近づくとはどういうことか？関数の極限とイプシロンデルタ論法

「$x$ が $a$ に近づくと $f(x)$ が $L$ に近づく」という説明は、近づくという言葉で近づくことを説明しています。絵としては分かっても、証明の材料にはならない。

$\epsilon$-$\delta$ 論法はこの循環を切ります。動きを追いかけるのをやめ、$2$ つの不等式の関係に置きかえる方法です^[1]。

以下では定義を書き下し、量化子の順序がなぜ本質なのかを見ます。そのあと計算例を並べ、片側極限や無限大の場合、極限が存在しないことの示し方、数列による言いかえまで扱います。

定義

$f$ を $a$ の近くで定義された関数とします。$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ とは、次が成り立つことです^[1,2]。

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

$\epsilon$ は出力側に許す誤差、$\delta$ は入力側で確保する幅です。「$f(x)$ を $L$ から $\epsilon$ 未満に収めたいなら、$x$ を $a$ から $\delta$ 未満に収めればよい」と読みます。

近づくという動きは出てきません。どんな精度を要求されても応えられる、という静的な条件に置きかわっています。

順序が本質

$3$ つの量化子が $\forall \epsilon$、$\exists \delta$、$\forall x$ の順に並んでいます。この順序を入れかえると別の主張になる。

$\exists \delta$ が $\forall \epsilon$ より後ろにあるので、$\delta$ は $\epsilon$ を見てから選べます。要求が厳しくなれば、それに応じて幅を狭めればよい。

逆に $\forall x$ は $\exists \delta$ より後ろです。いったん $\delta$ を決めたら、その範囲のすべての $x$ で不等式が成り立たなければなりません。

δ は ε の関数として作る

証明では $\delta$ を $\epsilon$ の式で書き下します。$\delta$ が存在すればよいので、最良のものを探す必要はありません。

条件を満たす $\delta$ が $1$ つ見つかれば、それより小さい正の数もすべて条件を満たします。ゆるく見積もってかまわない。

実際の答案では、まず $|f(x)-L|$ を $|x-a|$ の式で上から押さえます。押さえた式が $\epsilon$ 未満になるように $\delta$ を逆算する、という順序です。

a 自身を除く理由

条件の左側が $0<|x-a|$ になっています。等号を許さないので、$x=a$ は範囲から外れる。

極限は $a$ の近くでの振る舞いを見るものであり、$a$ での値とは関係しません。$f$ が $a$ で定義されていなくても極限は考えられます^[2]。

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

この関数は $x=1$ で定義されません。それでも $x\ne 1$ では $x+1$ に等しいので、極限は $2$ です。

$f(a)$ が定義されていて、しかも極限と一致するとき、$f$ は $a$ で連続だといいます。極限と連続は別の条件になります。

例 1：1 次関数

$\underset{x\to 2}{\lim }(3x-1)=5$ を示します。差を $|x-2|$ の式に直すところから始める。

$$|(3x-1)-5|=3|x-2|$$

これが $\epsilon$ 未満になればよいので、$|x-2|<\frac{\epsilon }{3}$ で足ります。$\delta =\frac{\epsilon }{3}$ と置けば終わり。

$1$ 次関数では傾きで割るだけです。傾きが急なほど $\delta$ は小さくなります。

例 2：2 次関数

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2=0$ では、差が $x^2$ そのものです。

$\delta =\sqrt{\epsilon }$ と置くと、$|x|<\delta$ から $x^2<\epsilon$ が出ます。平方根が現れるのは、差が $2$ 次で効いているからです。

例 3：中心が 0 でない 2 次関数

$\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2=1$ になると、ひと工夫が要ります。差を因数分解します。

$$|x^2-1|=|x-1||x+1|$$

$|x+1|$ が $x$ に依存するので、このままでは $\epsilon$ で割れません。そこで $\delta$ をあらかじめ $1$ 以下に制限します。

$|x-1|<1$ なら $0<x<2$ で $|x+1|<3$ です。よって $|x^2-1|<3|x-1|$ と押さえられる。

$$\delta =\min \left(1,\frac{\epsilon }{3}\right)$$

$\min$ で $2$ つの条件を同時に満たします。片方は押さえを作るため、もう片方は $\epsilon$ に合わせるためです。

例 4：分数関数

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$ を示します。通分してから絶対値をとる。

$$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|=\frac{|x-3|}{3|x|}$$

分母の $|x|$ が小さくなると全体が大きくなるので、$|x|$ を下から押さえます。$|x-3|<1$ なら $2<x<4$ で $|x|>2$ です。

$$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|<\frac{|x-3|}{6}$$

$\delta =\min (1,6\epsilon )$ と置けば示せます。分数では分母を下から押さえる、が定石です。

例 5：平方根

$\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt{x}=2$ では、有理化が効きます。

$$|\sqrt{x}-2|=\frac{|x-4|}{\sqrt{x}+2}$$

分母は $x\ge 0$ でつねに $2$ 以上です。よって $|\sqrt{x}-2|\le \frac{|x-4|}{2}$ となり、$\delta =2\epsilon$ で足ります。

押さえが $x$ の範囲によらない場合は、$\min$ を使う必要がありません。

例 6：三角関数

$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$ は $|\sin x|\le |x|$ から出ます。$\delta =\epsilon$ で終わり。

この不等式は単位円の弧と弦の長さを比べれば見えます。弦のほうが短いので、正弦の絶対値は弧長を超えません。

例 7：はさみうち

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$ を示します。正弦は $x$ によらず $1$ 以下です。

$$\left|x^2\sin \frac{1}{x}\right|\le x^2$$

$\delta =\sqrt{\epsilon }$ で足ります。$\sin \frac{1}{x}$ は原点近くで激しく振動しますが、$x^2$ が押さえ込んでいる。

例 8：3 次関数

$\underset{x\to 1}{\lim }{x}^3=1$ も同じ手順です。因数分解して残りを押さえます。

$$|x^3-1|=|x-1||x^2+x+1|$$

$|x-1|<1$ なら $0<x<2$ で $|x^2+x+1|<7$ です。$\delta =\min \left(1,\frac{\epsilon }{7}\right)$ と置けば示せます。

次数が上がっても手順は変わりません。$\delta$ を $1$ で頭打ちにして残りの因子を数で押さえる、を繰り返すだけです。

片側極限

$a$ の片側からだけ寄る場合は、条件の左側を書きかえます^[1]。

右側極限は $0<x-a<\delta$、左側極限は $0<a-x<\delta$ です。絶対値を外して向きを固定した形になります。

両側の極限が存在して一致することと、$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ が存在することは同値です。片方だけ存在しても全体の極限にはなりません。

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}=0$ は $\delta ={\epsilon }^2$ で示せます。負の側では定義されないので、右側極限しか考えられない。

無限大がからむ場合

$x$ が大きくなる側では、$\delta$ の役目を大きな数 $M$ が担います。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L⟺\forall \epsilon >0,\exists M,x>M\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ なら $M=\frac{1}{\epsilon }$ と置けば示せます。

値のほうが発散する場合は、$\epsilon$ の役目を大きな数 $K$ が担います。

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty ⟺\forall K>0,\exists \delta >0,0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>K$$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=\infty$ は $\delta =\frac{1}{\sqrt{K}}$ で示せます。「いくらでも大きくできる」を不等式に直した形です。

定義を否定する

極限が存在しないことを示すには、定義の否定を書きます。量化子をひっくり返す。

$$\exists \epsilon >0,\forall \delta >0,\exists x,0<|x-a|<\delta \wedge |f(x)-L|\ge \epsilon$$

$\forall$ と $\exists$ が入れかわり、最後の含意が「前提が成り立つのに結論が成り立たない」の形になります。

こうして書くと、示すべきことがはっきりします。悪さをする $\epsilon$ を $1$ つ用意し、どんな $\delta$ に対しても反例の $x$ を作ればよい。

例 9：極限が存在しないことの証明

$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$ が存在しないことを示します。数列を $2$ 本つくると早い。

$$x_n=\frac{1}{n\pi },y_n=\frac{1}{2n\pi +\pi /2}$$

どちらも $0$ に収束します。ところが $\sin \frac{1}{x_n}=0$、$\sin \frac{1}{y_n}=1$ で、行き先が割れる。

極限が $L$ だったとすると、両方の数列で $f$ の値が $L$ に近づかなければなりません。$0$ と $1$ の両方には近づけないので、そんな $L$ は存在しない。

数列による言いかえ

いま使った議論は、定義の言いかえとして正式に通ります。ハイネによる特徴づけです^[1,2]。

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ であることと、$a$ に収束する任意の数列 $x_n$（ただし $x_n\ne a$）について $f(x_n)\to L$ となることは同値です。

$\epsilon$-$\delta$ から数列の主張を出すのは簡単です。$\delta$ をとり、数列が $a$ に収束することから番号を選べばよい。

逆向きは対偶で示します。極限が $L$ でないなら、否定の形から $\epsilon$ が $1$ つとれる。各 $n$ について $\delta =\frac{1}{n}$ に対する反例 $x_n$ を選ぶと、$x_n\to a$ なのに $f(x_n)$ は $L$ に寄りません。

極限が存在しないことを示すときは、数列のほうが手軽です。$2$ 本つくって行き先を割れば済みます。

演算法則の証明

和については $\epsilon$ を半分ずつに割ります。$\lim f=L$、$\lim g=M$ とします。

それぞれの定義から ${\delta }_1$ と ${\delta }_2$ をとり、$\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ と置きます。三角不等式で $2$ つに分ける。

$$|f(x)+g(x)-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}$$

積では $|f(x)g(x)-LM|$ を $|f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|$ と分けます。$|f(x)|$ が $L$ の近くで有界になることを先に押さえる必要がある。

$\epsilon$ を何等分するかは、項がいくつ出るかで決まります。$3$ 項なら $3$ 等分、という具合です。

合成では成り立たない

極限は合成について素直に振る舞いません。$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$ で $\underset{u\to b}{\lim }g(u)$ が存在しても、$g(f(x))$ の極限については何も言えない^[2]。

$f$ が $a$ の近くで値 $b$ をとってしまうと、$g$ の定義から除かれていた点 $u=b$ が効いてきます。$g(b)$ が極限と食い違えばそこで壊れる。

$g$ が $b$ で連続なら大丈夫です。あるいは $f$ が $a$ の近くで $b$ を値にとらなければ成り立ちます。

連続関数どうしの合成が連続になるのは、この条件が自動的に満たされるからです。極限のまま扱うときだけ注意が要ります。

誰が作ったか

$\epsilon$-$\delta$ の形をした定義は、ボルツァーノが $1817$ 年に連続関数を定めるために書いたものが最初とされます^[3]。

コーシーは $1821$ 年の教程で極限と連続を扱い、$1823$ 年には $\epsilon$ と $\delta$ の記号も使いました。ただし $\delta$ を $\epsilon$ の関数として指定することはしていません。

いまの形にまとまったのはワイエルシュトラスの $1861$ 年の講義です。$\lim$ の記号もこのときに導入されました^[1]。

よくある誤り

答案の骨は毎回同じ。$|f(x)-L|$ を $|x-a|$ の式で押さえ、そこから $\delta$ を逆算する。この $2$ 手順に落とせば、関数が変わっても迷いません。

参考文献

^[1] が定義・片側極限・無限大の場合・数列による特徴づけと歴史、^[2] がドイツ語での定義と合成の反例、^[3] がボルツァーノからワイエルシュトラスまでの経緯、^[4] がフランス語での定式化、^[5] が連続性との関係です。