テイラー展開の計算問題

テイラー展開の計算問題を通じて、展開の手順と応用を身につける。

問題1：基本的なマクローリン展開

$f(x)=e^{-x^2}$ のマクローリン展開を $x^6$ の項まで求めよ。

解答1

$e^u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{u^3}{3!}+\cdots$ に $u=-x^2$ を代入する。

$$e^{-x^2}=1+(-x^2)+\frac{(-x^2{)}^2}{2!}+\frac{(-x^2{)}^3}{3!}+\cdots$$

$$=1-x^2+\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\cdots$$

直接微分して係数を求めるより、既知の展開を利用する方が圧倒的に楽である。

問題2：積のテイラー展開

$f(x)=e^x\sin x$ のマクローリン展開を $x^4$ の項まで求めよ。

解答2

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$

$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$

積を計算して $x^4$ までの項を集める。

$$e^x\sin x=\left(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots \right)\left(x-\frac{x^3}{6}+\cdots \right)$$

$x^1$ の項：$1\cdot x=x$

$x^2$ の項：$x\cdot x=x^2$

$x^3$ の項：$\frac{x^2}{2}\cdot x+1\cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right)=\frac{x^3}{2}-\frac{x^3}{6}=\frac{x^3}{3}$

$x^4$ の項：$\frac{x^3}{6}\cdot x+x\cdot \left(-\frac{x^3}{6}\right)=\frac{x^4}{6}-\frac{x^4}{6}=0$

$$e^x\sin x=x+x^2+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$

問題3：$x=a$ でのテイラー展開

$f(x)=\ln x$ の $x=1$ におけるテイラー展開を $n$ 次の項まで求めよ。

解答3

$f(x)=\ln x$, $f(1)=0$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $f^{\prime }(1)=1$

$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f^{\prime \prime }(1)=-1$

$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$, $f^{\prime \prime \prime }(1)=2$

$f^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{x^n}$, $f^{(n)}(1)=(-1{)}^{n-1}(n-1)!$

$$\ln x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}(x-1{)}^n=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\cdots$$

収束域は $0<x\le 2$ である。

問題4：極限への応用

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$ を求めよ。

解答4

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$ より

$$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots =x^2\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+\cdots \right)$$

$$\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac{1}{2}+\frac{x}{6}+\cdots \to \frac{1}{2}(x\to 0)$$

ロピタルの定理より、テイラー展開の方が見通しがよい場合が多い。

問題5：近似値の計算

$\sqrt{1.1}$ の近似値を $x=0.1$ として3次の項まで使って求めよ。

解答5

$(1+x{)}^{1/2}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3+\cdots$

$x=0.1$ を代入する。

$$\sqrt{1.1}\approx 1+\frac{0.1}{2}-\frac{0.01}{8}+\frac{0.001}{16}$$

$$=1+0.05-0.00125+0.0000625=1.0488125$$

真の値は $\sqrt{1.1}=\mathrm{1.04880885...}$ であり、かなり精度が高い。