関数の極限（ε-δ論法）

関数の極限を厳密に定義するのが ε-δ 論法です。$x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ が $L$ に近づく、という直観を不等式で表現します。

関数の極限の定義

$f$ を $a$ の近くで定義された関数とします。${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ であるとは、次が成り立つことをいいます。

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

「任意の $\epsilon >0$ に対し、ある $\delta >0$ が存在して、$0<|x-a|<\delta$ ならば $|f(x)-L|<\epsilon$」という意味です。

$0<|x-a|$ という条件は $x\ne a$ を意味し、$x=a$ での $f$ の値は極限の定義に関係しません。

定義の意味

$\epsilon$ は出力側の許容誤差、$\delta$ は入力側の許容範囲です。「$f(x)$ を $L$ に $\epsilon$ 未満の精度で近づけたいなら、$x$ を $a$ に $\delta$ 未満の精度で近づければよい」というのがこの定義の内容です。

$\delta$ は $\epsilon$ に依存して決まり、一般に $\epsilon$ が小さいほど $\delta$ も小さくなります。

具体例：${\lim }_{x\to 2}(3x-1)=5$

任意の $\epsilon >0$ をとります。$\delta =\epsilon /3$ とおくと、$0<|x-2|<\delta$ のとき

$$|(3x-1)-5|=|3x-6|=3|x-2|<3\delta =\epsilon$$

よって ${\lim }_{x\to 2}(3x-1)=5$ です。

具体例：${\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$

任意の $\epsilon >0$ をとります。$\delta =\sqrt{\epsilon }$ とおくと、$0<|x|<\delta$ のとき

$$|x^2-0|=x^2<{\delta }^2=\epsilon$$

よって ${\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$ です。

片側極限

右側極限と左側極限は次のように定義されます。

${\lim }_{x\to a+}f(x)=L$：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,0<x-a<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

${\lim }_{x\to a-}f(x)=L$：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,0<a-x<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ が存在することと、両側極限が存在して一致することは同値です。

無限大での極限

$x\to \infty$ での極限は次のように定義されます。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L⟺\forall \epsilon >0,\exists M>0,x>M\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

極限が無限大の場合

${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$ は次のように定義されます。

$$\forall K>0,\exists \delta >0,0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>K$$

これは「$x$ を $a$ に十分近づければ $f(x)$ をいくらでも大きくできる」という意味です。

極限の演算

極限が存在するとき、次の演算法則が成り立ちます。${\lim }_{x\to a}f(x)=L$, ${\lim }_{x\to a}g(x)=M$ とすると

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)+g(x))=L+M,\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)=LM$$

$M\ne 0$ ならば ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$ も成り立ちます。