テイラー展開の計算問題〜既知の展開に代入して組み立てる

$e^{-x^2}$ のマクローリン展開は、$e^u$ の展開に $u=-x^2$ をいれれば書けます。

$$e^{-x^2}=1+(-x^2)+\frac{(-x^2{)}^2}{2!}+\frac{(-x^2{)}^3}{3!}+\cdots =1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\cdots$$

6 回微分しても係数は同じ。内側の関数が $x=0$ で $0$ になるなら、この代入はいつでも通ります^[1]。$u=-x^2$ はその条件を満たしている。

出発点になる展開

$x=0$ のまわりの展開では、次の 5 つが土台になる。かっこの中は収束する範囲です。

二項展開の $a=-1$ で $x$ の符号を変えると $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$ になります。等比級数の和そのもので、ここから対数と $\arctan$ の展開もたどれる。

例 1：$e^x\sin x$ を $x^5$ まで

両方を $x^5$ まで書き出し、かけて次数ごとに集めます。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots ,\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$$

$x^4$ の係数は $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}$ で消えます。$x^5$ は $\frac{1}{24}-\frac{1}{12}+\frac{1}{120}=-\frac{1}{30}$ になる。

$$e^x\sin x=x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}+\cdots$$

かけて $x^6$ 以上になる組み合わせは、$x^5$ までの係数に関わらない。用意するのは両方とも $x^5$ までで十分です。

例 2：$\tan x$ を $x^5$ まで

$\tan x=a_{1}x+a_3{x}^3+a_5{x}^5+\cdots$ と置き、$\sin x=\tan x\cdot \cos x$ の係数を比べます。奇関数だから偶数次の係数は $0$。

$$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots =(a_{1}x+a_3{x}^3+a_5{x}^5+\cdots )\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots \right)$$

$x$ から $a_1=1$、$x^3$ から $a_3-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$ で $a_3=\frac{1}{3}$。

$x^5$ では $a_5-\frac{a_3}{2}+\frac{1}{24}=\frac{1}{120}$ となり、$a_5=\frac{2}{15}$ と決まります。

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$

次の項は $\frac{17}{315}{x}^7$ で、一般の係数にはベルヌーイ数が入る。収束するのは $|x|<\frac{\pi }{2}$ の範囲です^[2]。

例 3：$\log x$ を $x=1$ のまわりで

$t=x-1$ と置くと $\log (1+t)$ になり、上に並べた形へ落ちる。

$$\log x=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\cdots$$

定義から確かめると、$n$ 階導関数は $\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ で、$x=1$ では $(-1{)}^{n-1}(n-1)!$。これを $n!$ で割ると、上の係数 $\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ に一致します。

収束する範囲は $0<x\le 2$ で、右端の $x=2$ では交代級数として $\log 2$ に収束する。

例 4：$\cos x$ を $x=\frac{\pi }{3}$ のまわりで

$f(x)=\cos x$ として、$a=\frac{\pi }{3}$ での導関数の値を順に並べます。$f(a)=\frac{1}{2}$、$f^{\prime }(a)=-\sin a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$f^{\prime \prime }(a)=-\cos a=-\frac{1}{2}$、$f^{\prime \prime \prime }(a)=\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$$\cos x\fallingdotseq \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-a)-\frac{1}{4}(x-a{)}^2+\frac{\sqrt{3}}{12}(x-a{)}^3$$

$x=1.1$ なら $x-a=0.0528\cdots$ で、4 つの項は $0.5$、$-0.0457$、$-0.00070$、$0.0000212$ と小さくなる。

打ち切った次の項は $\frac{(x-a{)}^4}{48}$ で $1.6\times 10^{-7}$ ほど。中心に近い点ほど、低い次数で精度が上がる。

例 5：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$

分子を展開すると $1$ と $x$ が消えて、最低次は $x^2$ になります。

$$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots =x^2\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+\cdots \right)$$

$x^2$ で割るとかっこの中が残り、$x\to 0$ で $\frac{1}{2}$ に近づく。展開した式の定数項が、そのまま極限の値になります^[1]。

ロピタルの定理なら 2 回微分することになります。分母の次数が上がるほど、微分の回数も増えていく。

例 6：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}$

例 2 の結果から $\tan x-x=\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$ で、$x^3$ で割れば $\frac{1}{3}$ が残ります。

分子は $x^3$ まで用意すれば足ります。$x^5$ 以上の項は、割ったあとも $x^2$ が残るため $0$ へ近づく。

例 7：$\sqrt{1.1}$ を小数第 5 位まで

二項展開に $a=\frac{1}{2}$、$x=0.1$ をいれます。

$$(1+x{)}^{1/2}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots$$

3 次までの和は $1+0.05-0.00125+0.0000625=1.0488125$。この値を 2 乗すると $1.10000766\cdots$ になり、$1.1$ をわずかに超える。

4 次の項は $-\frac{5}{128}\times 10^{-4}$、つまり $-3.9\times 10^{-6}$ です。交代級数だから、打ち切った先の 1 項が誤差の目安になります。引いた $1.0488086$ を 2 乗すると $1.09999947\cdots$ で、今度は $1.1$ を下回る。

例 8：$\sin x$ を 3 次で切ったときの誤差

ラグランジュの剰余は、$a$ と $x$ のあいだのどこかにある $c$ を使って次の形になります^[1]。

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$$

$\sin$ の 4 次の係数は $0$ だから、3 次で切った式は 4 次で切った式と同じものです。$n=4$ ととれて、5 階導関数の $\cos$ は絶対値が $1$ 以下になる^[1]。

$$|R_4|\le \frac{|x{|}^5}{120}\le \frac{0.5^5}{120}\fallingdotseq 2.60\times 10^{-4}$$

実際のずれは、打ち切った先の項を足せば見えます。$x=0.5$ では $\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\cdots$ が $2.589\times 10^{-4}$ で、上の評価とほぼ同じ値。

例 9：${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ を項別積分で

$e^{-x^2}$ の原始関数は初等関数で書けない。冒頭の展開を項ごとに積分します。

$${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(2k+1)}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10}-\frac{1}{42}+\cdots$$

部分和は $1$、$0.66667$、$0.76667$、$0.74286$、$0.74749$、$0.74673$、$0.74684$ と上下から挟んでいく。

次の項が $-1.3\times 10^{-5}$ だから、真の値は $0.74682$ と $0.74684$ のあいだ。小数第 4 位までは $0.7468$ と決まります。

この積分は誤差関数を使って $\frac{\sqrt{\pi }}{2}\mathrm{erf}(1)$ と書け、いま並べた級数は誤差関数の展開そのもの^[3]。

例 10：$\frac{1}{1+x^2}$ から $\arctan x$ へ

等比級数の $x$ を $-x^2$ に替えます。

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

$\arctan x$ はこの原始関数で、$\arctan 0=0$。項ごとに積分すると奇数次だけが残り、奇関数の形になる^[1]。

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$

$x=1$ では $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots =\frac{\pi }{4}$ になる。ただし第 $n$ 項までのずれが $\frac{1}{2n+1}$ 程度までしか下がらず、円周率の計算には向きません。

剰余の 2 つの書き方

$x\to 0$ での様子だけが必要なときは、ペアノの剰余で書く。

$$\cos x-1+\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{24}+o(x^4)$$

$o(x^4)$ は、$x^4$ で割ると $0$ へ近づく部分を指します。次の係数まで分かっているなら $\frac{x^4}{24}+O(x^6)$ とも書け、$O$ のほうは $x^6$ の定数倍で押さえられることまで言う。

極限の値を知りたいだけならペアノで足りる。区間全体で誤差を見積もるときは、例 8 のようにラグランジュの剰余へ切りかえます^[1]。

どこまで展開すれば足りるか

極限では、分母より高い次数の項は割ったあとに $0$ へ近づくため、答えに関わらない^[1]。数値のほうは剰余項から逆算します。交代級数なら、打ち切った先の 1 項の大きさで足りることが多い。

級数がもとの関数に戻らない例

$f(x)=e^{-1/x^2}$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$ と決めます。原点での導関数は、階数をいくつにしても $0$ になる。$x\to 0$ で $e^{-1/x^2}$ がどんな多項式より速く $0$ へ近づくからです。

したがってマクローリン級数は恒等的に $0$。ところが $x\ne 0$ では $f(x)>0$ で、級数と関数が一致しません。

無限回微分できることと、テイラー級数がもとの関数に収束することは別の条件。後者を満たす関数を解析的といい、実数の上には、どの 1 点でも解析的にならない無限回微分可能な関数まであります^[4]。

代入・積・商・項別積分のどれをあてるかは、関数の形で決まる。定義どおりの微分へ戻るのは、$e^{-1/x^2}$ のように、どの手も通らない関数を調べるときです。

出典