覚えるのは 5 つだけ、あとは代入と積｜テイラー展開の計算問題

$e^{-x^2}$ を $6$ 回微分して係数を出す手はあります。ただし $e^u$ の展開に $u=-x^2$ を代入すれば、同じ答えが $1$ 行で出る。

テイラー展開の計算では、定義どおりに微分する場面はほとんどありません。既知の展開を $5$ つ覚え、代入・積・商・積分で組み合わせる。これが実際の手順です^[1]。

以下は $14$ 問です。代入と積から始め、剰余項による誤差の評価、級数による定積分の近似、テイラー級数がもとの関数に一致しない例まで並べました。

覚えておく 5 つ

どれも $x=0$ のまわりの展開で、右端が収束域です^[1]。

幾何級数 $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$ は、二項の $a=-1$ の場合です。この $1$ つから対数も逆正接も出ます。

問題 1：代入で済ませる

$e^{-x^2}$ のマクローリン展開を $x^6$ の項まで求めよ。

解答 1

$e^u$ の展開に $u=-x^2$ を入れます。

$$e^{-x^2}=1+(-x^2)+\frac{(-x^2{)}^2}{2!}+\frac{(-x^2{)}^3}{3!}+\cdots =1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\cdots$$

$6$ 回微分する必要はありません。$u$ が $x$ の多項式で $u(0)=0$ なら、この代入がいつでも使えます。

問題 2：積を計算する

$e^x\sin x$ を $x^5$ の項まで求めよ。

解答 2

必要な次数まで両方を書き出し、掛けて次数ごとに集めます。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots ,\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$$

$x^4$ の係数は $\frac{1}{6}-\frac{1}{6}=0$ で消えます。$x^5$ は $\frac{1}{24}-\frac{1}{12}+\frac{1}{120}=-\frac{1}{30}$ です。

$$e^x\sin x=x+x^2+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{30}+\cdots$$

$x^5$ まで欲しいなら、両方を $x^5$ まで用意すれば足ります。それより高い項は掛けても $x^6$ 以上にしかならない。

問題 3：商を計算する

$\tan x$ を $x^5$ の項まで求めよ。

解答 3

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ を、係数を未知数に置いて割り算します。$\tan x=a_{1}x+a_3{x}^3+a_5{x}^5+\cdots$ と置く。

奇関数なので偶数次は出ません。$\sin x=\tan x\cdot \cos x$ の形で係数を比べます。

$$x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}=(a_{1}x+a_3{x}^3+a_5{x}^5)\left(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)$$

$x$ から $a_1=1$、$x^3$ から $a_3-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$ で $a_3=\frac{1}{3}$ です。$x^5$ から $a_5=\frac{2}{15}$ が出る。

$$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$$

$x=0.3$ で試すと、部分和が $0.309324$、真の値が $0.3093362$ です。

問題 4：中心が 0 でない展開

$\log x$ の $x=1$ のまわりの展開を求めよ。

解答 4

$t=x-1$ と置くと $\log (1+t)$ になり、覚えた展開に落ちます。

$$\log x=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\cdots$$

$n$ 階微分は $f^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ で、$x=1$ では $(-1{)}^{n-1}(n-1)!$ です。$n!$ で割ると係数の $\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ になります。

収束するのは $0<x\le 2$ です。$x=2$ では交代級数として収束し、和は $\log 2$ になる。

問題 5：三角関数を別の点で展開する

$\cos x$ の $x=\frac{\pi }{3}$ のまわりの展開を $3$ 次まで求め、$x=1.1$ で試せ。

解答 5

$a=\frac{\pi }{3}$ での値を順に出します。$\cos a=\frac{1}{2}$、$-\sin a=-\frac{\sqrt{3}}{2}$、$-\cos a=-\frac{1}{2}$、$\sin a=\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$$\cos x\approx \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-a)-\frac{1}{4}(x-a{)}^2+\frac{\sqrt{3}}{12}(x-a{)}^3$$

$x=1.1$ では $0.4535960$ で、真の値 $0.4535961$ と小数第 $6$ 位まで合います。$x-a$ が $0.05$ ほどしかないので、$3$ 次で十分な精度が出る。

問題 6：合成関数

$\sin (x^2)$ を $x^{10}$ の項まで求めよ。

解答 6

$\sin u$ に $u=x^2$ を入れるだけです。

$$\sin (x^2)=x^2-\frac{x^6}{6}+\frac{x^{10}}{120}-\cdots$$

次数が $2$ 倍に伸びるので、$x^{10}$ までなら $\sin u$ を $u^5$ まで用意すれば足ります。

問題 7：極限に使う

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$ を求めよ。

解答 7

分子を展開すると、$1$ と $x$ が消えて $x^2$ が最低次になります。

$$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots =x^2\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+\cdots \right)$$

$x^2$ で割ると括弧の中が残り、極限は $\frac{1}{2}$ です。

ロピタルの定理なら $2$ 回微分することになります。分母の次数が上がるほど、展開のほうが手数で有利です。

問題 8：高い次数の極限

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}$ を求めよ。

解答 8

問題 $3$ の結果を使います。$\tan x-x=\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$ です。

$x^3$ で割れば $\frac{1}{3}$ が残ります。ロピタルなら $3$ 回微分が要り、$\tan$ の高階導関数を扱うことになる。

問題 9：近似値を出す

$\sqrt{1.1}$ を $3$ 次の項まで使って求め、真の値と比べよ。

解答 9

二項展開で $a=\frac{1}{2}$、$x=0.1$ とします。

$$(1+x{)}^{1/2}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\cdots$$

代入すると $1+0.05-0.00125+0.0000625=1.0488125$ です。真の値は $1.0488088$ で、小数第 $5$ 位まで合っています。

交代級数なので、次の項の大きさが誤差の目安になります。$4$ 次の項は $10^{-5}$ 台で、実際の誤差もその程度です。

問題 10：剰余項で誤差を押さえる

$\sin x$ を $3$ 次で打ち切ったとき、$|x|\le 0.5$ での誤差を評価せよ。

解答 10

ラグランジュの剰余を使います。$k$ 次で打ち切ったとき、$a$ と $x$ のあいだのどこかに $\xi$ があって次が成り立つ^[1]。

$$R_k(x)=\frac{f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}{x}^{k+1}$$

$\sin$ の $4$ 次の項は $0$ なので、$k=4$ ととれます。$5$ 階導関数は $\cos$ で、絶対値は $1$ 以下です。

$$|R_4|\le \frac{|x{|}^5}{120}\le \frac{0.5^5}{120}=2.6\times 10^{-4}$$

$x=0.5$ での実際の誤差は $2.589\times 10^{-4}$ でした。評価がほぼそのまま出ています。

問題 11：定積分を級数で近似する

${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ を、級数を項別に積分して小数第 $4$ 位まで求めよ。

解答 11

$e^{-x^2}$ の原始関数は初等関数で書けません。展開してから項ごとに積分します。

$${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k!(2k+1)}$$

部分和を並べると $1$、$0.66667$、$0.76667$、$0.74286$、$0.74749$、$0.74673$、$0.74684$ と挟み込んでいきます。

真の値は $0.746824$ です。$6$ 項で小数第 $4$ 位まで合いました。

交代級数なので、部分和は真の値を上下からはさみます。次の項の大きさが誤差の上からの押さえになる。

問題 12：偶関数と奇関数を見分ける

$\frac{1}{1+x^2}$ を展開し、そこから $\arctan x$ の展開を出せ。

解答 12

幾何級数に $-x^2$ を入れます。

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

$\arctan x$ はこの原始関数で、$\arctan 0=0$ です。項別に積分します。

$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$

奇関数なので奇数次だけが残りました。$x=1$ を入れるとライプニッツの級数になり、$\frac{\pi }{4}$ に収束します。

問題 13：ペアノの剰余と記号の使い分け

$\cos x-1+\frac{x^2}{2}$ の $x\to 0$ での挙動を、剰余の記号で書け。

解答 13

$\cos$ の展開から、残るのは $4$ 次以上です。

$$\cos x-1+\frac{x^2}{2}=\frac{x^4}{24}+O(x^6)$$

ペアノの剰余は「$x\to 0$ で $0$ に行く関数を掛けた形」で、局所的な情報だけを言います^[1]。ラグランジュの剰余は具体的な $\xi$ を出すので、区間全体での誤差を押さえるときに使う。

極限を出すだけならペアノで足ります。数値の保証が要るときはラグランジュに切りかえます。

問題 14：級数がもとの関数に戻らない例

$f(x)=e^{-1/x^2}$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$ のマクローリン級数を求めよ。

解答 14

原点での導関数を順に計算すると、すべて $0$ になります。$e^{-1/x^2}$ が $x\to 0$ でどんな多項式より速く $0$ へ行くからです。

したがってマクローリン級数は恒等的に $0$ です。ところが $x\ne 0$ では $f(x)>0$ で、級数と関数が一致しません^[1]。

無限回微分できることと、テイラー級数が関数に収束することは別の条件です。後者を満たす関数を解析的といいます。

打ち切る次数の決め方

必要な次数は、何に使うかで決まります。

極限では、分母と同じ次数まで分子を展開すれば足ります。それより先は割ったあとに $0$ へ行く。

数値では剰余項から逆算します。交代級数なら次の項の大きさで足りることが多い。

よくある誤り

覚えるのは $5$ つ、あとは代入と積と積分。この形に持ち込めれば、たいていの展開は数行で終わります。

参考文献

^[1] がテイラーの定理・ラグランジュとペアノの剰余・主要な展開と収束域・解析的でない例、^[2] がドイツ語での定式化、^[3] が正接の展開とベルヌーイ数との関係、^[4] が二項級数、^[5] が誤差関数と $e^{-x^2}$ の積分です。