無限のかなたに点を 1 つ足す〜一点コンパクト化とリーマン球面

コンパクトでない空間に点を 1 つ足して、コンパクトにしてしまう。足した点の近傍を「コンパクト集合の外側」と決めるだけで話が終わります^[2]。

実数直線に $\infty$ を 1 つ足すと円周になり、平面に足すと球面になる。無限のかなたを 1 点に集める操作です^[3]。

コンパクト化とは何か

位相空間 $X$ のコンパクト化とは、コンパクト空間 $Y$ と埋め込み $i:X\to Y$ の組で、$i(X)$ が $Y$ で稠密になるものをいいます^[3]。

稠密を要求するのは、余計な部分を足させないためです。これがないと $X$ に無関係なコンパクト空間をくっつけて終わりになる。

コンパクト化は一意ではありません。同じ $X$ に対していくつも作れます。その中でいちばん小さいものが一点コンパクト化です^[3]。

足す点はたった 1 つ

$X^{\ast }=X\bigsqcup \{\infty \}$ とし、$X^{\ast }$ の開集合を次の 2 種類と決めます^[2]。

第 2 種が $\infty$ の近傍です。$K$ を大きくとるほど $\infty$ の近傍は小さくなる。

この族が位相の 3 条件を満たすことは、コンパクト集合の有限和がコンパクト、閉部分集合がコンパクトという 2 つの事実から出ます^[1]。

いつでもコンパクトになる

$X^{\ast }$ の開被覆 $\mathcal{U}$ をとります。$\infty$ を覆う元が 1 つ要るので、$\{\infty \}\cup (X\setminus K)$ の形のものが $\mathcal{U}$ に入っています^[2]。

残るのは $K$ を覆うぶんだけ。$K$ はコンパクトなので有限個で足ります。合わせて有限部分被覆ができました。

$X$ がもともとコンパクトでも構成は動きます。ただしその場合 $\{\infty \}$ 自身が開集合になり、$X^{\ast }$ は $X$ と 1 点の直和にすぎません^[2]。

ハウスドルフになる条件

$X^{\ast }$ がハウスドルフになるのは、$X$ が局所コンパクトかつハウスドルフのときだけです^[2]。

$x\in X$ と $\infty$ を分けるには、$x$ のまわりにコンパクトな近傍 $K$ が要ります。$K$ の内部と $\{\infty \}\cup (X\setminus K)$ が交わらない開集合になる。

局所コンパクトでないと、この $K$ が見つかりません。$\mathbb{Q}$ ではどんな近傍もコンパクトにならないので、${\mathbb{Q}}^{\ast }$ はハウスドルフではない^[3]。

例：実数直線が円周になる

${\mathbb{R}}^{\ast }$ は円周 $S^1$ と同相です^[2]。立体射影の逆をたどると見えてきます。

円周から北極を除いた部分は直線と同相でした。だから直線に 1 点を足して北極の位置に置けば、円周が復元されます。

数直線を右へ進んでも左へ進んでも、円周の上では同じ北極へ近づく。両端が 1 点で貼り合わさります。

$\mathbb{R}$ には $+\infty$ と $-\infty$ の 2 方向がありますが、足す点は 1 つだけ。2 点足して $[-\infty ,\infty ]$ を作る別のコンパクト化もあり、そちらは円弧のほうにあたります。

例：平面と球面、そしてリーマン球面

${\mathbb{R}}^n$ の一点コンパクト化は $n$ 次元球面 $S^n$ です^[3]。$n=2$ なら平面が球面になる。

複素平面 $\mathbb{C}$ に同じ操作をしたものをリーマン球面と呼びます。$1/z$ が $z=0$ で $\infty$ へ、$z=\infty$ で $0$ へ移る形に書けるようになります。

有理関数の極を扱うとき、極の位置を $\infty$ まで含めて一様に語れる。複素解析でこの空間が使われる理由がここにあります。

$\mathbb{N}$ に離散位相を入れた空間を考えます。コンパクト集合は有限集合だけなので、$\infty$ の近傍は補有限集合^[3]。

できあがる空間は $\left\{\frac{1}{n}\right\}\cup \{0\}$ と同相です。数列とその極限がそのまま現れる。

最小のコンパクト化

$X$ が局所コンパクトハウスドルフなら、$X^{\ast }$ はすべてのコンパクト化の中で最小です^[3]。

$X$ の任意のコンパクト化 $Y$ に対し、$X$ 上で恒等写像になる連続全射 $Y\to X^{\ast }$ がとれます。$Y$ で $X$ の外にある部分を、まとめて $\infty$ へ潰す写像です。

小さいほうは構成が短くて済み、大きいほうは連続関数の延長という強い性質を持ちます。目的に応じて使い分ける。

普遍性で書くとどうなるか

局所コンパクトハウスドルフ空間の圏で、一点コンパクト化は関手になります^[2]。射は固有写像に限る必要がある。

直和は一点和へ、直積はスマッシュ積へ移ります。この性質が、安定ホモトピー論でトム空間などを扱う土台になっています^[2]。

例：開区間の一点コンパクト化

$(0,1)$ は $\mathbb{R}$ と同相なので、一点コンパクト化は円周です。両端 $0$ と $1$ が 1 点に集まる。

いっぽう $[0,1)$ の一点コンパクト化も円周になります。ただし貼り合わされるのは $0$ ではなく、開いた側の端だけ。

$[0,1]$ はすでにコンパクトなので、足した点が孤立します。円にはなりません。

足りないのは「遠く」だけだ、と割り切る。1 点を足すこの操作は、無限遠の扱いを位相の言葉に落とし込む最短の道になっています。

出典