$∣ a_{n} - α ∣ < ε$ は $α - ε < a_{n} < α + ε$ と同じことです。区間 $(α - ε, α + ε)$ を $α$ の $ε$ 近傍といいます。

近傍の言葉に移すと、定義は別の顔を見せます。 $α$ のどの $ε$ 近傍を取っても、その外側にある項は有限個しかない、という主張です。

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	<text x="52" y="124" font-size="11" fill="#1b81e0">α</text>
	<text x="26" y="109" font-size="11" fill="#9a9a9a">α + ε</text>
	<text x="26" y="139" font-size="11" fill="#9a9a9a">α - ε</text>
	<text x="196" y="40" font-size="11" fill="#1f1f1f">N 以降の項はすべて帯の中に入る</text>
	<text x="176" y="232" font-size="11" fill="#d0562a">N</text>
	<text x="432" y="232" font-size="11" fill="#9a9a9a">n</text>
</svg>

帯の幅が $ε$ 、帯に入りきる境目の番号が $N$ です。帯の外にいるのは灰色の 4 項だけで、そこから先はすべて中に収まっています。

$ε$ を小さくすれば帯は細くなり、境目は右へ動きます。どこまで細くしてもいつかは全部入る、というのが収束の内容です。

定義の意味

$ε$ は許容する誤差です。相手がどれだけ小さな $ε$ を出してきても、こちらは条件を満たす $N$ を用意できる、という形の主張になっています。

$N$ は $ε$ に依存します。帯を細くすれば、中に入りきるまでに必要な番号は一般に大きくなるからです。依存を強調して $N (ε)$ と書くこともあります。

$N$ は一意ではありません。ある $N$ で条件が成り立てば、それより大きいどの番号でも成り立ちます。

したがって最小の $N$ を求めることは定義の要求に含まれていません。証明では、扱いやすい $N$ を大まかに取れば十分です。

すべての正の数より小さい非負の数は 0 である

$x \geq 0$ が、すべての $ε > 0$ に対して $x < ε$ を満たすとします。このとき $x = 0$ です。

証明は一行で済みます。 $x > 0$ と仮定すれば $ε = x$ が取れて $x < x$ となり、これは矛盾です。

当たり前に見えますが、ε-N 論法の締めくくりでは繰り返しこれを使います。「 $ε$ を任意に取って不等式を示し、最後に $ε$ を消す」という運び方は、すべてこの補題に支えられています。

量化子の順序

定義では $ε$ のほうが $N$ より先です。この順序を入れ替えると、まったく別の主張になります。

$\exists N \in N, \forall ε > 0, \forall n \geq N, ∣ a_{n} - α ∣ < ε$

$N$ を先に固定してから、あとから来るあらゆる $ε$ に耐えろ、という条件です。 $n \geq N$ では $∣ a_{n} - α ∣$ がすべての正の数より小さいので、前節の補題から $a_{n} = α$ が出ます。

つまりこの条件は「途中から定数 $α$ になる」ことと同値です。収束を表すどころか、ほとんどの数列を排除してしまいます。

\forall ε

が先

$ε$ を受け取ってから $N$ を決める。 $N$ は $ε$ に依存してよい。ふつうの収束の定義。

\exists N

が先

$N$ を先に決め、あらゆる $ε$ に耐えることを要求する。 $n \geq N$ で $a_{n} = α$ となることと同値。

量化子の順序は書き方の癖ではなく、主張そのものを決めています。読むときは $\forall$ と $\exists$ の並びを先に確認するのが確実です。

定義を書き換えても変わらないところ

定義のいくつかの部分は、書き換えても意味が変わりません。教科書ごとの流儀の違いは、たいていここに収まります。

不等号を

\leq

にしてよい

$∣ a_{n} - α ∣ \leq ε$ に変えても同値になる。与えられた $ε$ に対して $ε /2$ 版の条件を使えば、 $\leq ε /2 < ε$ となる。

n \geq N

を

n > N

にしてよい

$N$ を 1 つずらすだけで移り合う。どちらの流儀の教科書もある。

ε

を小さい範囲に限ってよい

$0 < ε < 1$ についてだけ確かめれば十分である。 $ε \geq 1$ の場合は $ε = 1/2$ の条件から従う。

ε

を定数倍してよい

$ε$ に依存しない $K > 0$ について $∣ a_{n} - α ∣ < K ε$ が示せれば、収束が従う。 $ε / K$ に対して同じ議論を回せばよい。

最後の言い換えはとくに役に立ちます。証明の途中で $2 ε$ や $3 ε$ が出てきても、係数をそろえ直す手間は不要です。

具体例： $1/ n$ の収束

示したいのは $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ です。

任意の $ε > 0$ を取ります。アルキメデスの原理により $N ε > 1$ となる自然数 $N$ が存在します。

$n \geq N$ のとき、次の評価が成り立ちます。

$\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < ε$

定義を満たすので $1/ n \to 0$ です。

$ε = 0.01$ なら $N = 101$ で足ります。 $ε = 1 0^{- 6}$ なら $N = 1 0^{6} + 1$ です。 $ε$ が 100 分の 1 になると $N$ は 100 倍になり、この比例関係がそのまま収束の速さを表しています。

アルキメデスの原理はどこから来るか

前節の証明はアルキメデスの原理に寄りかかっています。これは自明な事実ではなく、実数の連続性から導かれる定理です。

証明の要にあるアルキメデスの原理は、実数がどれだけ大きな数も自然数で追い越せることを保証します。

どんな実数 $x$ と正の数 $ε$ に対しても、 $n ε > x$ となる自然数 $n$ が存在するという主張。

背理法で示します。ある $x > 0$ と $ε > 0$ について、すべての自然数 $n$ で $n ε \leq x$ が成り立つとします。

すると集合 ${n ε : n \in N}$ は上に有界なので、上限 $s$ を持ちます。 $s - ε$ は上界ではないので、 $n_{0} ε > s - ε$ となる $n_{0}$ が必ず存在するはずです。

両辺に $ε$ を足すと $(n_{0} + 1) ε > s$ となり、 $s$ が上界であることに矛盾します。

上限の存在を使っているところが肝心です。順序体でありさえすればよいわけではありません。有理関数体 $R (x)$ に $x$ をすべての実数より大きいとする順序を入れると、どの自然数 $n$ でも $n \cdot 1 < x$ となり、アルキメデス性は破れます。

具体例： $\frac{2 n}{3 n + 2}$ の収束

示したいのは $lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{3 n + 2} = \frac{2}{3}$ です。まず差を通分して整理します。

$\frac{2 n}{3 n + 2} - \frac{2}{3} = \frac{6 n - 2 ( 3 n + 2 )}{3 ( 3 n + 2 )} = \frac{4}{3 ( 3 n + 2 )}$

ここで分母を小さく見積もります。 $3 (3 n + 2) > 9 n$ なので、右辺は $\frac{4}{9 n}$ より小さいはずです。

アルキメデスの原理から $9 N ε > 4$ となる $N$ を取れば、 $n \geq N$ で $\frac{4}{9 n} \leq \frac{4}{9 N} < ε$ です。

分母を小さくして分数全体を大きく見積もる、というのが定石です。 $N$ を最小に追い込む必要はありません。 $ε$ より小さいことさえ言えれば、定義は満たされています。

具体例： $0.999 \dots$ が 1 に等しい理由

小数点以下に 9 が $n$ 個並ぶ数を $a_{n}$ とします。 $a_{n} = 1 - 1 0^{- n}$ です。

$∣ a_{n} - 1∣ = 1 0^{- n}$ であり、 $1 0^{n} \geq n$ から $1 0^{- n} \leq \frac{1}{n}$ が成り立ちます。

アルキメデスの原理より $N > \frac{1}{ε}$ を取れば、 $n \geq N$ で $∣ a_{n} - 1∣ \leq \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < ε$ となります。

$0.999 \dots = 1$ という等式は、この極限のことを指しています。左辺は「1 よりわずかに小さい別の数」ではなく、数列 ${a_{n}}$ の極限を表す記号です。

極限が 1 である以上、等号は文字どおりの意味で成り立っています。無限小数という記法が極限の省略形だと知れば、不思議に見えていたところは消えます。

具体例：等比数列の収束

$∣ q ∣ < 1$ のとき $q^{n} \to 0$ です。 $q = 0$ は明らかなので $0 < ∣ q ∣ < 1$ とします。

$\frac{1}{∣ q ∣} > 1$ なので $\frac{1}{∣ q ∣} = 1 + h$ と書けて、 $h > 0$ です。ベルヌーイの不等式 $(1 + h)^{n} \geq 1 + nh$ を使います。

$∣ q^{n} - 0∣ = \frac{1}{( 1 + h ) ^{n}} \leq \frac{1}{1 + nh} < \frac{1}{nh}$

アルキメデスの原理から $N h ε > 1$ となる $N$ が取れます。 $n \geq N$ ならば $\frac{1}{nh} \leq \frac{1}{N h} < ε$ です。

$h$ は $q$ から決まる定数で、 $ε$ には依存しません。 $∣ q ∣$ が 1 に近いほど $h$ は小さく、必要な $N$ は大きくなります。

$∣ q ∣ > 1$ のときは発散し、 $q = 1$ は 1 に収束する定数列です。 $q = - 1$ の場合は後で扱います。

具体例： $\frac{n}{2 ^{n}}$ の収束

分子が 1 次で分母は指数なので 0 に収束しそうです。それを不等式で確かめます。

$n \geq 2$ のとき、二項定理の展開から 1 項だけ残せば次が得られます。

$2^{n} = (1 + 1)^{n} \geq (2 n) = \frac{n ( n - 1 )}{2}$

したがって $0 < \frac{n}{2 ^{n}} \leq \frac{2 n}{n ( n - 1 )} = \frac{2}{n - 1}$ です。

$N \geq 2$ かつ $N > 1 + \frac{2}{ε}$ を満たす自然数 $N$ を取れば、 $n \geq N$ で $\frac{2}{n - 1} < ε$ です。

展開のうち都合のよい 1 項だけを残す、という削り方がここでの要点になります。全部の項を扱う必要はありません。

具体例： $n$ の $n$ 乗根の収束

$n n \to 1$ を示します。 $n \geq 2$ では $n n > 1$ なので、 $n n = 1 + δ_{n}$ と置くと $δ_{n} > 0$ です。

両辺を $n$ 乗し、二項展開のうち 2 次の項だけを残します。

$n = (1 + δ_{n})^{n} \geq (2 n) δ_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2} δ_{n}^{2}$

整理すると $δ_{n}^{2} \leq \frac{2}{n - 1}$ 、つまり $0 < δ_{n} \leq \frac{2}{n - 1}$ です。

$N \geq 2$ かつ $N > 1 + \frac{2}{ε ^{2}}$ を取れば、 $n \geq N$ で $∣ n n - 1∣ = δ_{n} < ε$ となります。

ベルヌーイの不等式では足りません。 $(1 + δ_{n})^{n} \geq 1 + n δ_{n}$ からは $δ_{n} \leq \frac{n - 1}{n}$ しか出ず、1 未満だとわかるだけで 0 に近づく根拠になりません。2 次の項まで残す必要があります。

同じ手を $n a$ （ $a > 1$ ）に使うと、 $a = (1 + η_{n})^{n} \geq 1 + n η_{n}$ から $0 < η_{n} \leq \frac{a - 1}{n}$ が出ます。こちらは分子が定数なので、1 次の項だけで十分です。

収束しないことの証明

収束しないことを示すには、定義の否定を機械的に作ります。 ${a_{n}}$ が $α$ に収束しないとは、次が成り立つことです。

$\exists ε > 0, \forall N \in N, \exists n \geq N, ∣ a_{n} - α ∣ \geq ε$

$\forall$ と $\exists$ を入れ替え、最後の不等式を否定しただけです。「ある $ε$ については、どこまで先へ行っても帯の外へ出る項がある」と読みます。

数列が発散するというためには、これがすべての実数 $α$ について成り立つことを示さなければなりません。 $α$ を 1 つ選んで否定するだけでは足りません。

具体例： $(- 1)^{n}$ は収束しない

$ε = 1$ と取ります。実数 $α$ を任意に固定すると、偶数番目では $∣ a_{n} - α ∣ = ∣1 - α ∣$ 、奇数番目では $∣ a_{n} - α ∣ = ∣1 + α ∣$ です。

三角不等式から $∣1 - α ∣ + ∣1 + α ∣ \geq ∣ (1 - α) + (1 + α) ∣ = 2$ が成り立つので、少なくとも一方は 1 以上になります。

$∣1 - α ∣ \geq 1$ なら偶数の $n$ を、 $∣1 + α ∣ \geq 1$ なら奇数の $n$ を選びます。どちらもいくらでも大きく取れるので、否定の条件が満たされるわけです。

$α$ は任意だったので、 $(- 1)^{n}$ はどの実数にも収束しません。1 と $- 1$ という 2 つの値のあいだを往復し続けるからです。

無限大への発散

収束しない数列のうち、際限なく大きくなるものは別に名前がついています。 ${a_{n}}$ が $+ \infty$ に発散するとは、次が成り立つことです。

$\forall M > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N, a_{n} > M$

$ε$ が「小さい誤差」だったのに対し、 $M$ は「大きい基準」です。論理式の形は同じで、押さえ込む向きだけが逆になっています。

収束の定義

どんなに小さい $ε$ を出されても、ある番号から先はすべて $α$ との差が $ε$ 未満になる。

正の無限大への発散

どんなに大きい $M$ を出されても、ある番号から先はすべて $M$ を超える。

$a_{n} = n$ は $+ \infty$ に発散します。アルキメデスの原理から $N > M$ となる自然数が取れるからです。

発散と振動は区別します。 $(- 1)^{n}$ はどの実数にも収束せず、 $+ \infty$ にも $- \infty$ にも発散しません。この場合を振動といいます。

極限の一意性

$a_{n} \to α$ かつ $a_{n} \to β$ ならば $α = β$ です。

任意の $ε > 0$ を取ります。前者から $N_{1}$ 、後者から $N_{2}$ が得られ、 $n \geq max {N_{1}, N_{2}}$ では両方の不等式が同時に成り立ちます。

そのような $n$ を 1 つ選び、三角不等式で $α$ と $β$ をつなぎます。

$∣ α - β ∣ \leq ∣ α - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - β ∣ < 2 ε$

$ε$ は任意なので、はじめに置いた補題から $∣ α - β ∣ = 0$ 、すなわち $α = β$ です。

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	<text x="167" y="110" font-size="11" fill="#1f1f1f">α</text>
	<text x="317" y="110" font-size="11" fill="#1f1f1f">β</text>
	<text x="126" y="62" font-size="11" fill="#1b81e0">α の ε 近傍</text>
	<text x="278" y="62" font-size="11" fill="#d0562a">β の ε 近傍</text>
	<text x="96" y="136" font-size="11" fill="#9a9a9a">ε を距離の半分に取ると、2 つの近傍は重ならない</text>
</svg>

図で見ると事情がはっきりします。 $α \neq = β$ なら $ε$ を距離の半分に取ることで 2 つの $ε$ 近傍が離れ、同じ項が両方に入ることはできなくなります。

背理法で書くならこの形になり、補題を使えば背理法なしで済みます。どちらも中身は同じで、 $ε$ を距離に比べて小さく取ったところが要です。

有界性

収束する数列は有界です。 $a_{n} \to α$ ならば、ある $M > 0$ が存在してすべての $n$ で $∣ a_{n} ∣ \leq M$ となります。

$ε = 1$ に対応する $N$ を取ります。 $n \geq N$ では三角不等式から $∣ a_{n} ∣ \leq ∣ a_{n} - α ∣ + ∣ α ∣ < 1 + ∣ α ∣$ です。

残るのは $a_{1}, \dots, a_{N - 1}$ の有限個だけなので、最大値が取れます。

$M = max {∣ a_{1} ∣, \dots, ∣ a_{N - 1} ∣, 1 + ∣ α ∣}$

$ε = 1$ で $N$ を取る

$N$ 以降を $1 + ∣ α ∣$ で押さえる

残った有限個の最大値と合わせる

有限個なら最大値が取れる、という一点だけが効いています。無限個の項を一度に押さえようとすると行き詰まるので、 $N$ で切って前後を別々に扱います。

逆は成り立ちません。 $(- 1)^{n}$ は $∣ a_{n} ∣ = 1$ で有界ですが、収束しない例でした。

極限の和

$a_{n} \to α$ 、 $b_{n} \to β$ のとき $a_{n} + b_{n} \to α + β$ です。

任意の $ε > 0$ に対し、 ${a_{n}}$ 側は $ε /2$ を使って $N_{1}$ 、 ${b_{n}}$ 側も $ε /2$ を使って $N_{2}$ を取ります。

$N = max {N_{1}, N_{2}}$ とすれば、 $n \geq N$ で次が成り立ちます。

$∣ (a_{n} + b_{n}) - (α + β) ∣ \leq ∣ a_{n} - α ∣ + ∣ b_{n} - β ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

誤差を 2 つに割り振るこの手口を $ε /2$ 論法といいます。3 か所に分けたければ $ε /3$ にすればよく、定数倍の言い換えを認めるなら割り振り自体が不要です。

極限の積

$a_{n} b_{n} \to α β$ です。差を 2 つに分けるところから始めます。

$a_{n} b_{n} - α β = a_{n} (b_{n} - β) + β (a_{n} - α)$

${a_{n}}$ は収束するので有界です。 $∣ a_{n} ∣ \leq M_{0}$ となる $M_{0}$ を取り、 $M = M_{0} + ∣ β ∣ + 1$ と置けば $M > 0$ で、 $∣ a_{n} ∣ \leq M$ と $∣ β ∣ \leq M$ が同時に成り立ちます。

$a$ 側と $b$ 側をそれぞれ $\frac{ε}{2 M}$ で押さえると、次のようにまとまります。

$∣ a_{n} b_{n} - α β ∣ \leq ∣ a_{n} ∣∣ b_{n} - β ∣ + ∣ β ∣∣ a_{n} - α ∣ < M \cdot \frac{ε}{2 M} + M \cdot \frac{ε}{2 M} = ε$

有界性がここで効いています。 $∣ b_{n} - β ∣$ をいくら小さくしても、 $∣ a_{n} ∣$ が際限なく大きくなれば積は小さくなりません。

極限の商

$b_{n} \to β$ かつ $β \neq = 0$ のとき $\frac{1}{b _{n}} \to \frac{1}{β}$ です。これと積の結果を合わせれば、商の場合が出ます。

まず分母が 0 から離れることを示します。 $ε = \frac{∣ β ∣}{2}$ に対応する $N_{0}$ を取れば、 $n \geq N_{0}$ では次のとおりです。

$∣ b_{n} ∣ \geq ∣ β ∣ - ∣ b_{n} - β ∣ > ∣ β ∣ - \frac{∣ β ∣}{2} = \frac{∣ β ∣}{2}$

とくに $n \geq N_{0}$ では $b_{n} \neq = 0$ なので、 $\frac{1}{b _{n}}$ が定義できます。この範囲で差を評価します。

$\frac{1}{b _{n}} - \frac{1}{β} = \frac{∣ β - b _{n} ∣}{∣ b _{n} ∣∣ β ∣} < \frac{2}{∣ β ∣ ^{2}} ∣ b_{n} - β ∣$

$∣ b_{n} - β ∣ < \frac{∣ β ∣ ^{2}}{2} ε$ となる $N_{1}$ を取り、 $N = max {N_{0}, N_{1}}$ とすればよいわけです。

はじめの数項で $b_{n} = 0$ になっていても構いません。極限は先の挙動だけで決まるので、有限個の項は結論に影響しないからです。

順序の保存

十分大きいすべての $n$ で $a_{n} \leq b_{n}$ が成り立ち、両方が収束するなら $lim a_{n} \leq lim b_{n}$ です。

$α = lim a_{n}$ 、 $β = lim b_{n}$ と置き、 $β < α$ と仮定します。 $ε = \frac{α - β}{2} > 0$ を取ると、十分大きい $n$ で $b_{n} < β + ε$ と $a_{n} > α - ε$ が同時に成り立つはずです。

$β + ε$ と $α - ε$ はどちらも $\frac{α + β}{2}$ に等しいので、 $b_{n} < a_{n}$ となって仮定に反します。

狭義の不等号は保たれません。 $a_{n} = 0$ と $b_{n} = \frac{1}{n}$ はすべての $n$ で $a_{n} < b_{n}$ ですが、極限はどちらも 0 です。

極限を取ると差が潰れることがある、と覚えておけば十分です。不等号が緩む方向にしか動かないので、 $\leq$ で書いておけば安全になります。

はさみうちの原理

十分大きい $n$ で $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ が成り立ち、 $a_{n} \to α$ かつ $b_{n} \to α$ ならば $c_{n} \to α$ です。

任意の $ε > 0$ に対し、 $a$ 側の $N_{1}$ と $b$ 側の $N_{2}$ を取り、挟み込みが成り立つ番号と合わせて $N$ を決めます。 $n \geq N$ では次の 4 つが一列に並びます。

$α - ε < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < α + ε$

両端だけを見れば $∣ c_{n} - α ∣ < ε$ です。

${c_{n}}$ が収束することを仮定していないところが要点です。挟むだけで、収束することと極限の値が同時に手に入ります。

たとえば $- \frac{1}{n} \leq \frac{s i n n}{n} \leq \frac{1}{n}$ から $\frac{s i n n}{n} \to 0$ が出ます。 $sin n$ 自体は収束しませんが、 $\frac{1}{n}$ に押さえられるので結論は言えます。

数列 ${a_{n}}$ について「ある $N$ が存在して、すべての $ε > 0$ とすべての $n \geq N$ で $∣ a_{n} - α ∣ < ε$ が成り立つ」という条件を考える。この条件の意味はどれか。

ふつうの収束の定義と同じ意味である
$n \geq N$ ではすべて $a_{n} = α$ となる
数列が有界であることと同値である
どんな数列でも自動的に成り立つ

__RESULT__

$N$ を先に固定しているので、 $n \geq N$ では $∣ a_{n} - α ∣$ がすべての正の数より小さいことになる。非負でそうなる数は 0 だけである。

参考文献

Limit of a sequence

(ε, δ)-definition of limit-definition_of_limit)

Limit of nth root of n

Maths220: Proofs in calculus

Suites numériques

Suites réelles et complexes

Limite d'une suite : Suites de nombres réels

华师大数学分析第二章数列极限

Konvergenz von Folgen

The Archimedean Property

数列の収束を、ε と N の不等式で定義する。量化子の順序が意味を決めていることを確かめ、具体例ごとに N の取り方を示したうえで、一意性・有界性・四則演算・はさみうちを定義だけから証明する。